Ch 8Introduction to Trigonometryत्रिकोणमिति का परिचयIntroduction to Trigonometry
The six trigonometric ratios in a right triangle, their values at 0°, 30°, 45°, 60° and 90°, and the three identities (sin²A + cos²A = 1 and its friends) — with our own solved examples, proofs, common mistakes and a quiz.समकोण त्रिभुज में छह त्रिकोणमितीय अनुपात, 0°, 30°, 45°, 60° और 90° पर उनके मान, और तीन सर्वसमिकाएँ (sin²A + cos²A = 1 और अन्य) — हमारे अपने हल किए गए उदाहरण, प्रमाण, आम गलतियाँ और क्विज़।Right triangle mein chhe trigonometric ratios, 0°, 30°, 45°, 60° aur 90° par unki values, aur teen identities (sin²A + cos²A = 1 aur baaki) — humare apne solved examples, proofs, common mistakes aur quiz.
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Board Notes: Pass to Topperबोर्ड नोट्स: पास से टॉपर तकBoard Notes: Pass se Topper tak🔥 Top topic came in 7 of 7 years · see what to learn first🔥 सबसे ऊपर वाला टॉपिक 7 में से 7 वर्ष आया · देखें पहले क्या पढ़ें🔥 Top topic 7 mein se 7 saal aaya · dekhiye pehle kya padhna haiIn this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
- 8.1IntroductionभूमिकाIntroduction
- 8.2Trigonometric Ratiosत्रिकोणमितीय अनुपातTrigonometric Ratios
- 8.3Trigonometric Ratios of Some Specific Anglesकुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातKuch special angles ke ratios
- 8.4Trigonometric Identitiesत्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँTrigonometric Identities
- ★Yaad rakho — key formulasयाद रखो — मुख्य सूत्रYaad rakho — key formulas
- ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
- ✎Practice questions — with solutionsअभ्यास प्रश्न — हल सहितPractice questions — with solutions
- 🎯Quizक्विज़Quiz
8.1IntroductionभूमिकाIntroduction
Trigonometry means "measuring triangles". It connects the angles of a right triangle with the ratios of its sides. Once you know one angle and one side, you can find the rest — the basis of the next chapter on heights and distances.त्रिकोणमिति का अर्थ है "त्रिभुज की माप"। यह समकोण त्रिभुज के कोणों को उसकी भुजाओं के अनुपातों से जोड़ती है। एक कोण और एक भुजा ज्ञात हो तो बाकी सब ज्ञात हो जाता है — यही अगले अध्याय (ऊँचाई और दूरी) का आधार है।Trigonometry ka matlab hai "triangle ko naapna". Yeh right triangle ke angles ko uski sides ke ratios se jodti hai. Ek angle aur ek side pata ho to baaki sab pata chal jaata hai — yahi agle chapter (heights and distances) ka base hai.
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8.2Trigonometric Ratiosत्रिकोणमितीय अनुपातTrigonometric Ratios
In right \triangle ABC with \angle B = 90°, for the angle A: the side opposite A is BC (perpendicular), the side next to A is AB (base), and the longest side AC is the hypotenuse.समकोण \triangle ABC में, जहाँ \angle B = 90°, कोण A के लिए: A के सामने की भुजा BC (लंब), A के साथ लगी भुजा AB (आधार), और सबसे लंबी भुजा AC कर्ण है।Right \triangle ABC mein, jahan \angle B = 90°, angle A ke liye: A ke saamne wali side BC (perpendicular), A ke saath lagi side AB (base), aur sabse lambi side AC hypotenuse hai.
The ratios depend only on the angle, not on the size of the triangle (similar triangles!). Also \sin A and \cos A are never more than 1 for an acute angle, because the hypotenuse is the longest side.अनुपात केवल कोण पर निर्भर करते हैं, त्रिभुज के माप पर नहीं (समरूप त्रिभुज!)। साथ ही न्यून कोण के लिए \sin A और \cos A कभी 1 से अधिक नहीं होते, क्योंकि कर्ण सबसे लंबी भुजा है।Ratios sirf angle par depend karte hain, triangle ke size par nahi (similar triangles!). Saath hi acute angle ke liye \sin A aur \cos A kabhi 1 se zyada nahi hote, kyunki hypotenuse sabse lambi side hai.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
- Take opposite = 3k, hypotenuse = 5k; find the adjacent side by Pythagoras.लंब = 3k, कर्ण = 5k लीजिए; पाइथागोरस से आधार ज्ञात कीजिए।Perpendicular = 3k, hypotenuse = 5k lijiye; Pythagoras se base nikaliye.\text{adjacent} = \sqrt{25k^2 - 9k^2} = 4k\text{आधार} = \sqrt{25k^2 - 9k^2} = 4k\text{base} = \sqrt{25k^2 - 9k^2} = 4k
✔ \cos A = \frac{4}{5}, \tan A = \frac{3}{4}, \csc A = \frac{5}{3}, \sec A = \frac{5}{4}, \cot A = \frac{4}{3}
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
- \text{hypotenuse} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\text{कर्ण} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\text{hypotenuse} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13
- \sin \theta + \cos \theta = \frac{12}{13} + \frac{5}{13} = \frac{17}{13}
✔ \frac{17}{13}
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
- QR = \sqrt{625 - 49} = 24
- For angle R: opposite side is PQ, adjacent side is QR.कोण R के लिए: लंब PQ है, आधार QR है।Angle R ke liye: perpendicular PQ hai, base QR hai.
✔ \sin R = \frac{7}{25}, \cos R = \frac{24}{25}
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8.3Trigonometric Ratios of Some Specific Anglesकुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातKuch special angles ke ratios
Memory trick: write \frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2} — that is sin of 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Reverse it for cos.याद रखने का तरीका: \frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2} लिखिए — यही 0°, 30°, 45°, 60°, 90° के sin हैं। cos के लिए इसे उल्टा कर दीजिए।Yaad rakhne ka tareeka: \frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2} likhiye — yahi 0°, 30°, 45°, 60°, 90° ke sin hain. cos ke liye ise ulta kar dijiye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
- 2\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + 3\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 - (\sqrt{3})^2 = \tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2} - 3 = -1
✔ −1
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
- For angle C, AB is opposite, BC is adjacent, AC is the hypotenuse.कोण C के लिए AB लंब, BC आधार, AC कर्ण है।Angle C ke liye AB perpendicular, BC base, AC hypotenuse hai.\tan 30° = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{BC} \Rightarrow BC = 6\sqrt{3}
- \sin 30° = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{6}{AC} \Rightarrow AC = 12
✔ BC = 6\sqrt{3} cm (≈ 10.39 cm), AC = 12 cm
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
- A - B = 30°, \quad A + B = 60°
✔ A = 45°, B = 15°
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8.4Trigonometric Identitiesत्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँTrigonometric Identities
All three come from Pythagoras: divide AB^2 + BC^2 = AC^2 by AC^2, by AB^2, or by BC^2.तीनों पाइथागोरस से आती हैं: AB^2 + BC^2 = AC^2 को AC^2, AB^2 या BC^2 से भाग दीजिए।Teeno Pythagoras se aati hain: AB^2 + BC^2 = AC^2 ko AC^2, AB^2 ya BC^2 se divide kijiye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
- Change everything into sin and cos.सब कुछ sin और cos में बदलिए।Sab kuch sin aur cos mein badaliye.\left(\frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A}\right)(1 - \sin A) = \frac{(1 + \sin A)(1 - \sin A)}{\cos A}
- = \frac{1 - \sin^2 A}{\cos A} = \frac{\cos^2 A}{\cos A} = \cos A
✔ LHS = RHS. Proved.बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष। सिद्ध।LHS = RHS. Proved.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
- \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 \Rightarrow (\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta - \tan \theta) = 1
✔ \sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{3}
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
- \csc^2 A = 1 + \cot^2 A \Rightarrow \sin A = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 A}}
✔ \sin A = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 A}} (positive root, A acute)\sin A = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 A}} (धनात्मक मूल, A न्यून कोण)\sin A = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 A}} (positive root, A acute)
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★ Yaad rakho — key formulas★ याद रखो — मुख्य सूत्र★ Yaad rakho — key formulas
- sin = opp/hyp, cos = adj/hyp, tan = opp/adj; cosec, sec, cot are their reciprocals.sin = लंब/कर्ण, cos = आधार/कर्ण, tan = लंब/आधार; cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं।sin = perpendicular/hypotenuse, cos = base/hypotenuse, tan = perpendicular/base; cosec, sec, cot inke reciprocals hain.
- sin: 0, ½, 1/√2, √3/2, 1 for 0°, 30°, 45°, 60°, 90°; cos is the reverse.sin: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° के लिए 0, ½, 1/√2, √3/2, 1; cos उल्टा।sin: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° ke liye 0, ½, 1/√2, √3/2, 1; cos ulta.
- tan 45° = 1, tan 60° = √3, tan 30° = 1/√3, tan 90° not defined.tan 45° = 1, tan 60° = √3, tan 30° = 1/√3, tan 90° अपरिभाषित।tan 45° = 1, tan 60° = √3, tan 30° = 1/√3, tan 90° not defined.
- \sin^2 A + \cos^2 A = 1, \sec^2 A - \tan^2 A = 1, \csc^2 A - \cot^2 A = 1.\sin^2 A + \cos^2 A = 1, \sec^2 A - \tan^2 A = 1, \csc^2 A - \cot^2 A = 1।\sin^2 A + \cos^2 A = 1, \sec^2 A - \tan^2 A = 1, \csc^2 A - \cot^2 A = 1.
- For proofs: convert to sin and cos, or work on the harder side only.प्रमाण के लिए: sin और cos में बदलिए, या केवल कठिन पक्ष पर काम कीजिए।Proofs ke liye: sin aur cos mein badaliye, ya sirf mushkil side par kaam kijiye.
⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes
- Writing \sin A as "sin × A" — sin A is one number, the ratio for angle A.\sin A को "sin × A" समझना — sin A एक संख्या है, कोण A का अनुपात।\sin A ko "sin × A" samajhna — sin A ek number hai, angle A ka ratio.
- Taking the wrong side as "opposite" — always look from the angle you are using.गलत भुजा को "लंब" लेना — हमेशा उस कोण की ओर से देखिए जिसका प्रयोग कर रहे हैं।Galat side ko "perpendicular" lena — hamesha us angle ki taraf se dekhiye jiska use kar rahe hain.
- Writing \sin^2 30° as \sin 30^2 or \sin 900° — it means (\sin 30°)^2 = \frac{1}{4}.\sin^2 30° को \sin 30^2 या \sin 900° लिखना — इसका अर्थ (\sin 30°)^2 = \frac{1}{4} है।\sin^2 30° ko \sin 30^2 ya \sin 900° likhna — iska matlab (\sin 30°)^2 = \frac{1}{4} hai.
- Mixing up \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} and \cos 60° = \frac{1}{2}.\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} और \cos 60° = \frac{1}{2} में गड़बड़।\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} aur \cos 60° = \frac{1}{2} mein confusion.
- In a proof, moving terms across the "=" sign as in an equation — work on one side until it becomes the other.प्रमाण में पदों को समीकरण की तरह "=" के पार ले जाना — एक पक्ष पर काम कीजिए जब तक वह दूसरा न बन जाए।Proof mein terms ko equation ki tarah "=" ke paar le jaana — ek side par kaam kijiye jab tak woh doosri na ban jaye.
✎ Practice questions — with solutions✎ अभ्यास प्रश्न — हल सहित✎ Practice questions — with solutions
5 practice questions written by us (not copied from the book). Try each one yourself first, then tap it to see the full solution.हमारे द्वारा बनाए गए 5 अभ्यास प्रश्न (किताब से नहीं)। पहले स्वयं हल करें, फिर हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें।Humare banaye hue 5 practice questions (kitaab se copy nahi). Pehle khud try kijiye, phir hal dekhne ke liye question par tap kijiye.
Practice questionsअभ्यास प्रश्नPractice questions · 5 Q
Q1. If \cos \theta = \frac{8}{17}, find \sin \theta and \tan \theta.यदि \cos \theta = \frac{8}{17}, तो \sin \theta और \tan \theta ज्ञात कीजिए।Agar \cos \theta = \frac{8}{17}, to \sin \theta aur \tan \theta nikaliye.
- \text{opposite} = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15\text{लंब} = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15\text{perpendicular} = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15
✔ \sin \theta = \frac{15}{17}, \tan \theta = \frac{15}{8}
Q2. Evaluate \sin 60° \cos 30° + \sin 30° \cos 60°.मान ज्ञात कीजिए: \sin 60° \cos 30° + \sin 30° \cos 60°।Value nikaliye: \sin 60° \cos 30° + \sin 30° \cos 60°.
- \tfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{4}
✔ 1
Q3. Evaluate \tan^2 45° + \cos^2 30° - \sin^2 60°.मान ज्ञात कीजिए: \tan^2 45° + \cos^2 30° - \sin^2 60°।Value nikaliye: \tan^2 45° + \cos^2 30° - \sin^2 60°.
- 1 + \tfrac{3}{4} - \tfrac{3}{4}
✔ 1
Q4. Prove that \frac{1 + \tan^2 A}{1 + \cot^2 A} = \tan^2 A.सिद्ध कीजिए कि \frac{1 + \tan^2 A}{1 + \cot^2 A} = \tan^2 A।Prove kijiye ki \frac{1 + \tan^2 A}{1 + \cot^2 A} = \tan^2 A.
- \frac{\sec^2 A}{\csc^2 A} = \frac{1/\cos^2 A}{1/\sin^2 A} = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \tan^2 A
✔ Proved.सिद्ध।Proved.
Q5. If 12 \cot A = 5, check whether \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \cos^2 A - \sin^2 A.यदि 12 \cot A = 5, तो जाँचिए कि क्या \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \cos^2 A - \sin^2 A।Agar 12 \cot A = 5, to check kijiye ki kya \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \cos^2 A - \sin^2 A.
- \tan A = \tfrac{12}{5}: \quad \frac{1 - \frac{144}{25}}{1 + \frac{144}{25}} = -\frac{119}{169}, \qquad \frac{25}{169} - \frac{144}{169} = -\frac{119}{169}
✔ Yes, both sides equal -\frac{119}{169}.हाँ, दोनों पक्ष -\frac{119}{169} के बराबर हैं।Haan, dono sides -\frac{119}{169} ke barabar hain.
🎯 Quiz — 6 questions🎯 क्विज़ — 6 प्रश्न🎯 Quiz — 6 questions
Tap an option. The answer and a short reason appear at once.किसी विकल्प पर टैप करें। उत्तर और छोटा कारण तुरंत दिखेगा।Kisi option par tap kijiye. Answer aur chhota reason turant dikhega.
1. \sin 30° equals:\sin 30° बराबर है:\sin 30° barabar hai:
2. \sin^2 \theta + \cos^2 \theta is always:\sin^2 \theta + \cos^2 \theta हमेशा है:\sin^2 \theta + \cos^2 \theta hamesha hai:
3. If \tan A = 1 (A acute), then A is:यदि \tan A = 1 (A न्यून कोण), तो A है:Agar \tan A = 1 (A acute), to A hai:
4. \sec^2 A - \tan^2 A equals:\sec^2 A - \tan^2 A बराबर है:\sec^2 A - \tan^2 A barabar hai:
5. Which ratio is not defined at 90°?90° पर कौन-सा अनुपात अपरिभाषित है?90° par kaunsa ratio not defined hai?
6. In a right triangle, if opposite = 5 and hypotenuse = 13, then \cos A is:समकोण त्रिभुज में यदि लंब = 5 और कर्ण = 13, तो \cos A है:Right triangle mein agar perpendicular = 5 aur hypotenuse = 13, to \cos A hai:
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These are Simple Learning Hub's own study notes and solutions, written to follow the NCERT Class 10 Mathematics textbook (Reprint 2026-27) section by section; read them with the official NCERT chapter. All examples and practice questions are our own; diagrams are original SLH drawings.