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Ch 7Coordinate Geometryनिर्देशांक ज्यामितिCoordinate Geometry

The distance between two points, the section formula (internal division) and the mid-point formula — with our own solved examples on collinearity, finding unknown coordinates, trisection points and parallelograms, plus common mistakes and a quiz.दो बिंदुओं के बीच की दूरी, विभाजन सूत्र (आंतरिक विभाजन) और मध्य-बिंदु सूत्र — संरेखता, अज्ञात निर्देशांक, समत्रिभाजन बिंदु और समांतर चतुर्भुज पर हमारे अपने हल किए गए उदाहरण, आम गलतियाँ और क्विज़।Do points ke beech ki doori, section formula (internal division) aur mid-point formula — collinearity, unknown coordinates, trisection points aur parallelogram par humare apne solved examples, common mistakes aur quiz.

Didn’t understand a paragraph? Tap it (or its Explain button) → Hindi / Hinglish / Simple English.कोई पैराग्राफ़ समझ नहीं आया? उस पर (या समझें बटन पर) टैप करें → English / Hinglish।Koi paragraph samajh nahi aaya? Us par (ya Samjho button par) tap kijiye → Hindi / English.

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∑ Formulas✎ practice Qs🎯 Quiz
In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
  1. 7.1IntroductionभूमिकाIntroduction
  2. 7.2Distance Formulaदूरी सूत्रDistance Formula
  3. 7.3Section Formulaविभाजन सूत्रSection Formula
  4. ★Yaad rakho — key formulasयाद रखो — मुख्य सूत्रYaad rakho — key formulas
  5. ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
  6. ✎Practice questions — with solutionsअभ्यास प्रश्न — हल सहितPractice questions — with solutions
  7. 🎯Quizक्विज़Quiz

7.1IntroductionभूमिकाIntroduction

A point in a plane is written as (x, y): x is its distance from the y-axis (the abscissa) and y its distance from the x-axis (the ordinate). Coordinate geometry lets us find lengths and special points using only these numbers — no ruler needed.तल में बिंदु को (x, y) लिखते हैं: x उसकी y-अक्ष से दूरी (भुज) और y उसकी x-अक्ष से दूरी (कोटि) है। निर्देशांक ज्यामिति से हम केवल इन संख्याओं से लंबाइयाँ और विशेष बिंदु ज्ञात कर सकते हैं — पैमाने की ज़रूरत नहीं।Plane mein point ko (x, y) likhte hain: x uski y-axis se doori (abscissa) aur y uski x-axis se doori (ordinate) hai. Coordinate geometry se hum sirf in numbers se lengths aur special points nikal sakte hain — ruler ki zaroorat nahi.

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7.2Distance Formulaदूरी सूत्रDistance Formula

PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
distance between P(x₁, y₁) and Q(x₂, y₂)P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) के बीच की दूरीP(x₁, y₁) aur Q(x₂, y₂) ke beech ki doori
OP = \sqrt{x^2 + y^2}
distance of P(x, y) from the originमूलबिंदु से P(x, y) की दूरीorigin se P(x, y) ki doori

The formula is just Pythagoras: the horizontal gap is x_2 - x_1, the vertical gap is y_2 - y_1, and PQ is the hypotenuse.यह सूत्र पाइथागोरस ही है: क्षैतिज अंतर x_2 - x_1, ऊर्ध्वाधर अंतर y_2 - y_1, और PQ कर्ण है।Yeh formula Pythagoras hi hai: horizontal gap x_2 - x_1, vertical gap y_2 - y_1, aur PQ hypotenuse hai.

Example 1Find the distance between A(2, 3) and B(8, 11).उदाहरण 1A(2, 3) और B(8, 11) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।Example 1A(2, 3) aur B(8, 11) ke beech ki doori nikaliye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. AB = \sqrt{(8 - 2)^2 + (11 - 3)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

✔ 10 units10 इकाई10 units

Example 2Show that A(1, 2), B(3, 6) and C(5, 10) are collinear.उदाहरण 2दर्शाइए कि A(1, 2), B(3, 6) और C(5, 10) संरेख हैं।Example 2Dikhaiye ki A(1, 2), B(3, 6) aur C(5, 10) collinear hain.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. AB = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5}, \quad BC = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5}, \quad AC = \sqrt{16 + 64} = 4\sqrt{5}
  2. Points are collinear if the two shorter distances add up to the longest.बिंदु संरेख हैं यदि दो छोटी दूरियों का योग सबसे बड़ी दूरी के बराबर हो।Points collinear hain agar do chhoti dooriyon ka sum sabse badi doori ke barabar ho.
    AB + BC = 4\sqrt{5} = AC

✔ AB + BC = AC, so A, B, C are collinear.AB + BC = AC, अतः A, B, C संरेख हैं।AB + BC = AC, isliye A, B, C collinear hain.

Example 3The distance between P(2, −3) and Q(10, y) is 10 units. Find y.उदाहरण 3P(2, −3) और Q(10, y) के बीच की दूरी 10 इकाई है। y ज्ञात कीजिए।Example 3P(2, −3) aur Q(10, y) ke beech ki doori 10 units hai. y nikaliye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. (10 - 2)^2 + (y + 3)^2 = 100 \Rightarrow (y + 3)^2 = 36 \Rightarrow y + 3 = \pm 6

✔ y = 3 or y = −9y = 3 या y = −9y = 3 ya y = −9

Example 4Find the point on the x-axis that is equidistant from A(3, 4) and B(7, −2).उदाहरण 4x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो A(3, 4) और B(7, −2) से समदूरस्थ है।Example 4x-axis par woh point nikaliye jo A(3, 4) aur B(7, −2) se barabar doori par hai.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. A point on the x-axis is (x, 0). Set the squares of the two distances equal.x-अक्ष पर बिंदु (x, 0) होता है। दोनों दूरियों के वर्ग बराबर रखिए।x-axis par point (x, 0) hota hai. Dono dooriyon ke squares barabar rakhiye.
    (x - 3)^2 + 16 = (x - 7)^2 + 4 \Rightarrow -6x + 25 = -14x + 53 \Rightarrow 8x = 28

✔ \left(\frac{7}{2}, 0\right) (both distances are \sqrt{16.25})\left(\frac{7}{2}, 0\right) (दोनों दूरियाँ \sqrt{16.25} हैं)\left(\frac{7}{2}, 0\right) (dono dooriyan \sqrt{16.25} hain)

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7.3Section Formulaविभाजन सूत्रSection Formula

P = \left(\frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2},\; \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2}\right)
P divides A(x₁, y₁)B(x₂, y₂) internally in the ratio m₁ : m₂P, A(x₁, y₁)B(x₂, y₂) को m₁ : m₂ में अंतः विभाजित करता हैP, A(x₁, y₁)B(x₂, y₂) ko m₁ : m₂ mein andar se divide karta hai
M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
mid-point (ratio 1 : 1)मध्य-बिंदु (अनुपात 1 : 1)mid-point (ratio 1 : 1)

Memory trick: cross-multiply — m_1 goes with the second point, m_2 with the first.याद रखने का तरीका: क्रॉस गुणा — m_1 दूसरे बिंदु के साथ, m_2 पहले बिंदु के साथ।Yaad rakhne ka tareeka: cross multiply — m_1 doosre point ke saath, m_2 pehle point ke saath.

Example 5Find the point that divides the join of A(1, −2) and B(7, 4) in the ratio 1 : 2.उदाहरण 5A(1, −2) और B(7, 4) को मिलाने वाले रेखाखंड को 1 : 2 में बाँटने वाला बिंदु ज्ञात कीजिए।Example 5A(1, −2) aur B(7, 4) ko jodne wale line segment ko 1 : 2 mein baantne wala point nikaliye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. x = \frac{1(7) + 2(1)}{3} = 3, \qquad y = \frac{1(4) + 2(-2)}{3} = 0

✔ (3, 0)

Example 6Find the points of trisection of the segment joining A(2, −1) and B(8, 5).उदाहरण 6A(2, −1) और B(8, 5) को मिलाने वाले रेखाखंड के समत्रिभाजन बिंदु ज्ञात कीजिए।Example 6A(2, −1) aur B(8, 5) ko jodne wale segment ke trisection points nikaliye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. Trisection points divide AB in 1 : 2 and 2 : 1.समत्रिभाजन बिंदु AB को 1 : 2 और 2 : 1 में बाँटते हैं।Trisection points AB ko 1 : 2 aur 2 : 1 mein baant-te hain.
    P = \left(\frac{8 + 4}{3}, \frac{5 - 2}{3}\right) = (4, 1), \qquad Q = \left(\frac{16 + 2}{3}, \frac{10 - 1}{3}\right) = (6, 3)

✔ (4, 1) and (6, 3)(4, 1) और (6, 3)(4, 1) aur (6, 3)

Example 7In what ratio does the y-axis divide the segment joining (−3, 4) and (6, −2)? Find the point.उदाहरण 7y-अक्ष, (−3, 4) और (6, −2) को मिलाने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में बाँटता है? बिंदु भी ज्ञात कीजिए।Example 7y-axis, (−3, 4) aur (6, −2) ko jodne wale segment ko kis ratio mein baant-ta hai? Point bhi nikaliye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. Take the ratio k : 1. On the y-axis, x = 0.अनुपात k : 1 लीजिए। y-अक्ष पर x = 0 होता है।Ratio k : 1 lijiye. y-axis par x = 0 hota hai.
    \frac{6k - 3}{k + 1} = 0 \Rightarrow k = \frac{1}{2}
  2. y = \frac{\tfrac{1}{2}(-2) + 4}{\tfrac{1}{2} + 1} = \frac{3}{1.5} = 2

✔ Ratio 1 : 2, point (0, 2).अनुपात 1 : 2, बिंदु (0, 2)।Ratio 1 : 2, point (0, 2).

Example 8A(1, 2), B(4, 3) and C(6, 6) are three vertices of parallelogram ABCD. Find D.उदाहरण 8A(1, 2), B(4, 3) और C(6, 6) समांतर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्ष हैं। D ज्ञात कीजिए।Example 8A(1, 2), B(4, 3) aur C(6, 6) parallelogram ABCD ke teen vertices hain. D nikaliye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. The diagonals of a parallelogram bisect each other, so AC and BD have the same mid-point.समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, अतः AC और BD का मध्य-बिंदु एक ही है।Parallelogram ke diagonals ek doosre ko bisect karte hain, isliye AC aur BD ka mid-point ek hi hai.
    \text{mid-point of } AC = (3.5, 4) = \left(\frac{4 + x}{2}, \frac{3 + y}{2}\right)AC \text{ का मध्य-बिंदु} = (3.5, 4) = \left(\frac{4 + x}{2}, \frac{3 + y}{2}\right)AC \text{ ka mid-point} = (3.5, 4) = \left(\frac{4 + x}{2}, \frac{3 + y}{2}\right)

✔ D = (3, 5)

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★ Yaad rakho — key formulas★ याद रखो — मुख्य सूत्र★ Yaad rakho — key formulas

  1. Distance: \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}; from origin \sqrt{x^2 + y^2}.दूरी: \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}; मूलबिंदु से \sqrt{x^2 + y^2}।Doori: \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}; origin se \sqrt{x^2 + y^2}.
  2. Section formula: \left(\frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2}\right).विभाजन सूत्र: \left(\frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2}\right)।Section formula: \left(\frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2}\right).
  3. Mid-point: average of the x's, average of the y's.मध्य-बिंदु: x का औसत, y का औसत।Mid-point: x ka average, y ka average.
  4. Point on x-axis: (x, 0). Point on y-axis: (0, y).x-अक्ष पर बिंदु: (x, 0)। y-अक्ष पर बिंदु: (0, y)।x-axis par point: (x, 0). y-axis par point: (0, y).
  5. Unknown ratio: take k : 1, solve for k.अज्ञात अनुपात: k : 1 लेकर k ज्ञात कीजिए।Unknown ratio: k : 1 lekar k nikaliye.

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

  • Forgetting to square a negative difference correctly: (-3 - 5)^2 = 64, not −64.ऋणात्मक अंतर का वर्ग गलत करना: (-3 - 5)^2 = 64, −64 नहीं।Negative difference ka square galat karna: (-3 - 5)^2 = 64, −64 nahi.
  • Pairing m_1 with the first point in the section formula — it goes with the second.विभाजन सूत्र में m_1 को पहले बिंदु के साथ लगाना — यह दूसरे के साथ जाता है।Section formula mein m_1 ko pehle point ke saath lagana — yeh doosre ke saath jaata hai.
  • Writing the answer as a distance without the square root (leaving 100 instead of 10).उत्तर में वर्गमूल लेना भूल जाना (10 की जगह 100 छोड़ देना)।Answer mein square root lena bhool jaana (10 ki jagah 100 chhod dena).
  • Taking only the positive square root when finding an unknown coordinate — both signs can give answers.अज्ञात निर्देशांक ज्ञात करते समय केवल धनात्मक वर्गमूल लेना — दोनों चिह्नों से उत्तर मिल सकते हैं।Unknown coordinate nikalte waqt sirf positive square root lena — dono signs se answers mil sakte hain.
  • Swapping x and y when reading a point.बिंदु पढ़ते समय x और y की अदला-बदली करना।Point padhte waqt x aur y ki adla-badli karna.

✎ Practice questions — with solutions✎ अभ्यास प्रश्न — हल सहित✎ Practice questions — with solutions

5 practice questions written by us (not copied from the book). Try each one yourself first, then tap it to see the full solution.हमारे द्वारा बनाए गए 5 अभ्यास प्रश्न (किताब से नहीं)। पहले स्वयं हल करें, फिर हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें।Humare banaye hue 5 practice questions (kitaab se copy nahi). Pehle khud try kijiye, phir hal dekhne ke liye question par tap kijiye.

Practice questionsअभ्यास प्रश्नPractice questions · 5 Q

Q1. Find the distance between (−1, 3) and (5, −5).(−1, 3) और (5, −5) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।(−1, 3) aur (5, −5) ke beech ki doori nikaliye.
  1. \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{100} = 10

✔ 10 units10 इकाई10 units

Q2. How far is the point (−6, 8) from the origin?बिंदु (−6, 8) मूलबिंदु से कितनी दूर है?Point (−6, 8) origin se kitni door hai?
  1. \sqrt{36 + 64} = 10

✔ 10 units10 इकाई10 units

Q3. Find the point that divides the join of (−4, 6) and (8, −3) in the ratio 2 : 1.(−4, 6) और (8, −3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 1 में बाँटने वाला बिंदु ज्ञात कीजिए।(−4, 6) aur (8, −3) ko jodne wale segment ko 2 : 1 mein baantne wala point nikaliye.
  1. \left(\frac{2(8) + 1(-4)}{3}, \frac{2(-3) + 1(6)}{3}\right) = (4, 0)

✔ (4, 0)

Q4. The mid-point of (a, 4) and (6, b) is (5, 7). Find a and b.(a, 4) और (6, b) का मध्य-बिंदु (5, 7) है। a और b ज्ञात कीजिए।(a, 4) aur (6, b) ka mid-point (5, 7) hai. a aur b nikaliye.
  1. \frac{a + 6}{2} = 5, \quad \frac{4 + b}{2} = 7

✔ a = 4, b = 10

Q5. Show that O(0, 0), A(4, 0) and B(0, 3) form a right triangle.दर्शाइए कि O(0, 0), A(4, 0) और B(0, 3) एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।Dikhaiye ki O(0, 0), A(4, 0) aur B(0, 3) ek right triangle banate hain.
  1. OA = 4, \; OB = 3, \; AB = \sqrt{16 + 9} = 5, \quad 4^2 + 3^2 = 5^2

✔ The sides satisfy Pythagoras, so the angle at O is 90°.भुजाएँ पाइथागोरस को संतुष्ट करती हैं, अतः O पर कोण 90° है।Sides Pythagoras ko satisfy karti hain, isliye O par angle 90° hai.

🎯 Quiz — 6 questions🎯 क्विज़ — 6 प्रश्न🎯 Quiz — 6 questions

Tap an option. The answer and a short reason appear at once.किसी विकल्प पर टैप करें। उत्तर और छोटा कारण तुरंत दिखेगा।Kisi option par tap kijiye. Answer aur chhota reason turant dikhega.

1. The distance of (3, 4) from the origin is:मूलबिंदु से (3, 4) की दूरी है:Origin se (3, 4) ki doori hai:

2. The mid-point of (2, 4) and (6, 8) is:(2, 4) और (6, 8) का मध्य-बिंदु है:(2, 4) aur (6, 8) ka mid-point hai:

3. Every point on the y-axis has:y-अक्ष के हर बिंदु का:y-axis ke har point ka:

4. The distance between (1, 1) and (1, 5) is:(1, 1) और (1, 5) के बीच की दूरी है:(1, 1) aur (1, 5) ke beech ki doori hai:

5. The point dividing (0, 0) and (6, 9) in the ratio 1 : 2 is:(0, 0) और (6, 9) को 1 : 2 में बाँटने वाला बिंदु है:(0, 0) aur (6, 9) ko 1 : 2 mein baantne wala point hai:

6. The mid-point formula is the section formula with ratio:मध्य-बिंदु सूत्र, विभाजन सूत्र का वह रूप है जिसमें अनुपात है:Mid-point formula, section formula ka woh roop hai jismein ratio hai:

← Ch 6Ch 8 →

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These are Simple Learning Hub's own study notes and solutions, written to follow the NCERT Class 10 Mathematics textbook (Reprint 2026-27) section by section; read them with the official NCERT chapter. All examples and practice questions are our own; diagrams are original SLH drawings.