Simple Learning HubCLASS 9–12 · JEE · NEET

Ch 9Some Applications of Trigonometryत्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोगSome Applications of Trigonometry

Using trigonometry to find heights and distances we cannot measure: line of sight, angle of elevation and angle of depression — with our own solved examples on towers, kites, ladders, buildings and boats, common mistakes and a quiz.जिन ऊँचाइयों और दूरियों को सीधे मापा नहीं जा सकता, उन्हें त्रिकोणमिति से ज्ञात करना: दृष्टि रेखा, उन्नयन कोण और अवनमन कोण — मीनार, पतंग, सीढ़ी, इमारत और नाव पर हमारे अपने हल किए गए उदाहरण, आम गलतियाँ और क्विज़।Jo heights aur distances seedhe naape nahi ja sakte, unhe trigonometry se nikalna: line of sight, angle of elevation aur angle of depression — tower, patang, seedhi, building aur naav par humare apne solved examples, common mistakes aur quiz.

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∑ Formulas✎ practice Qs🎯 Quiz
In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
  1. 9.1Heights and Distancesऊँचाइयाँ और दूरियाँHeights and Distances
  2. ★Yaad rakho — key formulasयाद रखो — मुख्य सूत्रYaad rakho — key formulas
  3. ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
  4. ✎Practice questions — with solutionsअभ्यास प्रश्न — हल सहितPractice questions — with solutions
  5. 🎯Quizक्विज़Quiz

9.1Heights and Distancesऊँचाइयाँ और दूरियाँHeights and Distances

Line of sightThe line drawn from the eye of the observer to the point being viewed.दृष्टि रेखाप्रेक्षक की आँख से देखी जा रही वस्तु के बिंदु तक खींची गई रेखा।Line of sightDekhne wale ki aankh se dekhi ja rahi cheez ke point tak kheenchi gayi line.
Angle of elevationWhen the object is above the eye, the angle between the line of sight and the horizontal is the angle of elevation (you look up).उन्नयन कोणजब वस्तु आँख से ऊपर हो, तो दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच का कोण उन्नयन कोण है (आप ऊपर देखते हैं)।Angle of elevationJab cheez aankh se upar ho, to line of sight aur horizontal line ke beech ka angle, angle of elevation hai (aap upar dekhte hain).
Angle of depressionWhen the object is below the eye, the angle between the line of sight and the horizontal is the angle of depression (you look down). The angle of depression from A to B equals the angle of elevation from B to A (alternate angles).अवनमन कोणजब वस्तु आँख से नीचे हो, तो दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच का कोण अवनमन कोण है (आप नीचे देखते हैं)। A से B का अवनमन कोण, B से A के उन्नयन कोण के बराबर होता है (एकांतर कोण)।Angle of depressionJab cheez aankh se neeche ho, to line of sight aur horizontal ke beech ka angle, angle of depression hai (aap neeche dekhte hain). A se B ka angle of depression, B se A ke angle of elevation ke barabar hota hai (alternate angles).
The 4-step method(1) Draw a neat figure and mark the right angle. (2) Mark the known angle and the known side. (3) Choose the ratio that links them — usually tan (height and base), or sin/cos if the slanting length is involved. (4) Solve and give units; use \sqrt{3} \approx 1.732 if asked.4-चरण विधि(1) साफ़ चित्र बनाइए और समकोण अंकित कीजिए। (2) ज्ञात कोण और ज्ञात भुजा अंकित कीजिए। (3) उन्हें जोड़ने वाला अनुपात चुनिए — आमतौर पर tan (ऊँचाई और आधार), या तिरछी लंबाई हो तो sin/cos। (4) हल करके इकाई लिखिए; माँगा जाए तो \sqrt{3} \approx 1.732 लीजिए।4-step method(1) Saaf figure banaiye aur right angle mark kijiye. (2) Known angle aur known side mark kijiye. (3) Unhe jodne wala ratio chuniye — aam taur par tan (height aur base), ya tirchhi length ho to sin/cos. (4) Hal karke unit likhiye; maanga jaye to \sqrt{3} \approx 1.732 lijiye.
Example 1From a point on the ground 30 m from the foot of a tower, the angle of elevation of the top is 60°. Find the height of the tower.उदाहरण 1ज़मीन पर मीनार के पाद से 30 m दूर एक बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।Example 1Zameen par tower ke base se 30 m door ek point se tower ke top ka angle of elevation 60° hai. Tower ki oonchai nikaliye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. \tan 60° = \frac{h}{30} \Rightarrow h = 30\sqrt{3}

✔ 30\sqrt{3} m ≈ 51.96 m

Example 2A kite is flying on a 100 m long string. The string makes an angle of 30° with the ground. How high is the kite (assume the string is straight)?उदाहरण 2एक पतंग 100 m लंबी डोर से उड़ रही है। डोर ज़मीन से 30° का कोण बनाती है। पतंग कितनी ऊँचाई पर है (डोर सीधी मानिए)?Example 2Ek patang 100 m lambi dor se ud rahi hai. Dor zameen se 30° ka angle banati hai. Patang kitni oonchai par hai (dor seedhi maaniye)?
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. The string is the hypotenuse, so use sin.डोर कर्ण है, इसलिए sin का प्रयोग कीजिए।Dor hypotenuse hai, isliye sin use kijiye.
    \sin 30° = \frac{h}{100} \Rightarrow h = 100 \times \frac{1}{2} = 50

✔ 50 m

Example 3From the top of a 20 m high building, the angle of depression of a car on the road is 45°. How far is the car from the building?उदाहरण 320 m ऊँची इमारत के शिखर से सड़क पर खड़ी कार का अवनमन कोण 45° है। कार इमारत से कितनी दूर है?Example 320 m oonchi building ke top se sadak par khadi car ka angle of depression 45° hai. Car building se kitni door hai?
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. The angle of elevation of the top from the car is also 45°.कार से शिखर का उन्नयन कोण भी 45° है।Car se top ka angle of elevation bhi 45° hai.
    \tan 45° = \frac{20}{d} \Rightarrow d = 20

✔ 20 m

Example 4A 10 m long ladder leans against a wall and makes 60° with the ground. How high up the wall does it reach, and how far is its foot from the wall?उदाहरण 410 m लंबी सीढ़ी दीवार से टिकी है और ज़मीन से 60° का कोण बनाती है। यह दीवार पर कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है, और इसका पाद दीवार से कितनी दूर है?Example 410 m lambi seedhi deewar se tiki hai aur zameen se 60° ka angle banati hai. Yeh deewar par kitni oonchai tak pahunchti hai, aur iska neeche ka sira deewar se kitni door hai?
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. h = 10 \sin 60° = 5\sqrt{3}, \qquad d = 10 \cos 60° = 5

✔ Height 5\sqrt{3} m ≈ 8.66 m; foot 5 m from the wall.ऊँचाई 5\sqrt{3} m ≈ 8.66 m; पाद दीवार से 5 m दूर।Oonchai 5\sqrt{3} m ≈ 8.66 m; neeche ka sira deewar se 5 m door.

Example 5The angle of elevation of the top of a tower changes from 30° to 60° when you walk 40 m towards it. Find the height of the tower.उदाहरण 5मीनार की ओर 40 m चलने पर उसके शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।Example 5Tower ki taraf 40 m chalne par uske top ka angle of elevation 30° se 60° ho jaata hai. Tower ki oonchai nikaliye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. Let the height be h and the nearer distance x. Two right triangles share the height.मान लीजिए ऊँचाई h और पास वाली दूरी x है। दोनों समकोण त्रिभुजों की ऊँचाई एक ही है।Maan lijiye oonchai h aur paas wali doori x hai. Dono right triangles ki oonchai ek hi hai.
    h = x \tan 60° = \sqrt{3}\,x, \qquad h = (x + 40) \tan 30° = \frac{x + 40}{\sqrt{3}}
  2. \sqrt{3}\,x = \frac{x + 40}{\sqrt{3}} \Rightarrow 3x = x + 40 \Rightarrow x = 20

✔ h = 20\sqrt{3} m ≈ 34.64 m

Example 6From the top of a 15 m high building, the angle of elevation of the top of a tower is 30° and the angle of depression of its foot is 45°. Find the height of the tower.उदाहरण 615 m ऊँची इमारत के शिखर से एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° और उसके पाद का अवनमन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।Example 615 m oonchi building ke top se ek tower ke top ka angle of elevation 30° aur uske base ka angle of depression 45° hai. Tower ki oonchai nikaliye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
  1. The depression of 45° gives the gap between the buildings.45° का अवनमन कोण दोनों के बीच की दूरी देता है।45° ka angle of depression dono ke beech ki doori deta hai.
    \tan 45° = \frac{15}{d} \Rightarrow d = 15
  2. \text{extra height} = d \tan 30° = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}\text{अतिरिक्त ऊँचाई} = d \tan 30° = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}\text{extra oonchai} = d \tan 30° = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}

✔ Tower = 15 + 5\sqrt{3} m ≈ 23.66 mमीनार = 15 + 5\sqrt{3} m ≈ 23.66 mTower = 15 + 5\sqrt{3} m ≈ 23.66 m

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★ Yaad rakho — key formulas★ याद रखो — मुख्य सूत्र★ Yaad rakho — key formulas

  1. Elevation: look up from the horizontal. Depression: look down from the horizontal.उन्नयन: क्षैतिज से ऊपर देखना। अवनमन: क्षैतिज से नीचे देखना।Elevation: horizontal se upar dekhna. Depression: horizontal se neeche dekhna.
  2. Angle of depression from A to B = angle of elevation from B to A.A से B का अवनमन कोण = B से A का उन्नयन कोण।A se B ka angle of depression = B se A ka angle of elevation.
  3. Height and ground distance → tan. Slant length (ladder, string) → sin or cos.ऊँचाई और ज़मीनी दूरी → tan। तिरछी लंबाई (सीढ़ी, डोर) → sin या cos।Height aur zameeni doori → tan. Tirchhi length (seedhi, dor) → sin ya cos.
  4. At 45°, height = horizontal distance.45° पर ऊँचाई = क्षैतिज दूरी।45° par oonchai = horizontal doori.
  5. Walking towards a tower makes the angle of elevation bigger.मीनार की ओर चलने पर उन्नयन कोण बढ़ता है।Tower ki taraf chalne par angle of elevation badhta hai.

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

  • Measuring the angle of depression from the vertical wall instead of from the horizontal line.अवनमन कोण को क्षैतिज रेखा की जगह ऊर्ध्वाधर दीवार से मापना।Angle of depression ko horizontal line ki jagah vertical deewar se naapna.
  • Using sin when the hypotenuse is not known or not asked.कर्ण ज्ञात या पूछा न होने पर भी sin लेना।Hypotenuse pata ya poochha na ho phir bhi sin lena.
  • Forgetting the observer's eye height when it is given (add it to the answer).प्रेक्षक की आँख की ऊँचाई दी हो तो उसे जोड़ना भूल जाना।Dekhne wale ki aankh ki oonchai di ho to use jodna bhool jaana.
  • Rounding √3 too early — keep \sqrt{3} till the last step.√3 को बहुत पहले गोल करना — अंतिम चरण तक \sqrt{3} रखिए।√3 ko bahut pehle round karna — last step tak \sqrt{3} rakhiye.
  • No figure — most mistakes vanish with a clear, labelled diagram.चित्र न बनाना — साफ़, नामांकित चित्र से ज़्यादातर गलतियाँ खत्म हो जाती हैं।Figure na banana — saaf, labelled figure se zyada tar galtiyan khatam ho jaati hain.

✎ Practice questions — with solutions✎ अभ्यास प्रश्न — हल सहित✎ Practice questions — with solutions

5 practice questions written by us (not copied from the book). Try each one yourself first, then tap it to see the full solution.हमारे द्वारा बनाए गए 5 अभ्यास प्रश्न (किताब से नहीं)। पहले स्वयं हल करें, फिर हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें।Humare banaye hue 5 practice questions (kitaab se copy nahi). Pehle khud try kijiye, phir hal dekhne ke liye question par tap kijiye.

Practice questionsअभ्यास प्रश्नPractice questions · 5 Q

Q1. The shadow of a tower is 20 m long when the sun's elevation is 60°. Find the height of the tower.जब सूर्य का उन्नयन कोण 60° है, तब एक मीनार की छाया 20 m लंबी है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।Jab suraj ka angle of elevation 60° hai, tab ek tower ki parchhai 20 m lambi hai. Tower ki oonchai nikaliye.
  1. h = 20 \tan 60° = 20\sqrt{3}

✔ 20\sqrt{3} m ≈ 34.64 m

Q2. The angle of elevation of the top of a 50 m tall tower from a point on the ground is 45°. How far is the point from the tower?ज़मीन के एक बिंदु से 50 m ऊँची मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। बिंदु मीनार से कितनी दूर है?Zameen ke ek point se 50 m oonche tower ke top ka angle of elevation 45° hai. Point tower se kitni door hai?
  1. \tan 45° = \frac{50}{d} \Rightarrow d = 50

✔ 50 m

Q3. A slide in a park is 3 m long and makes 30° with the ground. How high is its top?पार्क की एक फिसलपट्टी 3 m लंबी है और ज़मीन से 30° का कोण बनाती है। उसका ऊपरी सिरा कितना ऊँचा है?Park ki ek slide 3 m lambi hai aur zameen se 30° ka angle banati hai. Uska upar wala sira kitna ooncha hai?
  1. h = 3 \sin 30° = 1.5

✔ 1.5 m

Q4. From the top of a 100 m high cliff, the angle of depression of a boat is 30°. How far is the boat from the foot of the cliff?100 m ऊँची चट्टान के शिखर से एक नाव का अवनमन कोण 30° है। नाव चट्टान के पाद से कितनी दूर है?100 m oonchi chattan ke top se ek naav ka angle of depression 30° hai. Naav chattan ke base se kitni door hai?
  1. \tan 30° = \frac{100}{d} \Rightarrow d = 100\sqrt{3}

✔ 100\sqrt{3} m ≈ 173.2 m

Q5. A girl whose eyes are 1.5 m above the ground stands 28.5 m from a pole and sees its top at an angle of elevation of 45°. Find the height of the pole.एक लड़की जिसकी आँखें ज़मीन से 1.5 m ऊपर हैं, एक खंभे से 28.5 m दूर खड़ी है और उसके शिखर को 45° के उन्नयन कोण पर देखती है। खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।Ek ladki jiski aankhein zameen se 1.5 m upar hain, ek khambe se 28.5 m door khadi hai aur uske top ko 45° ke angle of elevation par dekhti hai. Khambe ki oonchai nikaliye.
  1. \text{height above eye} = 28.5 \tan 45° = 28.5\text{आँख से ऊपर ऊँचाई} = 28.5 \tan 45° = 28.5\text{aankh se upar oonchai} = 28.5 \tan 45° = 28.5

✔ 28.5 + 1.5 = 30 m

🎯 Quiz — 6 questions🎯 क्विज़ — 6 प्रश्न🎯 Quiz — 6 questions

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1. When the sun's elevation is 45°, the shadow of a pole is:जब सूर्य का उन्नयन कोण 45° हो, तो खंभे की छाया:Jab suraj ka angle of elevation 45° ho, to khambe ki parchhai:

2. As you walk towards a tall building, the angle of elevation of its top:ऊँची इमारत की ओर चलने पर उसके शिखर का उन्नयन कोण:Oonchi building ki taraf chalne par uske top ka angle of elevation:

3. The angle of depression of B from A equals:A से B का अवनमन कोण बराबर होता है:A se B ka angle of depression barabar hota hai:

4. A 12 m ladder makes 30° with the ground. The height it reaches is:12 m की सीढ़ी ज़मीन से 30° का कोण बनाती है। वह कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है:12 m ki seedhi zameen se 30° ka angle banati hai. Woh kitni oonchai tak pahunchti hai:

5. If a pole's shadow is \sqrt{3} times its height, the sun's elevation is:यदि खंभे की छाया उसकी ऊँचाई की \sqrt{3} गुनी है, तो सूर्य का उन्नयन कोण है:Agar khambe ki parchhai uski oonchai ki \sqrt{3} guni hai, to suraj ka angle of elevation hai:

6. To find a height when the horizontal distance is known, the most useful ratio is:क्षैतिज दूरी ज्ञात हो तो ऊँचाई ज्ञात करने के लिए सबसे उपयोगी अनुपात है:Horizontal doori pata ho to oonchai nikalne ke liye sabse useful ratio hai:

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These are Simple Learning Hub's own study notes and solutions, written to follow the NCERT Class 10 Mathematics textbook (Reprint 2026-27) section by section; read them with the official NCERT chapter. All examples and practice questions are our own; diagrams are original SLH drawings.