Introduction to Trigonometryत्रिकोणमिति का परिचयIntroduction to Trigonometry (Trikonmiti ka Parichay)

• In a right triangle, for angle θ: sin θ = Perpendicular/Hypotenuse, cos θ = Base/Hypotenuse, tan θ = Perpendicular/Base.
• The other three are reciprocals: cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ.
• Memory line: sin = P/H, cos = B/H, tan = P/B.
• Method (4 steps): (1) Write the given ratio as a fraction of two sides. (2) Take those two sides as k times the numbers (e.g. 4k and 3k). (3) Find the third side by Pythagoras: H² = P² + B². (4) Write the asked ratio from the triangle.
• Common triplets that save time: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25.
• Values of sin θ and cos θ are never more than 1 (for an acute angle they lie between 0 and 1). sec θ and cosec θ are never less than 1.
• tan θ = sin θ/cos θ and cot θ = cos θ/sin θ.

• समकोण त्रिभुज में कोण θ के लिए: sin θ = लम्ब/कर्ण, cos θ = आधार/कर्ण, tan θ = लम्ब/आधार।
• बाकी तीन व्युत्क्रम हैं: cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ।
• याद रखने की पंक्ति: sin = ल/क, cos = आ/क, tan = ल/आ।
• विधि (4 चरण): (1) दिए गए अनुपात को दो भुजाओं की भिन्न के रूप में लिखिए। (2) उन भुजाओं को k गुना लीजिए (जैसे 4k और 3k)। (3) पाइथागोरस से तीसरी भुजा निकालिए: कर्ण² = लम्ब² + आधार²। (4) त्रिभुज से माँगा गया अनुपात लिखिए।
• समय बचाने वाले त्रिक: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25।
• sin θ और cos θ का मान कभी 1 से अधिक नहीं होता (न्यून कोण के लिए 0 और 1 के बीच)। sec θ और cosec θ कभी 1 से कम नहीं होते।
• tan θ = sin θ/cos θ और cot θ = cos θ/sin θ।

• Right triangle mein angle θ ke liye: sin θ = Perpendicular/Hypotenuse, cos θ = Base/Hypotenuse, tan θ = Perpendicular/Base.
• Baaki teen ulte (reciprocal) hain: cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ.
• Yaad rakhne ki line: sin = P/H, cos = B/H, tan = P/B.
• Method (4 steps): (1) Diye gaye ratio ko do sides ki fraction mein likhiye. (2) Un sides ko k guna lijiye (jaise 4k aur 3k). (3) Pythagoras se teesri side nikaliye: H² = P² + B². (4) Triangle se jo ratio maanga hai woh likhiye.
• Time bachane wale triplets: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25.
• sin θ aur cos θ ki value kabhi 1 se zyada nahi hoti (acute angle ke liye 0 aur 1 ke beech). sec θ aur cosec θ kabhi 1 se kam nahi hote.
• tan θ = sin θ/cos θ aur cot θ = cos θ/sin θ.

💡 Always draw the small triangle and write P, B, H on it. The examiner gives a step mark for the Pythagoras line.हमेशा छोटा त्रिभुज बनाकर उस पर लम्ब, आधार, कर्ण लिखिए। पाइथागोरस वाली पंक्ति के लिए चरण-अंक मिलता है।Hamesha chhota triangle banaiye aur us par P, B, H likhiye. Pythagoras wali line ke liye step mark milta hai.

• sin: 0°→0, 30°→1/2, 45°→1/√2, 60°→√3/2, 90°→1.
• cos is sin written in reverse: 0°→1, 30°→√3/2, 45°→1/√2, 60°→1/2, 90°→0.
• tan: 0°→0, 30°→1/√3, 45°→1, 60°→√3, 90°→not defined.
• cosec, sec, cot are the reciprocals: cosec 30° = 2, sec 60° = 2, cosec 60° = 2/√3, sec 45° = √2, cot 30° = √3, cot 90° = 0.
• Trick for sin row: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. This gives 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1.
• To evaluate an expression: put each value, square carefully (e.g. tan²30° = 1/3), then simplify the fraction.
• Useful results that come as MCQs: 2 tan 30°/(1 + tan²30°) = sin 60° = √3/2; 2 tan 30°/(1 − tan²30°) = tan 60° = √3; (1 − tan²45°)/(1 + tan²45°) = 0.

• sin: 0°→0, 30°→1/2, 45°→1/√2, 60°→√3/2, 90°→1।
• cos, sin की उलटी पंक्ति है: 0°→1, 30°→√3/2, 45°→1/√2, 60°→1/2, 90°→0।
• tan: 0°→0, 30°→1/√3, 45°→1, 60°→√3, 90°→अपरिभाषित।
• cosec, sec, cot व्युत्क्रम हैं: cosec 30° = 2, sec 60° = 2, cosec 60° = 2/√3, sec 45° = √2, cot 30° = √3, cot 90° = 0।
• sin की पंक्ति की ट्रिक: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2। इससे 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1 मिलता है।
• व्यंजक का मान निकालने के लिए: हर मान रखिए, वर्ग ध्यान से कीजिए (जैसे tan²30° = 1/3), फिर भिन्न को सरल कीजिए।
• MCQ में आने वाले परिणाम: 2 tan 30°/(1 + tan²30°) = sin 60° = √3/2; 2 tan 30°/(1 − tan²30°) = tan 60° = √3; (1 − tan²45°)/(1 + tan²45°) = 0।

• sin: 0°→0, 30°→1/2, 45°→1/√2, 60°→√3/2, 90°→1.
• cos, sin ki ulti line hai: 0°→1, 30°→√3/2, 45°→1/√2, 60°→1/2, 90°→0.
• tan: 0°→0, 30°→1/√3, 45°→1, 60°→√3, 90°→defined nahi.
• cosec, sec, cot reciprocal hain: cosec 30° = 2, sec 60° = 2, cosec 60° = 2/√3, sec 45° = √2, cot 30° = √3, cot 90° = 0.
• sin row ki trick: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. Isse 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1 milta hai.
• Expression ki value ke liye: har value rakhiye, square dhyan se kijiye (jaise tan²30° = 1/3), phir fraction simplify kijiye.
• MCQ mein aane wale results: 2 tan 30°/(1 + tan²30°) = sin 60° = √3/2; 2 tan 30°/(1 − tan²30°) = tan 60° = √3; (1 − tan²45°)/(1 + tan²45°) = 0.

💡 Write the table once in the margin of your answer sheet before you start the trigonometry questions.त्रिकोणमिति के प्रश्न शुरू करने से पहले उत्तर-पुस्तिका के किनारे पर तालिका एक बार लिख लीजिए।Trigonometry ke sawaal shuru karne se pehle answer sheet ke kinaare par table ek baar likh lijiye.

• Method: make the ratio alone on one side, match the value with the table, then solve for the angle.
• 2 cos 3θ = 1 ⇒ cos 3θ = 1/2 = cos 60° ⇒ 3θ = 60° ⇒ θ = 20°.
• tan 2A = 1 ⇒ 2A = 45° ⇒ A = 22½°.
• sin θ = cos θ ⇒ tan θ = 1 ⇒ θ = 45°.
• sec θ = 2 ⇒ cos θ = 1/2 ⇒ θ = 60°. cosec θ = 2 ⇒ θ = 30°.
• tan α = sin α ⇒ sin α/cos α = sin α ⇒ either sin α = 0 or cos α = 1 ⇒ α = 0°.
• sin θ = cosec θ ⇒ sin²θ = 1 ⇒ θ = 90° (π/2) for 0 ≤ θ ≤ 90°.

• विधि: अनुपात को एक पक्ष पर अकेला कीजिए, तालिका से मान मिलाइए, फिर कोण निकालिए।
• 2 cos 3θ = 1 ⇒ cos 3θ = 1/2 = cos 60° ⇒ 3θ = 60° ⇒ θ = 20°।
• tan 2A = 1 ⇒ 2A = 45° ⇒ A = 22½°।
• sin θ = cos θ ⇒ tan θ = 1 ⇒ θ = 45°।
• sec θ = 2 ⇒ cos θ = 1/2 ⇒ θ = 60°। cosec θ = 2 ⇒ θ = 30°।
• tan α = sin α ⇒ sin α/cos α = sin α ⇒ sin α = 0 या cos α = 1 ⇒ α = 0°।
• sin θ = cosec θ ⇒ sin²θ = 1 ⇒ θ = 90° (π/2), जब 0 ≤ θ ≤ 90°।

• Method: ratio ko ek side par akela kijiye, table se value milaiye, phir angle nikaliye.
• 2 cos 3θ = 1 ⇒ cos 3θ = 1/2 = cos 60° ⇒ 3θ = 60° ⇒ θ = 20°.
• tan 2A = 1 ⇒ 2A = 45° ⇒ A = 22½°.
• sin θ = cos θ ⇒ tan θ = 1 ⇒ θ = 45°.
• sec θ = 2 ⇒ cos θ = 1/2 ⇒ θ = 60°. cosec θ = 2 ⇒ θ = 30°.
• tan α = sin α ⇒ sin α/cos α = sin α ⇒ ya to sin α = 0 ya cos α = 1 ⇒ α = 0°.
• sin θ = cosec θ ⇒ sin²θ = 1 ⇒ θ = 90° (π/2), jab 0 ≤ θ ≤ 90°.

• Three identities: sin²θ + cos²θ = 1; 1 + tan²θ = sec²θ; 1 + cot²θ = cosec²θ.
• Useful forms: 1 − cos²θ = sin²θ; sec²θ − tan²θ = 1; cosec²θ − cot²θ = 1.
• Method: (1) Start with the harder side (usually LHS). (2) If you are stuck, change everything into sin and cos. (3) Take LCM and use an identity. (4) Reach the other side and write 'LHS = RHS, hence proved'.
• Square-root type, e.g. √[(1 − cos θ)/(1 + cos θ)]: multiply inside by (1 − cos θ)/(1 − cos θ). The bottom becomes 1 − cos²θ = sin²θ, a perfect square.
• The '+1 / −1' type, e.g. (sin θ − cos θ + 1)/(sin θ + cos θ − 1): divide top and bottom by cos θ, then replace 1 by sec²θ − tan²θ. This is the favourite 6-mark question.
• Never move a term from one side to the other as in equations. Work on one side only.
• Remember (a + b)(a − b) = a² − b². It turns (1 − sin θ)(1 + sin θ) into cos²θ.

• तीन सर्वसमिकाएँ: sin²θ + cos²θ = 1; 1 + tan²θ = sec²θ; 1 + cot²θ = cosec²θ।
• उपयोगी रूप: 1 − cos²θ = sin²θ; sec²θ − tan²θ = 1; cosec²θ − cot²θ = 1।
• विधि: (1) कठिन पक्ष से शुरू कीजिए (प्रायः बायाँ पक्ष)। (2) अटकें तो सब कुछ sin और cos में बदलिए। (3) LCM लीजिए और सर्वसमिका लगाइए। (4) दूसरे पक्ष तक पहुँचकर लिखिए 'बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष, इति सिद्धम्'।
• वर्गमूल वाले प्रश्न, जैसे √[(1 − cos θ)/(1 + cos θ)]: अंदर (1 − cos θ)/(1 − cos θ) से गुणा कीजिए। हर 1 − cos²θ = sin²θ बन जाता है, जो पूर्ण वर्ग है।
• '+1 / −1' वाले प्रश्न, जैसे (sin θ − cos θ + 1)/(sin θ + cos θ − 1): अंश और हर को cos θ से भाग दीजिए, फिर 1 के स्थान पर sec²θ − tan²θ रखिए। यह 6 अंक का पसंदीदा प्रश्न है।
• समीकरण की तरह किसी पद को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में मत ले जाइए। केवल एक पक्ष पर काम कीजिए।
• (a + b)(a − b) = a² − b² याद रखिए। इससे (1 − sin θ)(1 + sin θ) = cos²θ बनता है।

• Teen identities: sin²θ + cos²θ = 1; 1 + tan²θ = sec²θ; 1 + cot²θ = cosec²θ.
• Kaam ke roop: 1 − cos²θ = sin²θ; sec²θ − tan²θ = 1; cosec²θ − cot²θ = 1.
• Method: (1) Mushkil side se shuru kijiye (aksar LHS). (2) Atak jaayein to sab kuch sin aur cos mein badliye. (3) LCM lijiye aur identity lagaiye. (4) Doosri side tak pahunch kar likhiye 'LHS = RHS, hence proved'.
• Square-root wale, jaise √[(1 − cos θ)/(1 + cos θ)]: andar (1 − cos θ)/(1 − cos θ) se multiply kijiye. Neeche 1 − cos²θ = sin²θ ban jaata hai, jo perfect square hai.
• '+1 / −1' wale, jaise (sin θ − cos θ + 1)/(sin θ + cos θ − 1): upar-neeche cos θ se divide kijiye, phir 1 ki jagah sec²θ − tan²θ rakhiye. Yeh 6 marks ka favourite sawaal hai.
• Equation ki tarah kisi term ko ek side se doosri side mat le jaaiye. Sirf ek side par kaam kijiye.
• (a + b)(a − b) = a² − b² yaad rakhiye. Isse (1 − sin θ)(1 + sin θ) = cos²θ banta hai.

💡 If both sides look hard, simplify each side separately to the same expression. That is a full-marks method too.यदि दोनों पक्ष कठिन लगें, तो दोनों को अलग-अलग सरल करके एक ही व्यंजक तक पहुँचिए। इससे भी पूरे अंक मिलते हैं।Agar dono sides mushkil lagein, to dono ko alag-alag simplify karke ek hi expression tak pahunchiye. Isse bhi poore marks milte hain.

• sec²A − tan²A = 1 and cosec²A − cot²A = 1. (A favourite MCQ: answer 1.)
• (1 + tan²A)/(1 + cot²A) = sec²A/cosec²A = tan²A.
• (1 + cot²A)/(1 + tan²A) = cosec²A/sec²A = cot²A.
• (sec A + tan A)(1 − sin A) = cos A. (Write sec A + tan A = (1 + sin A)/cos A, then (1 + sin A)(1 − sin A) = cos²A.)
• (cosec A − cot A)(1 + cos A) = sin A.
• Remember: 9 sec²A − 9 tan²A = 9 (take 9 common).
• Proof of 1 + tan²A = sec²A: divide sin²A + cos²A = 1 by cos²A.

• sec²A − tan²A = 1 और cosec²A − cot²A = 1। (पसंदीदा MCQ: उत्तर 1।)
• (1 + tan²A)/(1 + cot²A) = sec²A/cosec²A = tan²A।
• (1 + cot²A)/(1 + tan²A) = cosec²A/sec²A = cot²A।
• (sec A + tan A)(1 − sin A) = cos A। (sec A + tan A = (1 + sin A)/cos A लिखिए, फिर (1 + sin A)(1 − sin A) = cos²A।)
• (cosec A − cot A)(1 + cos A) = sin A।
• याद रखिए: 9 sec²A − 9 tan²A = 9 (9 उभयनिष्ठ लीजिए)।
• 1 + tan²A = sec²A का प्रमाण: sin²A + cos²A = 1 को cos²A से भाग दीजिए।

• sec²A − tan²A = 1 aur cosec²A − cot²A = 1. (Favourite MCQ: answer 1.)
• (1 + tan²A)/(1 + cot²A) = sec²A/cosec²A = tan²A.
• (1 + cot²A)/(1 + tan²A) = cosec²A/sec²A = cot²A.
• (sec A + tan A)(1 − sin A) = cos A. (sec A + tan A = (1 + sin A)/cos A likhiye, phir (1 + sin A)(1 − sin A) = cos²A.)
• (cosec A − cot A)(1 + cos A) = sin A.
• Yaad rakhiye: 9 sec²A − 9 tan²A = 9 (9 common lijiye).
• 1 + tan²A = sec²A ka proof: sin²A + cos²A = 1 ko cos²A se divide kijiye.

💡 In MCQs, put A = 45° (or 30°) in the expression and in each option. The option that matches is the answer.MCQ में व्यंजक और हर विकल्प में A = 45° (या 30°) रखकर देखिए। जो विकल्प मेल खाए, वही उत्तर है।MCQ mein expression aur har option mein A = 45° (ya 30°) rakh kar dekhiye. Jo option match kare, wahi answer hai.