Simple Learning HubCLASS 9–12 · JEE · NEET

Ch 14Probabilityप्रायिकताProbability

Theoretical probability: equally likely outcomes, P(E) = favourable ÷ total, sure and impossible events, and complementary events — with our own solved examples on coins, dice, playing cards and bags of balls, common mistakes and a quiz.सैद्धांतिक प्रायिकता: समप्रायिक परिणाम, P(E) = अनुकूल ÷ कुल, निश्चित और असंभव घटनाएँ, और पूरक घटनाएँ — सिक्के, पासे, ताश के पत्ते और गेंदों के थैले पर हमारे अपने हल किए गए उदाहरण, आम गलतियाँ और क्विज़।Theoretical probability: equally likely outcomes, P(E) = favourable ÷ total, sure aur impossible events, aur complementary events — coin, dice, playing cards aur balls ke bag par humare apne solved examples, common mistakes aur quiz.

Didn’t understand a paragraph? Tap it (or its Explain button) → Hindi / Hinglish / Simple English.कोई पैराग्राफ़ समझ नहीं आया? उस पर (या समझें बटन पर) टैप करें → English / Hinglish।Koi paragraph samajh nahi aaya? Us par (ya Samjho button par) tap kijiye → Hindi / English.

Board Notes: Pass to Topperबोर्ड नोट्स: पास से टॉपर तकBoard Notes: Pass se Topper tak🔥 Top topic came in 5 of 7 years · see what to learn first🔥 सबसे ऊपर वाला टॉपिक 7 में से 5 वर्ष आया · देखें पहले क्या पढ़ें🔥 Top topic 7 mein se 5 saal aaya · dekhiye pehle kya padhna hai
NCERT bookNCERT किताबNCERT book
Read this chapter in the official textbookयह अध्याय आधिकारिक किताब में पढ़ेंYeh chapter official kitaab mein padhiye
English bookअंग्रेज़ी किताबEnglish book Hindi bookहिंदी किताबHindi book
© NCERT · opens on ncert.nic.in© NCERT · ncert.nic.in पर खुलेगा© NCERT · ncert.nic.in par khulega
∑ Formulas✎ practice Qs🎯 Quiz
In this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
  1. 14.1Probability — A Theoretical Approachप्रायिकता — एक सैद्धांतिक दृष्टिकोणProbability — theoretical approach
  2. ★Yaad rakho — key formulasयाद रखो — मुख्य सूत्रYaad rakho — key formulas
  3. ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
  4. ✎Practice questions — with solutionsअभ्यास प्रश्न — हल सहितPractice questions — with solutions
  5. 🎯Quizक्विज़Quiz

14.1Probability — A Theoretical Approachप्रायिकता — एक सैद्धांतिक दृष्टिकोणProbability — theoretical approach

Probability measures how likely something is, on a scale from 0 (cannot happen) to 1 (must happen). When all outcomes of an experiment are equally likely — a fair coin, a fair die, a well-shuffled pack — we can find the probability without doing the experiment.प्रायिकता बताती है कि कोई घटना कितनी संभावित है, 0 (हो ही नहीं सकती) से 1 (अवश्य होगी) के पैमाने पर। जब किसी प्रयोग के सभी परिणाम समप्रायिक हों — न्याय्य सिक्का, न्याय्य पासा, अच्छी तरह फेंटी गई ताश की गड्डी — तो हम प्रयोग किए बिना प्रायिकता ज्ञात कर सकते हैं।Probability batati hai ki koi event kitna likely hai, 0 (ho hi nahi sakta) se 1 (zaroor hoga) ke scale par. Jab kisi experiment ke saare outcomes equally likely hon — fair coin, fair die, achhi tarah phenti gayi taash ki gaddi — to hum experiment kiye bina probability nikal sakte hain.

P(E) = \frac{\text{number of outcomes favourable to } E}{\text{total number of possible outcomes}}P(E) = \frac{E \text{ के अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभव परिणामों की संख्या}}P(E) = \frac{E \text{ ke favourable outcomes ki sankhya}}{\text{saare possible outcomes ki sankhya}}
A pack of cards52 cards in 4 suits — spades ♠ and clubs ♣ (black), hearts ♥ and diamonds ♦ (red) — 13 in each: A, 2–10, J, Q, K. Face cards are J, Q, K: 12 in all.ताश की गड्डी52 पत्ते, 4 रंग (सूट) — हुकुम ♠ और चिड़ी ♣ (काले), पान ♥ और ईंट ♦ (लाल) — हर एक में 13: इक्का, 2–10, गुलाम, बेगम, बादशाह। तस्वीर वाले पत्ते (गुलाम, बेगम, बादशाह) कुल 12 हैं।Taash ki gaddi52 cards, 4 suits — spades ♠ aur clubs ♣ (kaale), hearts ♥ aur diamonds ♦ (laal) — har ek mein 13: A, 2–10, J, Q, K. Face cards J, Q, K: kul 12.
Example 1A fair die is thrown once. Find the probability of getting (i) a prime number (ii) a number greater than 4.उदाहरण 1एक न्याय्य पासा एक बार फेंका जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए: (i) एक अभाज्य संख्या (ii) 4 से बड़ी संख्या।Example 1Ek fair die ek baar phenka jaata hai. Probability nikaliye: (i) ek prime number (ii) 4 se badi sankhya.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. Outcomes: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Primes: 2, 3, 5. Greater than 4: 5, 6.परिणाम: 1, 2, 3, 4, 5, 6। अभाज्य: 2, 3, 5। 4 से बड़ी: 5, 6।Outcomes: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Primes: 2, 3, 5. 4 se badi: 5, 6.
    \text{(i) } \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \qquad \text{(ii) } \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

✔ (i) \frac{1}{2} (ii) \frac{1}{3}

Example 2One card is drawn from a well-shuffled pack of 52. Find the probability that it is (i) a king (ii) a red face card (iii) not a spade.उदाहरण 2अच्छी तरह फेंटी गई 52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह (i) बादशाह हो (ii) लाल तस्वीर वाला पत्ता हो (iii) हुकुम न हो।Example 2Achhi tarah phenti gayi 52 cards ki gaddi se ek card nikala jaata hai. Probability nikaliye ki woh (i) king ho (ii) laal face card ho (iii) spade na ho.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. \text{(i) } \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \qquad \text{(ii) } \frac{6}{52} = \frac{3}{26} \qquad \text{(iii) } 1 - \frac{13}{52} = \frac{3}{4}

✔ (i) \frac{1}{13} (ii) \frac{3}{26} (iii) \frac{3}{4}

Example 3Two coins are tossed together. Find the probability of getting at least one head.उदाहरण 3दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। कम से कम एक चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।Example 3Do coins ek saath uchhale jaate hain. Kam se kam ek head aane ki probability nikaliye.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. Outcomes: HH, HT, TH, TT. At least one head: HH, HT, TH.परिणाम: HH, HT, TH, TT। कम से कम एक चित: HH, HT, TH।Outcomes: HH, HT, TH, TT. Kam se kam ek head: HH, HT, TH.

✔ \frac{3}{4}

Example 4Two dice are thrown together. Find the probability that (i) the sum is 8 (ii) both show the same number.उदाहरण 4दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i) योग 8 हो (ii) दोनों पर एक ही संख्या हो।Example 4Do dice ek saath phenke jaate hain. Probability nikaliye ki (i) sum 8 ho (ii) dono par same number ho.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. There are 6 × 6 = 36 outcomes. Sum 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). Doublets: (1,1) … (6,6).कुल 6 × 6 = 36 परिणाम हैं। योग 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)। समान संख्या: (1,1) … (6,6)।Kul 6 × 6 = 36 outcomes hain. Sum 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). Same number: (1,1) … (6,6).
    \text{(i) } \frac{5}{36} \qquad \text{(ii) } \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

✔ (i) \frac{5}{36} (ii) \frac{1}{6}

Example 5Cards numbered 1 to 30 are in a box. One is drawn at random. Find the probability that its number is a multiple of 4.उदाहरण 5एक डिब्बे में 1 से 30 तक की संख्याओं वाले कार्ड हैं। एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उसकी संख्या 4 का गुणज हो।Example 5Ek dibbe mein 1 se 30 tak ke numbers wale cards hain. Ek card randomly nikala jaata hai. Probability nikaliye ki uska number 4 ka multiple ho.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. Multiples of 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 — that is 7.4 के गुणज: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 — कुल 7।4 ke multiples: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 — kul 7.

✔ \frac{7}{30}

Example 6The probability that it rains tomorrow is 0.35. What is the probability that it does not rain?उदाहरण 6कल बारिश होने की प्रायिकता 0.35 है। बारिश न होने की प्रायिकता क्या है?Example 6Kal baarish hone ki probability 0.35 hai. Baarish na hone ki probability kya hai?
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
  1. P(\bar{E}) = 1 - 0.35 = 0.65

✔ 0.65

Didn’t get this part?समझ नहीं आया?Samajh nahi aaya?
Read our notes againहमारे नोट्स फिर पढ़ेंHamare notes phir padhiyeSee it in the NCERT book ↗NCERT किताब में देखें ↗NCERT book mein dekhiye ↗

★ Yaad rakho — key formulas★ याद रखो — मुख्य सूत्र★ Yaad rakho — key formulas

  1. P(E) = favourable outcomes ÷ total outcomes (outcomes equally likely).P(E) = अनुकूल परिणाम ÷ कुल परिणाम (परिणाम समप्रायिक हों)।P(E) = favourable outcomes ÷ total outcomes (outcomes equally likely hon).
  2. 0 ≤ P(E) ≤ 1; sure event = 1, impossible event = 0.0 ≤ P(E) ≤ 1; निश्चित घटना = 1, असंभव घटना = 0।0 ≤ P(E) ≤ 1; sure event = 1, impossible event = 0.
  3. P(not E) = 1 − P(E).P(E नहीं) = 1 − P(E)।P(E nahi) = 1 − P(E).
  4. Two coins: 4 outcomes. Two dice: 36 outcomes. Pack of cards: 52.दो सिक्के: 4 परिणाम। दो पासे: 36 परिणाम। ताश की गड्डी: 52।Do coins: 4 outcomes. Do dice: 36 outcomes. Taash ki gaddi: 52.
  5. List the outcomes first — then count.पहले परिणामों की सूची बनाइए — फिर गिनिए।Pehle outcomes ki list banaiye — phir giniye.

⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes

  • Getting a probability more than 1 or negative — that means a counting error.प्रायिकता 1 से अधिक या ऋणात्मक आना — इसका अर्थ है गिनती में गलती।Probability 1 se zyada ya negative aana — iska matlab hai ginti mein galti.
  • Taking 3 outcomes for two coins (HH, HT, TT) — HT and TH are different outcomes.दो सिक्कों के लिए 3 परिणाम (HH, HT, TT) लेना — HT और TH अलग-अलग परिणाम हैं।Do coins ke liye 3 outcomes (HH, HT, TT) lena — HT aur TH alag outcomes hain.
  • Counting 1 as a prime number.1 को अभाज्य संख्या गिनना।1 ko prime number ginna.
  • Counting aces as face cards — only J, Q, K are face cards.इक्के को तस्वीर वाला पत्ता गिनना — केवल गुलाम, बेगम, बादशाह तस्वीर वाले पत्ते हैं।Ace ko face card ginna — sirf J, Q, K face cards hain.
  • Not simplifying the fraction at the end.अंत में भिन्न को सरल न करना।End mein fraction ko simplify na karna.

✎ Practice questions — with solutions✎ अभ्यास प्रश्न — हल सहित✎ Practice questions — with solutions

5 practice questions written by us (not copied from the book). Try each one yourself first, then tap it to see the full solution.हमारे द्वारा बनाए गए 5 अभ्यास प्रश्न (किताब से नहीं)। पहले स्वयं हल करें, फिर हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें।Humare banaye hue 5 practice questions (kitaab se copy nahi). Pehle khud try kijiye, phir hal dekhne ke liye question par tap kijiye.

Practice questionsअभ्यास प्रश्नPractice questions · 5 Q

Q1. A die is thrown. Find the probability of an even number.एक पासा फेंका जाता है। सम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।Ek die phenka jaata hai. Even number aane ki probability nikaliye.
  1. \frac{3}{6}

✔ \frac{1}{2}

Q2. A bag has 3 red, 5 green and 2 yellow balls. One ball is taken out at random. Find the probability that it is not green.एक थैले में 3 लाल, 5 हरी और 2 पीली गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह हरी न हो।Ek thaile mein 3 laal, 5 hari aur 2 peeli balls hain. Ek ball randomly nikali jaati hai. Probability nikaliye ki woh hari na ho.
  1. 1 - \frac{5}{10} = \frac{5}{10}

✔ \frac{1}{2}

Q3. One card is drawn from a pack of 52. Find the probability that it is the ace of hearts.52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह पान का इक्का हो।52 cards ki gaddi se ek card nikala jaata hai. Probability nikaliye ki woh ace of hearts ho.

✔ \frac{1}{52}

Q4. Two dice are thrown. Find the probability that the sum is 7.दो पासे फेंके जाते हैं। योग 7 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।Do dice phenke jaate hain. Sum 7 aane ki probability nikaliye.
  1. (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1): 6 outcomes out of 36.(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1): 36 में से 6 परिणाम।(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1): 36 mein se 6 outcomes.

✔ \frac{1}{6}

Q5. A number is chosen at random from 1 to 50. Find the probability that it is a perfect square.1 से 50 तक से एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह पूर्ण वर्ग हो।1 se 50 tak se ek number randomly chuna jaata hai. Probability nikaliye ki woh perfect square ho.
  1. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 — 7 numbers.1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 — 7 संख्याएँ।1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 — 7 numbers.

✔ \frac{7}{50}

🎯 Quiz — 6 questions🎯 क्विज़ — 6 प्रश्न🎯 Quiz — 6 questions

Tap an option. The answer and a short reason appear at once.किसी विकल्प पर टैप करें। उत्तर और छोटा कारण तुरंत दिखेगा।Kisi option par tap kijiye. Answer aur chhota reason turant dikhega.

1. The probability of an impossible event is:असंभव घटना की प्रायिकता है:Impossible event ki probability hai:

2. If P(E) = 0.7, then P(not E) is:यदि P(E) = 0.7, तो P(E नहीं) है:Agar P(E) = 0.7, to P(E nahi) hai:

3. Which of these cannot be a probability?इनमें से कौन प्रायिकता नहीं हो सकती?Inmein se kaunsi probability nahi ho sakti?

4. The probability of drawing a red card from a pack of 52 is:52 पत्तों की गड्डी से लाल पत्ता निकलने की प्रायिकता है:52 cards ki gaddi se laal card nikalne ki probability hai:

5. When two dice are thrown, the total number of outcomes is:दो पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या है:Do dice phenkne par kul outcomes ki sankhya hai:

6. A coin is tossed once. The probability of a tail is:एक सिक्का एक बार उछाला जाता है। पट आने की प्रायिकता है:Ek coin ek baar uchhala jaata hai. Tail aane ki probability hai:

← Ch 13All chapters →

Found a mistake? Report a mistake — we fix confirmed errors quickly.

These are Simple Learning Hub's own study notes and solutions, written to follow the NCERT Class 10 Mathematics textbook (Reprint 2026-27) section by section; read them with the official NCERT chapter. All examples and practice questions are our own; diagrams are original SLH drawings.