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📝 Board Notes: Pass to Topperबोर्ड नोट्स: पास से टॉपर तकBoard Notes: Pass se Topper tak

Probabilityप्रायिकताProbability (Prayikta)

Class 10 Maths · Chapter 14 · UP Boardकक्षा 10 गणित · अध्याय 14 · यूपी बोर्डClass 10 Maths · Chapter 14 · UP Board

Built by analysing many years of real UP Board papers, and updated after every board exam. Beginner or topper, it is for everyone.कई वर्षों के असली यूपी बोर्ड पेपरों के विश्लेषण से बना, हर बोर्ड परीक्षा के बाद अपडेट। शुरुआत करने वाले हों या टॉपर, सबके लिए।Kai saalon ke asli UP Board papers ko analyse karke bana, har board exam ke baad update. Beginner ho ya topper, sabke liye.

📊 Based on 7 years (2019–2026) of UP Board papers, current syllabus: 43 sets readवर्तमान सिलेबस के 7 वर्षों (2019–2026) के यूपी बोर्ड पेपरों पर आधारित: 43 सेट पढ़े गएCurrent syllabus ke 7 saal (2019–2026) ke UP Board papers par based: 43 sets padhe (2019, 2020, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026) · plus 10 old-syllabus papers (2012–2018), counted separatelyसाथ में पुराने सिलेबस के 10 पेपर (2012–2018) अलग से गिने गएpurane syllabus ke 10 papers (2012–2018) alag se gine

🔥 Most asked in this chapterइस अध्याय में सबसे ज़्यादा पूछे गएIs chapter mein sabse zyada aaye

Ranked by how many years each topic came in the paper. Tap a topic to jump to its notes.हर टॉपिक कितने वर्ष पेपर में आया, उसी क्रम में। टॉपिक पर टैप करें, नोट्स पर पहुँचें।Har topic kitne saal paper mein aaya, usi order mein. Topic par tap kijiye, notes par pahunchiye.

1Dice problems (one die and two dice)पासे के प्रश्न (एक पासा और दो पासे)Dice ke sawaal (ek dice aur do dice)🔥 Asked in 5 of 7 years🔥 7 में से 5 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 5/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 1, 4अंक: 1, 4Marks: 1, 42Balls, marbles and numbered cards in a bagथैले में गेंदें, कंचे और संख्या वाले कार्डBag mein balls, marbles aur number wale cards🔥 Asked in 5 of 7 years🔥 7 में से 5 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 5/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 1, 2, 4अंक: 1, 2, 4Marks: 1, 2, 4 · + in 1 model paper(s)+ 1 मॉडल पेपर में+ 1 model paper mein3Other problems: leap year, defective items, numbersअन्य प्रश्न: लीप वर्ष, खराब वस्तुएँ, संख्याएँDoosre sawaal: leap year, kharab cheezein, numbers🔥 Asked in 5 of 7 years🔥 7 में से 5 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 5/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 1, 2, 4अंक: 1, 2, 4Marks: 1, 2, 44Basics: P(E) + P(not E) = 1, sure and impossible eventsमूल बातें: P(E) + P(E नहीं) = 1, निश्चित और असम्भव घटनाएँBasics: P(E) + P(not E) = 1, sure aur impossible eventsAsked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 1अंक: 1Marks: 1 · + in 1 model paper(s)+ 1 मॉडल पेपर में+ 1 model paper mein5Playing cards (pack of 52)ताश के पत्ते (52 की गड्डी)Taash ke patte (52 ki gaddi)Asked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 1, 2, 4अंक: 1, 2, 4Marks: 1, 2, 46Coin problemsसिक्के के प्रश्नCoin ke sawaalAsked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 1अंक: 1Marks: 1
🟢 PASSपासPASS

Haven't studied anything? Read just this much and you will pass.कुछ नहीं पढ़ा? बस इतना पढ़ लीजिए, पास हो जाएँगे।Kuch nahi padha? Bas itna padh lijiye, pass ho jayenge.

👉 Read this firstसबसे पहले यह पढ़ेंSabse pehle yeh padhiye

Probability is the easiest scoring chapter. One formula does almost everything: P(E) = number of favourable outcomes ÷ total number of outcomes. Learn the sample space of one die, two dice, two coins and a pack of 52 cards, and you can answer nearly every question.प्रायिकता सबसे आसान अंक देने वाला अध्याय है। एक ही सूत्र लगभग सब कुछ करता है: P(E) = अनुकूल परिणामों की संख्या ÷ कुल परिणामों की संख्या। एक पासे, दो पासों, दो सिक्कों और 52 पत्तों की गड्डी का प्रतिदर्श समष्टि याद कर लें, तो लगभग हर प्रश्न हल हो जाएगा।Probability sabse aasaan marks dene wala chapter hai. Ek hi formula lagbhag sab kuch karta hai: P(E) = favourable outcomes ki sankhya ÷ total outcomes ki sankhya. Ek dice, do dice, do coins aur 52 patton ki gaddi ka sample space yaad kar lein, to lagbhag har sawaal ho jaayega.

🏅 Pass-guarantee minimumपास होने के लिए न्यूनतमPass hone ke liye minimum

  • Learn P(E) = favourable ÷ total and P(not E) = 1 − P(E).
  • Learn the sample spaces: 1 die (6), 2 dice (36), 2 coins (4), cards (52: 26 red, 12 face cards, 4 of each rank).
  • Practise one bag-of-balls question with three parts and one two-dice question.
  • Remember: probability is always between 0 and 1.
  • P(E) = अनुकूल ÷ कुल और P(E नहीं) = 1 − P(E) याद कीजिए।
  • प्रतिदर्श समष्टि याद कीजिए: 1 पासा (6), 2 पासे (36), 2 सिक्के (4), ताश (52: 26 लाल, 12 फेस कार्ड, हर पत्ते के 4)।
  • तीन भागों वाला एक थैले-गेंद प्रश्न और एक दो-पासों वाला प्रश्न अभ्यास कीजिए।
  • याद रखिए: प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है।
  • P(E) = favourable ÷ total aur P(not E) = 1 − P(E) yaad kijiye.
  • Sample spaces yaad kijiye: 1 dice (6), 2 dice (36), 2 coins (4), cards (52: 26 laal, 12 face cards, har patte ke 4).
  • Teen hisson wala ek bag-ball sawaal aur ek do-dice wala sawaal practice kijiye.
  • Yaad rakhiye: probability hamesha 0 aur 1 ke beech hoti hai.

🎯 1-mark facts that keep comingबार-बार आने वाले 1 अंक के तथ्यBaar baar aane wale 1 mark facts

  • Probability of a sure event = 1; of an impossible event = 0.
  • 4/3 (or anything more than 1, or negative) cannot be a probability.
  • P(E) = 0.05 ⇒ P(not E) = 0.95.
  • One die: P(even) = P(odd) = P(prime) = 1/2.
  • Two coins: P(at least one head) = 3/4.
  • Pack of 52: P(queen) = 1/13, P(face card) = 3/13, P(red king) = 1/26, P(joker) = 0.
  • Leap year: P(53 Sundays) = P(53 Mondays) = 2/7.
  • Two dice: P(sum 10) = 1/12; P(sum less than 7) = 5/12.
  • निश्चित घटना की प्रायिकता = 1; असम्भव घटना की = 0।
  • 4/3 (या 1 से अधिक, या ऋणात्मक) प्रायिकता नहीं हो सकती।
  • P(E) = 0.05 ⇒ P(E नहीं) = 0.95।
  • एक पासा: P(सम) = P(विषम) = P(अभाज्य) = 1/2।
  • दो सिक्के: P(कम से कम एक चित) = 3/4।
  • 52 की गड्डी: P(बेगम) = 1/13, P(फेस कार्ड) = 3/13, P(लाल बादशाह) = 1/26, P(जोकर) = 0।
  • लीप वर्ष: P(53 रविवार) = P(53 सोमवार) = 2/7।
  • दो पासे: P(योग 10) = 1/12; P(योग 7 से कम) = 5/12।
  • Sure event ki probability = 1; impossible event ki = 0.
  • 4/3 (ya 1 se zyada, ya negative) probability nahi ho sakti.
  • P(E) = 0.05 ⇒ P(not E) = 0.95.
  • Ek dice: P(even) = P(odd) = P(prime) = 1/2.
  • Do coins: P(kam se kam ek head) = 3/4.
  • 52 ki gaddi: P(queen) = 1/13, P(face card) = 3/13, P(laal king) = 1/26, P(joker) = 0.
  • Leap year: P(53 Sundays) = P(53 Mondays) = 2/7.
  • Do dice: P(sum 10) = 1/12; P(sum 7 se kam) = 5/12.
🟡 SCOREस्कोरSCORE

The questions that come every year, with model answers. Most asked first.हर साल आने वाले प्रश्न, आदर्श उत्तरों के साथ। सबसे ज़्यादा पूछे गए पहले।Har saal aane wale sawaal, model answers ke saath. Sabse zyada aaye pehle.

Dice problems (one die and two dice)पासे के प्रश्न (एक पासा और दो पासे)Dice ke sawaal (ek dice aur do dice)

🔥 Asked in 5 of 7 years🔥 7 में से 5 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 5/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • One die: 6 outcomes {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
  • Even {2, 4, 6} ⇒ 1/2; odd {1, 3, 5} ⇒ 1/2; prime {2, 3, 5} ⇒ 1/2; a number between 2 and 6 {3, 4, 5} ⇒ 1/2; a number greater than 4 {5, 6} ⇒ 1/3.
  • Two dice: 6 × 6 = 36 outcomes, written as pairs (first die, second die).
  • Number of ways for each sum: 2→1, 3→2, 4→3, 5→4, 6→5, 7→6, 8→5, 9→4, 10→3, 11→2, 12→1.
  • Doublets (same number on both): 6 ways ⇒ 1/6.
  • Sum less than 7: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 ways ⇒ 15/36 = 5/12. Sum 10 ⇒ 3/36 = 1/12.
  • A die with letters A, B, C, D, E, A: P(A) = 2/6 = 1/3.
  • एक पासा: 6 परिणाम {1, 2, 3, 4, 5, 6}।
  • सम {2, 4, 6} ⇒ 1/2; विषम {1, 3, 5} ⇒ 1/2; अभाज्य {2, 3, 5} ⇒ 1/2; 2 और 6 के बीच की संख्या {3, 4, 5} ⇒ 1/2; 4 से बड़ी संख्या {5, 6} ⇒ 1/3।
  • दो पासे: 6 × 6 = 36 परिणाम, जोड़ों (पहला पासा, दूसरा पासा) के रूप में।
  • हर योग के तरीके: 2→1, 3→2, 4→3, 5→4, 6→5, 7→6, 8→5, 9→4, 10→3, 11→2, 12→1।
  • द्विक (दोनों पर एक ही संख्या): 6 तरीके ⇒ 1/6।
  • योग 7 से कम: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 तरीके ⇒ 15/36 = 5/12। योग 10 ⇒ 3/36 = 1/12।
  • अक्षरों A, B, C, D, E, A वाला पासा: P(A) = 2/6 = 1/3।
  • Ek dice: 6 outcomes {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
  • Even {2, 4, 6} ⇒ 1/2; odd {1, 3, 5} ⇒ 1/2; prime {2, 3, 5} ⇒ 1/2; 2 aur 6 ke beech ki sankhya {3, 4, 5} ⇒ 1/2; 4 se badi sankhya {5, 6} ⇒ 1/3.
  • Do dice: 6 × 6 = 36 outcomes, pairs (pehla dice, doosra dice) ke roop mein.
  • Har sum ke tareeke: 2→1, 3→2, 4→3, 5→4, 6→5, 7→6, 8→5, 9→4, 10→3, 11→2, 12→1.
  • Doublets (dono par ek hi sankhya): 6 tareeke ⇒ 1/6.
  • Sum 7 se kam: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 tareeke ⇒ 15/36 = 5/12. Sum 10 ⇒ 3/36 = 1/12.
  • Letters A, B, C, D, E, A wala dice: P(A) = 2/6 = 1/3.
✏️ Formulas to rememberयाद रखने वाले सूत्रYaad rakhne wale formulas
P(E) = favourable outcomes / total outcomes
One die: 6 outcomes; two dice: 36 outcomes
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 4 marks4 अंक4 marks

Two dice are thrown together. Find the probability that (i) the sum is 8, (ii) a doublet comes, (iii) the sum is more than 10.दो पासे एक साथ फेंके गए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i) योग 8 हो, (ii) द्विक आए, (iii) योग 10 से अधिक हो।Do dice ek saath phenke gaye. Probability nikaliye ki (i) sum 8 ho, (ii) doublet aaye, (iii) sum 10 se zyada ho.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • Total outcomes = 6 × 6 = 36.
  • (i) Sum 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) = 5 outcomes. P = 5/36.
  • (ii) Doublets: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) = 6 outcomes. P = 6/36 = 1/6.
  • (iii) Sum more than 10 (11 or 12): (5,6), (6,5), (6,6) = 3 outcomes. P = 3/36 = 1/12.
  • कुल परिणाम = 6 × 6 = 36।
  • (i) योग 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) = 5 परिणाम। P = 5/36।
  • (ii) द्विक: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) = 6 परिणाम। P = 6/36 = 1/6।
  • (iii) योग 10 से अधिक (11 या 12): (5,6), (6,5), (6,6) = 3 परिणाम। P = 3/36 = 1/12।
  • Total outcomes = 6 × 6 = 36.
  • (i) Sum 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) = 5 outcomes. P = 5/36.
  • (ii) Doublets: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) = 6 outcomes. P = 6/36 = 1/6.
  • (iii) Sum 10 se zyada (11 ya 12): (5,6), (6,5), (6,6) = 3 outcomes. P = 3/36 = 1/12.

💡 Write the favourable outcomes as pairs. Listing them gets you the step mark even if you add wrongly.अनुकूल परिणाम जोड़ों में लिखिए। गिनती में भूल हो जाए तब भी सूची के अंक मिलते हैं।Favourable outcomes pairs mein likhiye. Ginti mein galti ho jaaye tab bhi list ke marks milte hain.

Balls, marbles and numbered cards in a bagथैले में गेंदें, कंचे और संख्या वाले कार्डBag mein balls, marbles aur number wale cards

🔥 Asked in 5 of 7 years🔥 7 में से 5 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 5/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • Total outcomes = total number of balls (add all colours).
  • P(colour) = balls of that colour ÷ total balls.
  • 'Not red' = 1 − P(red) (or count all the other colours).
  • Bag with 2 blue, 3 white, 4 red: P(not red) = 5/9.
  • Hidden number type: 5 red and x blue, P(blue) = 2 × P(red) ⇒ x/(5 + x) = 2 × 5/(5 + x) ⇒ x = 10.
  • Numbered cards/discs 1 to n: count the numbers that fit (even, prime, perfect square, multiple of 5…).
  • कुल परिणाम = गेंदों की कुल संख्या (सभी रंग जोड़िए)।
  • P(रंग) = उस रंग की गेंदें ÷ कुल गेंदें।
  • 'लाल नहीं' = 1 − P(लाल) (या बाकी सभी रंग गिनिए)।
  • 2 नीली, 3 सफ़ेद, 4 लाल वाला थैला: P(लाल नहीं) = 5/9।
  • छिपी संख्या वाला: 5 लाल और x नीली, P(नीली) = 2 × P(लाल) ⇒ x/(5 + x) = 2 × 5/(5 + x) ⇒ x = 10।
  • 1 से n तक संख्या वाले कार्ड/डिस्क: शर्त वाली संख्याएँ गिनिए (सम, अभाज्य, पूर्ण वर्ग, 5 के गुणज…)।
  • Total outcomes = balls ki total sankhya (saare rang jodiye).
  • P(rang) = us rang ki balls ÷ total balls.
  • 'Laal nahi' = 1 − P(laal) (ya baaki saare rang giniye).
  • 2 neeli, 3 safed, 4 laal wala bag: P(laal nahi) = 5/9.
  • Chhupi sankhya wala: 5 laal aur x neeli, P(neeli) = 2 × P(laal) ⇒ x/(5 + x) = 2 × 5/(5 + x) ⇒ x = 10.
  • 1 se n tak number wale cards/discs: shart wali sankhyaein giniye (even, prime, perfect square, 5 ke multiple…).
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 4 marks4 अंक4 marks

A bag contains 6 red, 4 white and 5 blue balls. One ball is drawn at random. Find the probability that it is (i) red, (ii) white, (iii) not blue.एक थैले में 6 लाल, 4 सफ़ेद और 5 नीली गेंदें हैं। यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह (i) लाल हो, (ii) सफ़ेद हो, (iii) नीली न हो।Ek bag mein 6 laal, 4 safed aur 5 neeli balls hain. Randomly ek ball nikaali jaati hai. Probability nikaliye ki woh (i) laal ho, (ii) safed ho, (iii) neeli na ho.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • Total balls = 6 + 4 + 5 = 15.
  • (i) P(red) = 6/15 = 2/5.
  • (ii) P(white) = 4/15.
  • (iii) P(blue) = 5/15 = 1/3, so P(not blue) = 1 − 1/3 = 2/3.
  • कुल गेंदें = 6 + 4 + 5 = 15।
  • (i) P(लाल) = 6/15 = 2/5।
  • (ii) P(सफ़ेद) = 4/15।
  • (iii) P(नीली) = 5/15 = 1/3, अतः P(नीली नहीं) = 1 − 1/3 = 2/3।
  • Total balls = 6 + 4 + 5 = 15.
  • (i) P(laal) = 6/15 = 2/5.
  • (ii) P(safed) = 4/15.
  • (iii) P(neeli) = 5/15 = 1/3, isliye P(neeli nahi) = 1 − 1/3 = 2/3.

Other problems: leap year, defective items, numbersअन्य प्रश्न: लीप वर्ष, खराब वस्तुएँ, संख्याएँDoosre sawaal: leap year, kharab cheezein, numbers

🔥 Asked in 5 of 7 years🔥 7 में से 5 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 5/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • Leap year: 366 days = 52 weeks + 2 extra days. The 2 extra days can be 7 pairs: (Sun, Mon), (Mon, Tue), …, (Sat, Sun).
  • 53 Sundays in a leap year: pairs with Sunday are (Sat, Sun) and (Sun, Mon) ⇒ 2/7. Same for 53 Mondays ⇒ 2/7.
  • Non-leap year: 365 days = 52 weeks + 1 day ⇒ 53 Sundays has probability 1/7.
  • Defective items: 12 defective pens mixed with 132 good ones ⇒ P(good) = 132/144 = 11/12.
  • Cards numbered 1 to 100: perfect squares 1, 4, …, 100 = 10 ⇒ 1/10; two-digit numbers 10 to 99 = 90 ⇒ 9/10.
  • Two friends born in the same leap year (e.g. 2020): P(same birthday) = 1/366. In a non-leap year: 1/365.
  • लीप वर्ष: 366 दिन = 52 सप्ताह + 2 अतिरिक्त दिन। ये 2 दिन 7 जोड़े हो सकते हैं: (रवि, सोम), (सोम, मंगल), …, (शनि, रवि)।
  • लीप वर्ष में 53 रविवार: रविवार वाले जोड़े (शनि, रवि) और (रवि, सोम) ⇒ 2/7। 53 सोमवार के लिए भी ⇒ 2/7।
  • साधारण वर्ष: 365 दिन = 52 सप्ताह + 1 दिन ⇒ 53 रविवार की प्रायिकता 1/7।
  • खराब वस्तुएँ: 132 अच्छे पेनों में 12 खराब पेन मिले ⇒ P(अच्छा) = 132/144 = 11/12।
  • 1 से 100 तक संख्या वाले कार्ड: पूर्ण वर्ग 1, 4, …, 100 = 10 ⇒ 1/10; दो अंकों की संख्याएँ 10 से 99 = 90 ⇒ 9/10।
  • एक ही लीप वर्ष (जैसे 2020) में जन्मे दो मित्र: P(एक ही जन्मदिन) = 1/366। साधारण वर्ष में: 1/365।
  • Leap year: 366 din = 52 hafte + 2 extra din. Yeh 2 din 7 pairs ho sakte hain: (Sun, Mon), (Mon, Tue), …, (Sat, Sun).
  • Leap year mein 53 Sundays: Sunday wale pairs (Sat, Sun) aur (Sun, Mon) ⇒ 2/7. 53 Mondays ke liye bhi ⇒ 2/7.
  • Normal year: 365 din = 52 hafte + 1 din ⇒ 53 Sundays ki probability 1/7.
  • Kharab cheezein: 132 achhe pens mein 12 kharab pens mile ⇒ P(achha) = 132/144 = 11/12.
  • 1 se 100 tak number wale cards: perfect squares 1, 4, …, 100 = 10 ⇒ 1/10; do digit ki sankhyaein 10 se 99 = 90 ⇒ 9/10.
  • Ek hi leap year (jaise 2020) mein paida do dost: P(same birthday) = 1/366. Normal year mein: 1/365.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

Find the probability that a leap year selected at random has 53 Sundays.यादृच्छया चुने गए लीप वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।Randomly chune gaye leap year mein 53 Sundays hone ki probability nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • A leap year has 366 days = 52 complete weeks + 2 days. The 52 weeks give 52 Sundays.
  • The 2 extra days can be: (Sun, Mon), (Mon, Tue), (Tue, Wed), (Wed, Thu), (Thu, Fri), (Fri, Sat), (Sat, Sun) — 7 cases.
  • A 53rd Sunday comes in 2 cases: (Sun, Mon) and (Sat, Sun).
  • P = 2/7.
  • लीप वर्ष में 366 दिन = 52 पूरे सप्ताह + 2 दिन। 52 सप्ताहों से 52 रविवार मिलते हैं।
  • 2 अतिरिक्त दिन हो सकते हैं: (रवि, सोम), (सोम, मंगल), (मंगल, बुध), (बुध, गुरु), (गुरु, शुक्र), (शुक्र, शनि), (शनि, रवि) — 7 स्थितियाँ।
  • 53वाँ रविवार 2 स्थितियों में आता है: (रवि, सोम) और (शनि, रवि)।
  • P = 2/7।
  • Leap year mein 366 din = 52 poore hafte + 2 din. 52 hafton se 52 Sundays milte hain.
  • 2 extra din ho sakte hain: (Sun, Mon), (Mon, Tue), (Tue, Wed), (Wed, Thu), (Thu, Fri), (Fri, Sat), (Sat, Sun) — 7 cases.
  • 53va Sunday 2 cases mein aata hai: (Sun, Mon) aur (Sat, Sun).
  • P = 2/7.

Basics: P(E) + P(not E) = 1, sure and impossible eventsमूल बातें: P(E) + P(E नहीं) = 1, निश्चित और असम्भव घटनाएँBasics: P(E) + P(not E) = 1, sure aur impossible events

Asked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • P(E) = number of outcomes favourable to E ÷ total number of outcomes (all outcomes equally likely).
  • 0 ≤ P(E) ≤ 1. A probability can never be negative or more than 1. So 4/3, 1.5, −0.2 or 110% cannot be probabilities.
  • Sure (certain) event: P = 1. Impossible event: P = 0.
  • P(E) + P(not E) = 1. So P(not E) = 1 − P(E). E.g. P(E) = 0.05 ⇒ P(not E) = 0.95.
  • Two players, only win or lose (no draw): P(B wins) = 1 − P(A wins). E.g. 0.82 ⇒ 0.18.
  • The sum of the probabilities of all elementary events of an experiment is 1.
  • Getting a joker from a pack of 52 playing cards is impossible ⇒ P = 0.
  • P(E) = E के अनुकूल परिणामों की संख्या ÷ कुल परिणामों की संख्या (सभी परिणाम समप्रायिक)।
  • 0 ≤ P(E) ≤ 1। प्रायिकता कभी ऋणात्मक या 1 से अधिक नहीं होती। अतः 4/3, 1.5, −0.2 या 110% प्रायिकता नहीं हो सकते।
  • निश्चित घटना: P = 1। असम्भव घटना: P = 0।
  • P(E) + P(E नहीं) = 1। अतः P(E नहीं) = 1 − P(E)। जैसे P(E) = 0.05 ⇒ P(E नहीं) = 0.95।
  • दो खिलाड़ी, केवल जीत या हार (बराबरी नहीं): P(B जीते) = 1 − P(A जीते)। जैसे 0.82 ⇒ 0.18।
  • किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
  • 52 पत्तों की गड्डी से जोकर निकलना असम्भव है ⇒ P = 0।
  • P(E) = E ke favourable outcomes ki sankhya ÷ total outcomes ki sankhya (saare outcomes barabar sambhav).
  • 0 ≤ P(E) ≤ 1. Probability kabhi negative ya 1 se zyada nahi hoti. Isliye 4/3, 1.5, −0.2 ya 110% probability nahi ho sakte.
  • Sure (nishchit) event: P = 1. Impossible event: P = 0.
  • P(E) + P(not E) = 1. Isliye P(not E) = 1 − P(E). Jaise P(E) = 0.05 ⇒ P(not E) = 0.95.
  • Do players, sirf jeet ya haar (draw nahi): P(B jeete) = 1 − P(A jeete). Jaise 0.82 ⇒ 0.18.
  • Kisi experiment ke saare elementary events ki probabilities ka jod 1 hota hai.
  • 52 patton ki gaddi se joker nikalna impossible hai ⇒ P = 0.
✏️ Formulas to rememberयाद रखने वाले सूत्रYaad rakhne wale formulas
0 ≤ P(E) ≤ 1
P(E) + P(not E) = 1

Playing cards (pack of 52)ताश के पत्ते (52 की गड्डी)Taash ke patte (52 ki gaddi)

Asked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • 52 cards = 4 suits × 13 cards. Spades ♠ and clubs ♣ are black; hearts ♥ and diamonds ♦ are red. So 26 red, 26 black.
  • Each suit: A, 2, 3, …, 10, J, Q, K.
  • Face cards = J, Q, K of each suit = 12 ⇒ P(face card) = 12/52 = 3/13.
  • Kings 4, queens 4, aces 4 ⇒ each 4/52 = 1/13. P(not a king) = 12/13.
  • Red king 2 ⇒ 1/26; black ace 2 ⇒ 1/26; red face card 6 ⇒ 3/26.
  • There is no joker in the pack of 52 ⇒ P(joker) = 0.
  • 52 पत्ते = 4 रंग × 13 पत्ते। हुकुम ♠ और चिड़ी ♣ काले; पान ♥ और ईंट ♦ लाल। अतः 26 लाल, 26 काले।
  • हर रंग: इक्का, 2, 3, …, 10, गुलाम, बेगम, बादशाह।
  • फेस कार्ड = हर रंग के गुलाम, बेगम, बादशाह = 12 ⇒ P(फेस कार्ड) = 12/52 = 3/13।
  • बादशाह 4, बेगम 4, इक्के 4 ⇒ प्रत्येक 4/52 = 1/13। P(बादशाह नहीं) = 12/13।
  • लाल बादशाह 2 ⇒ 1/26; काला इक्का 2 ⇒ 1/26; लाल फेस कार्ड 6 ⇒ 3/26।
  • 52 की गड्डी में जोकर नहीं होता ⇒ P(जोकर) = 0।
  • 52 patte = 4 suits × 13 patte. Spades ♠ (hukum) aur clubs ♣ (chidi) kaale; hearts ♥ (paan) aur diamonds ♦ (eent) laal. Isliye 26 laal, 26 kaale.
  • Har suit: A, 2, 3, …, 10, J, Q, K.
  • Face cards = har suit ke J, Q, K = 12 ⇒ P(face card) = 12/52 = 3/13.
  • Kings 4, queens 4, aces 4 ⇒ har ek 4/52 = 1/13. P(king nahi) = 12/13.
  • Laal king 2 ⇒ 1/26; kaala ace 2 ⇒ 1/26; laal face card 6 ⇒ 3/26.
  • 52 ki gaddi mein joker nahi hota ⇒ P(joker) = 0.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 4 marks4 अंक4 marks

One card is drawn from a well-shuffled pack of 52 cards. Find the probability of getting (i) a red face card, (ii) a spade, (iii) neither a king nor a queen.अच्छी तरह फेंटी गई 52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकाला गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i) लाल फेस कार्ड, (ii) हुकुम का पत्ता, (iii) न बादशाह न बेगम।Achhi tarah phenti gayi 52 patton ki gaddi se ek patta nikaala gaya. Probability nikaliye ki (i) laal face card, (ii) spade ka patta, (iii) na king na queen.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • Total outcomes = 52.
  • (i) Red face cards: J, Q, K of hearts and diamonds = 6. P = 6/52 = 3/26.
  • (ii) Spades = 13. P = 13/52 = 1/4.
  • (iii) Kings + queens = 4 + 4 = 8, so the other cards = 52 − 8 = 44. P = 44/52 = 11/13.
  • कुल परिणाम = 52।
  • (i) लाल फेस कार्ड: पान और ईंट के गुलाम, बेगम, बादशाह = 6। P = 6/52 = 3/26।
  • (ii) हुकुम = 13। P = 13/52 = 1/4।
  • (iii) बादशाह + बेगम = 4 + 4 = 8, अतः बाकी पत्ते = 52 − 8 = 44। P = 44/52 = 11/13।
  • Total outcomes = 52.
  • (i) Laal face cards: hearts aur diamonds ke J, Q, K = 6. P = 6/52 = 3/26.
  • (ii) Spades = 13. P = 13/52 = 1/4.
  • (iii) Kings + queens = 4 + 4 = 8, isliye baaki patte = 52 − 8 = 44. P = 44/52 = 11/13.

Coin problemsसिक्के के प्रश्नCoin ke sawaal

Asked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • One coin: {H, T} ⇒ P(head) = 1/2.
  • Two coins: {HH, HT, TH, TT} = 4 outcomes.
  • At least one head: HH, HT, TH ⇒ 3/4. Exactly one head: HT, TH ⇒ 1/2. No head: TT ⇒ 1/4.
  • Three coins: 2 × 2 × 2 = 8 outcomes. At least one head = 1 − P(no head) = 1 − 1/8 = 7/8.
  • एक सिक्का: {H, T} ⇒ P(चित) = 1/2।
  • दो सिक्के: {HH, HT, TH, TT} = 4 परिणाम।
  • कम से कम एक चित: HH, HT, TH ⇒ 3/4। ठीक एक चित: HT, TH ⇒ 1/2। कोई चित नहीं: TT ⇒ 1/4।
  • तीन सिक्के: 2 × 2 × 2 = 8 परिणाम। कम से कम एक चित = 1 − P(कोई चित नहीं) = 1 − 1/8 = 7/8।
  • Ek coin: {H, T} ⇒ P(head) = 1/2.
  • Do coins: {HH, HT, TH, TT} = 4 outcomes.
  • Kam se kam ek head: HH, HT, TH ⇒ 3/4. Theek ek head: HT, TH ⇒ 1/2. Koi head nahi: TT ⇒ 1/4.
  • Teen coins: 2 × 2 × 2 = 8 outcomes. Kam se kam ek head = 1 − P(koi head nahi) = 1 − 1/8 = 7/8.
🔴 TOPPERटॉपरTOPPER

Full derivations, tricky questions, common mistakes and quick revision.पूरी व्युत्पत्तियाँ, कठिन प्रश्न, आम गलतियाँ और त्वरित पुनरावृत्ति।Poori derivations, tricky sawaal, aam galtiyan aur quick revision.

🧠 Tricky questionकठिन प्रश्नTricky sawaal · 4 marks4 अंक4 marks

A number x is chosen at random from 1, 2, 3, 4 and a number y from 1, 4, 9, 16. Find the probability that xy is less than 16.संख्याओं 1, 2, 3, 4 में से x और 1, 4, 9, 16 में से y यादृच्छया चुना जाता है। xy के 16 से कम होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।Sankhyaon 1, 2, 3, 4 mein se x aur 1, 4, 9, 16 mein se y randomly chuna jaata hai. xy ke 16 se kam hone ki probability nikaliye.

✅ Answerउत्तरJawab
  • Total pairs (x, y) = 4 × 4 = 16.
  • x = 1: xy = 1, 4, 9 (16 is not less than 16) ⇒ 3 pairs.
  • x = 2: xy = 2, 8 ⇒ 2 pairs. x = 3: xy = 3, 12 ⇒ 2 pairs. x = 4: xy = 4 ⇒ 1 pair.
  • Favourable = 3 + 2 + 2 + 1 = 8. P = 8/16 = 1/2.
  • कुल जोड़े (x, y) = 4 × 4 = 16।
  • x = 1: xy = 1, 4, 9 (16, 16 से कम नहीं) ⇒ 3 जोड़े।
  • x = 2: xy = 2, 8 ⇒ 2 जोड़े। x = 3: xy = 3, 12 ⇒ 2 जोड़े। x = 4: xy = 4 ⇒ 1 जोड़ा।
  • अनुकूल = 3 + 2 + 2 + 1 = 8। P = 8/16 = 1/2।
  • Total pairs (x, y) = 4 × 4 = 16.
  • x = 1: xy = 1, 4, 9 (16, 16 se kam nahi) ⇒ 3 pairs.
  • x = 2: xy = 2, 8 ⇒ 2 pairs. x = 3: xy = 3, 12 ⇒ 2 pairs. x = 4: xy = 4 ⇒ 1 pair.
  • Favourable = 3 + 2 + 2 + 1 = 8. P = 8/16 = 1/2.
🧠 Tricky questionकठिन प्रश्नTricky sawaal · 4 marks4 अंक4 marks

A bag contains 5 red balls and some blue balls. The probability of drawing a blue ball is double that of a red ball. Find the number of blue balls.एक थैले में 5 लाल गेंदें और कुछ नीली गेंदें हैं। नीली गेंद निकालने की प्रायिकता लाल गेंद की प्रायिकता की दोगुनी है। नीली गेंदों की संख्या ज्ञात कीजिए।Ek bag mein 5 laal balls aur kuch neeli balls hain. Neeli ball nikaalne ki probability laal ball ki probability ki dugni hai. Neeli balls ki sankhya nikaliye.

✅ Answerउत्तरJawab
  • Let the blue balls be x. Total = 5 + x.
  • P(red) = 5/(5 + x), P(blue) = x/(5 + x).
  • x/(5 + x) = 2 × 5/(5 + x) ⇒ x = 10.
  • Answer: 10 blue balls.
  • माना नीली गेंदें x हैं। कुल = 5 + x।
  • P(लाल) = 5/(5 + x), P(नीली) = x/(5 + x)।
  • x/(5 + x) = 2 × 5/(5 + x) ⇒ x = 10।
  • उत्तर: 10 नीली गेंदें।
  • Maan lijiye neeli balls x hain. Total = 5 + x.
  • P(laal) = 5/(5 + x), P(neeli) = x/(5 + x).
  • x/(5 + x) = 2 × 5/(5 + x) ⇒ x = 10.
  • Answer: 10 neeli balls.
🧠 Tricky questionकठिन प्रश्नTricky sawaal · 4 marks4 अंक4 marks

A box has cards numbered 1 to 100. One card is drawn at random. Find the probability that it bears (i) a perfect square, (ii) a two-digit number, (iii) a number divisible by 5.एक डिब्बे में 1 से 100 तक संख्या वाले कार्ड हैं। एक कार्ड यादृच्छया निकाला गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उस पर (i) पूर्ण वर्ग, (ii) दो अंकों की संख्या, (iii) 5 से विभाज्य संख्या हो।Ek dibbe mein 1 se 100 tak number wale cards hain. Ek card randomly nikaala gaya. Probability nikaliye ki us par (i) perfect square, (ii) do digit ki sankhya, (iii) 5 se divisible sankhya ho.

✅ Answerउत्तरJawab
  • Total = 100.
  • (i) Perfect squares: 1, 4, 9, …, 100 = 10. P = 10/100 = 1/10.
  • (ii) Two-digit numbers: 10 to 99 = 90. P = 90/100 = 9/10.
  • (iii) Multiples of 5: 5, 10, …, 100 = 20. P = 20/100 = 1/5.
  • कुल = 100।
  • (i) पूर्ण वर्ग: 1, 4, 9, …, 100 = 10। P = 10/100 = 1/10।
  • (ii) दो अंकों की संख्याएँ: 10 से 99 = 90। P = 90/100 = 9/10।
  • (iii) 5 के गुणज: 5, 10, …, 100 = 20। P = 20/100 = 1/5।
  • Total = 100.
  • (i) Perfect squares: 1, 4, 9, …, 100 = 10. P = 10/100 = 1/10.
  • (ii) Do digit ki sankhyaein: 10 se 99 = 90. P = 90/100 = 9/10.
  • (iii) 5 ke multiples: 5, 10, …, 100 = 20. P = 20/100 = 1/5.

⚠️ Common mistakesआम गलतियाँAam galtiyan

  • Taking 12 outcomes for two dice → it is 36 (6 × 6).
  • Counting (2,6) and (6,2) as one outcome → they are two different outcomes.
  • Forgetting that 1 is not a prime number.
  • Answering more than 1 → recheck; a probability cannot exceed 1.
  • Not reducing the fraction (e.g. 6/36 should be written as 1/6).
  • Leaving out 100 when counting perfect squares or multiples up to 100.
  • दो पासों के 12 परिणाम लेना → ये 36 (6 × 6) होते हैं।
  • (2,6) और (6,2) को एक परिणाम गिनना → ये दो अलग परिणाम हैं।
  • भूल जाना कि 1 अभाज्य संख्या नहीं है।
  • उत्तर 1 से अधिक आना → दोबारा जाँचिए; प्रायिकता 1 से अधिक नहीं हो सकती।
  • भिन्न को सरल न करना (जैसे 6/36 को 1/6 लिखिए)।
  • 100 तक के पूर्ण वर्ग या गुणज गिनते समय 100 छोड़ देना।
  • Do dice ke 12 outcomes lena → yeh 36 (6 × 6) hote hain.
  • (2,6) aur (6,2) ko ek outcome ginna → yeh do alag outcomes hain.
  • Bhool jaana ki 1 prime number nahi hai.
  • Answer 1 se zyada aana → dobara check kijiye; probability 1 se zyada nahi ho sakti.
  • Fraction simplify na karna (jaise 6/36 ko 1/6 likhiye).
  • 100 tak ke perfect squares ya multiples ginte waqt 100 chhod dena.

💎 Rarely asked but importantकम पूछा गया पर ज़रूरीKam aaya par zaroori

  • 'At least one' questions: use 1 − P(none). It is faster than counting.
  • If a card or ball is removed first, change the total before finding the new probability.
  • Equally likely outcomes are needed for the formula; 'the sum of two dice' values 2 to 12 are NOT equally likely, so count pairs, not sums.
  • 'कम से कम एक' वाले प्रश्न: 1 − P(एक भी नहीं) लगाइए। यह गिनने से तेज़ है।
  • यदि पहले कोई पत्ता या गेंद निकाल ली गई हो, तो नई प्रायिकता से पहले कुल बदलिए।
  • सूत्र के लिए परिणाम समप्रायिक होने चाहिए; दो पासों के योग 2 से 12 समप्रायिक नहीं हैं, इसलिए योग नहीं, जोड़े गिनिए।
  • 'Kam se kam ek' wale sawaal: 1 − P(ek bhi nahi) lagaiye. Yeh ginne se tez hai.
  • Agar pehle koi patta ya ball nikaal li gayi ho, to nayi probability se pehle total badliye.
  • Formula ke liye outcomes barabar sambhav hone chahiye; do dice ke sum 2 se 12 barabar sambhav nahi hain, isliye sum nahi, pairs giniye.

⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision

  • P(E) = favourable/total.
  • 0 ≤ P(E) ≤ 1.
  • Sure = 1, impossible = 0.
  • P(not E) = 1 − P(E).
  • 1 die: 6; 2 dice: 36; 2 coins: 4; 3 coins: 8.
  • Cards: 52, red 26, face 12, each rank 4.
  • Sum 7 with two dice: 6 ways (most likely sum).
  • Leap year 53 Sundays: 2/7.
  • Primes up to 6: 2, 3, 5.
  • Perfect squares 1–100: 10.
  • P(E) = अनुकूल/कुल।
  • 0 ≤ P(E) ≤ 1।
  • निश्चित = 1, असम्भव = 0।
  • P(E नहीं) = 1 − P(E)।
  • 1 पासा: 6; 2 पासे: 36; 2 सिक्के: 4; 3 सिक्के: 8।
  • ताश: 52, लाल 26, फेस 12, हर पत्ते के 4।
  • दो पासों पर योग 7: 6 तरीके (सबसे सम्भावित योग)।
  • लीप वर्ष में 53 रविवार: 2/7।
  • 6 तक अभाज्य: 2, 3, 5।
  • 1–100 में पूर्ण वर्ग: 10।
  • P(E) = favourable/total.
  • 0 ≤ P(E) ≤ 1.
  • Sure = 1, impossible = 0.
  • P(not E) = 1 − P(E).
  • 1 dice: 6; 2 dice: 36; 2 coins: 4; 3 coins: 8.
  • Cards: 52, laal 26, face 12, har patte ke 4.
  • Do dice par sum 7: 6 tareeke (sabse sambhav sum).
  • Leap year mein 53 Sundays: 2/7.
  • 6 tak primes: 2, 3, 5.
  • 1–100 mein perfect squares: 10.
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Notes written by Simple Learning Hub from the current NCERT syllabus. Year counts come only from UP Board papers we actually read.नोट्स Simple Learning Hub ने वर्तमान NCERT पाठ्यक्रम से लिखे हैं। वर्षों की गिनती केवल उन यूपी बोर्ड पेपरों से है जो हमने सच में पढ़े।Notes Simple Learning Hub ne current NCERT syllabus se likhe hain. Saalon ki ginti sirf un UP Board papers se hai jo humne sach mein padhe.