Ch 13Statisticsसांख्यिकीStatistics
Mean, mode and median of grouped data — the direct, assumed-mean and step-deviation methods for the mean, the modal-class formula, the median with cumulative frequency, and the empirical relation linking all three — with our own worked tables, common mistakes and a quiz.वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य, बहुलक और माध्यक — माध्य की प्रत्यक्ष, कल्पित माध्य और पग-विचलन विधियाँ, बहुलक वर्ग का सूत्र, संचयी बारंबारता से माध्यक, और तीनों को जोड़ने वाला आनुभविक संबंध — हमारी अपनी हल की गई तालिकाएँ, आम गलतियाँ और क्विज़।Grouped data ka mean, mode aur median — mean ke direct, assumed-mean aur step-deviation methods, modal class ka formula, cumulative frequency se median, aur teeno ko jodne wala empirical relation — humari apni solved tables, common mistakes aur quiz.
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Board Notes: Pass to Topperबोर्ड नोट्स: पास से टॉपर तकBoard Notes: Pass se Topper tak🔥 Top topic came in 7 of 7 years · see what to learn first🔥 सबसे ऊपर वाला टॉपिक 7 में से 7 वर्ष आया · देखें पहले क्या पढ़ें🔥 Top topic 7 mein se 7 saal aaya · dekhiye pehle kya padhna haiIn this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
- 13.1IntroductionभूमिकाIntroduction
- 13.2Mean of Grouped Dataवर्गीकृत आँकड़ों का माध्यGrouped data ka mean
- 13.3Mode of Grouped Dataवर्गीकृत आँकड़ों का बहुलकGrouped data ka mode
- 13.4Median of Grouped Dataवर्गीकृत आँकड़ों का माध्यकGrouped data ka median
- ★Yaad rakho — key formulasयाद रखो — मुख्य सूत्रYaad rakho — key formulas
- ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
- ✎Practice questions — with solutionsअभ्यास प्रश्न — हल सहितPractice questions — with solutions
- 🎯Quizक्विज़Quiz
13.1IntroductionभूमिकाIntroduction
When data is large, we group it into class intervals such as 0–10, 10–20, … with a frequency for each. To describe such data with one number we use a measure of central tendency: the mean (average), the mode (most common value) or the median (middle value). For grouped data, each class is represented by its class mark (mid-point).जब आँकड़े अधिक हों, तो हम उन्हें 0–10, 10–20, … जैसे वर्ग अंतरालों में बाँटते हैं, हर वर्ग की एक बारंबारता होती है। ऐसे आँकड़ों को एक संख्या से बताने के लिए हम केंद्रीय प्रवृत्ति के माप लेते हैं: माध्य (औसत), बहुलक (सबसे अधिक बार आने वाला मान) या माध्यक (बीच का मान)। वर्गीकृत आँकड़ों में हर वर्ग को उसके वर्ग चिह्न (मध्य-बिंदु) से दर्शाते हैं।Jab data zyada ho, to hum use 0–10, 10–20, … jaise class intervals mein baant-te hain, har class ki ek frequency hoti hai. Aise data ko ek number se batane ke liye hum measure of central tendency lete hain: mean (average), mode (sabse zyada baar aane wali value) ya median (beech ki value). Grouped data mein har class ko uske class mark (mid-point) se dikhate hain.
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13.2Mean of Grouped Dataवर्गीकृत आँकड़ों का माध्यGrouped data ka mean
All three methods give the same answer; the last two just make the arithmetic smaller.तीनों विधियों से उत्तर एक ही आता है; बाद की दो विधियाँ केवल गणना छोटी करती हैं।Teeno methods se answer same aata hai; baad ki do methods sirf calculation chhoti karti hain.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
- Class marks: 5, 15, 25, 35, 45.वर्ग चिह्न: 5, 15, 25, 35, 45।Class marks: 5, 15, 25, 35, 45.\sum f_i x_i = 25 + 120 + 300 + 315 + 270 = 1030
- \bar{x} = \frac{1030}{40} = 25.75
✔ Mean = 25.75 marksमाध्य = 25.75 अंकMean = 25.75 marks
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
- Take a = 25, h = 10. Then u_i = −2, −1, 0, 1, 2.a = 25, h = 10 लीजिए। तब u_i = −2, −1, 0, 1, 2।a = 25, h = 10 lijiye. Tab u_i = −2, −1, 0, 1, 2.\sum f_i u_i = -10 - 8 + 0 + 9 + 12 = 3
- \bar{x} = 25 + 10 \times \frac{3}{40} = 25 + 0.75 = 25.75
✔ 25.75 — the same as the direct method ✓25.75 — प्रत्यक्ष विधि जैसा ही ✓25.75 — direct method jaisa hi ✓
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13.3Mode of Grouped Dataवर्गीकृत आँकड़ों का बहुलकGrouped data ka mode
The class with the highest frequency is the modal class. The mode lies inside it and is found by the formula below.सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग बहुलक वर्ग है। बहुलक इसी वर्ग में होता है और नीचे दिए सूत्र से मिलता है।Sabse zyada frequency wali class modal class hai. Mode isi class mein hota hai aur neeche diye formula se milta hai.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
- Highest frequency is 12, so the modal class is 20–30: l = 20, f₁ = 12, f₀ = 8, f₂ = 9, h = 10.सबसे अधिक बारंबारता 12 है, अतः बहुलक वर्ग 20–30: l = 20, f₁ = 12, f₀ = 8, f₂ = 9, h = 10।Sabse zyada frequency 12 hai, isliye modal class 20–30: l = 20, f₁ = 12, f₀ = 8, f₂ = 9, h = 10.\text{Mode} = 20 + \frac{12 - 8}{24 - 8 - 9} \times 10 = 20 + \frac{40}{7}\text{बहुलक} = 20 + \frac{12 - 8}{24 - 8 - 9} \times 10 = 20 + \frac{40}{7}\text{Mode} = 20 + \frac{12 - 8}{24 - 8 - 9} \times 10 = 20 + \frac{40}{7}
✔ Mode ≈ 25.71 marksबहुलक ≈ 25.71 अंकMode ≈ 25.71 marks
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13.4Median of Grouped Dataवर्गीकृत आँकड़ों का माध्यकGrouped data ka median
Make a cumulative frequency (cf) column. Find \frac{n}{2}. The median class is the first class whose cf is greater than \frac{n}{2}.संचयी बारंबारता (cf) का स्तंभ बनाइए। \frac{n}{2} ज्ञात कीजिए। माध्यक वर्ग वह पहला वर्ग है जिसकी cf, \frac{n}{2} से अधिक हो।Cumulative frequency (cf) ka column banaiye. \frac{n}{2} nikaliye. Median class woh pehli class hai jiski cf, \frac{n}{2} se zyada ho.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
- n = 40, so n/2 = 20. Cumulative frequencies: 5, 13, 25, 34, 40. The first cf above 20 is 25, so the median class is 20–30.n = 40, अतः n/2 = 20। संचयी बारंबारताएँ: 5, 13, 25, 34, 40। 20 से अधिक पहली cf 25 है, अतः माध्यक वर्ग 20–30 है।n = 40, isliye n/2 = 20. Cumulative frequencies: 5, 13, 25, 34, 40. 20 se zyada pehli cf 25 hai, isliye median class 20–30 hai.\text{Median} = 20 + \frac{20 - 13}{12} \times 10 = 20 + \frac{70}{12}\text{माध्यक} = 20 + \frac{20 - 13}{12} \times 10 = 20 + \frac{70}{12}\text{Median} = 20 + \frac{20 - 13}{12} \times 10 = 20 + \frac{70}{12}
✔ Median ≈ 25.83 marksमाध्यक ≈ 25.83 अंकMedian ≈ 25.83 marks
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
- \text{Mode} = 3(28) - 2(30) = 84 - 60 = 24\text{बहुलक} = 3(28) - 2(30) = 84 - 60 = 24\text{Mode} = 3(28) - 2(30) = 84 - 60 = 24
✔ About 24लगभग 24Lagbhag 24
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★ Yaad rakho — key formulas★ याद रखो — मुख्य सूत्र★ Yaad rakho — key formulas
- Class mark = (upper + lower) ÷ 2.वर्ग चिह्न = (उपरि + निम्न) ÷ 2।Class mark = (upper + lower) ÷ 2.
- Mean: \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}, or a + h\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}.माध्य: \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}, या a + h\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}।Mean: \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}, ya a + h\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}.
- Mode: l + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h (modal class = highest frequency).बहुलक: l + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h (बहुलक वर्ग = सबसे अधिक बारंबारता)।Mode: l + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h (modal class = sabse zyada frequency).
- Median: l + \frac{n/2 - cf}{f} \times h (cf of the class before).माध्यक: l + \frac{n/2 - cf}{f} \times h (पिछले वर्ग की cf)।Median: l + \frac{n/2 - cf}{f} \times h (pichhli class ki cf).
- 3 Median = Mode + 2 Mean.3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्य।3 Median = Mode + 2 Mean.
⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes
- Using the cf of the median class itself instead of the class before it.पिछले वर्ग की जगह माध्यक वर्ग की अपनी cf लेना।Pichhli class ki jagah median class ki apni cf lena.
- Picking the modal class by the biggest class mark instead of the biggest frequency.बहुलक वर्ग को सबसे बड़ी बारंबारता की जगह सबसे बड़े वर्ग चिह्न से चुनना।Modal class ko sabse badi frequency ki jagah sabse bade class mark se chunna.
- Dividing \sum f_i x_i by the number of classes instead of \sum f_i.\sum f_i x_i को \sum f_i की जगह वर्गों की संख्या से भाग देना।\sum f_i x_i ko \sum f_i ki jagah classes ki sankhya se divide karna.
- Forgetting to multiply by h in the step-deviation method.पग-विचलन विधि में h से गुणा करना भूल जाना।Step-deviation method mein h se multiply karna bhool jaana.
- Using classes that are not continuous (like 10–19, 20–29) without making them continuous first.असतत वर्गों (जैसे 10–19, 20–29) को पहले सतत बनाए बिना प्रयोग करना।Discontinuous classes (jaise 10–19, 20–29) ko pehle continuous banaye bina use karna.
✎ Practice questions — with solutions✎ अभ्यास प्रश्न — हल सहित✎ Practice questions — with solutions
5 practice questions written by us (not copied from the book). Try each one yourself first, then tap it to see the full solution.हमारे द्वारा बनाए गए 5 अभ्यास प्रश्न (किताब से नहीं)। पहले स्वयं हल करें, फिर हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें।Humare banaye hue 5 practice questions (kitaab se copy nahi). Pehle khud try kijiye, phir hal dekhne ke liye question par tap kijiye.
Practice questionsअभ्यास प्रश्नPractice questions · 5 Q
Q1. Find the mean: 0–20: 3, 20–40: 7, 40–60: 6, 60–80: 4.माध्य ज्ञात कीजिए: 0–20: 3, 20–40: 7, 40–60: 6, 60–80: 4।Mean nikaliye: 0–20: 3, 20–40: 7, 40–60: 6, 60–80: 4.
- \frac{3(10) + 7(30) + 6(50) + 4(70)}{20} = \frac{820}{20}
✔ 41
Q2. Find the mode: 10–20: 5, 20–30: 9, 30–40: 15, 40–50: 7.बहुलक ज्ञात कीजिए: 10–20: 5, 20–30: 9, 30–40: 15, 40–50: 7।Mode nikaliye: 10–20: 5, 20–30: 9, 30–40: 15, 40–50: 7.
- 30 + \frac{15 - 9}{30 - 9 - 7} \times 10 = 30 + \frac{60}{14}
✔ ≈ 34.29
Q3. Find the median: 0–10: 3, 10–20: 7, 20–30: 10, 30–40: 6, 40–50: 4.माध्यक ज्ञात कीजिए: 0–10: 3, 10–20: 7, 20–30: 10, 30–40: 6, 40–50: 4।Median nikaliye: 0–10: 3, 10–20: 7, 20–30: 10, 30–40: 6, 40–50: 4.
- n = 30, n/2 = 15; cf: 3, 10, 20, … so the median class is 20–30 with cf = 10 before it.n = 30, n/2 = 15; cf: 3, 10, 20, … अतः माध्यक वर्ग 20–30, उससे पहले cf = 10।n = 30, n/2 = 15; cf: 3, 10, 20, … isliye median class 20–30, usse pehle cf = 10.20 + \frac{15 - 10}{10} \times 10 = 25
✔ 25
Q4. The mean of x = 10, 20, 30, 40 with frequencies 4, p, 6, 2 is 24. Find p.x = 10, 20, 30, 40 का बारंबारताओं 4, p, 6, 2 के साथ माध्य 24 है। p ज्ञात कीजिए।x = 10, 20, 30, 40 ka frequencies 4, p, 6, 2 ke saath mean 24 hai. p nikaliye.
- \frac{40 + 20p + 180 + 80}{12 + p} = 24 \Rightarrow 300 + 20p = 288 + 24p
✔ p = 3
Q5. The mode of some data is 20 and the mean is 26. Estimate the median.किसी आँकड़े का बहुलक 20 और माध्य 26 है। माध्यक का अनुमान लगाइए।Kisi data ka mode 20 aur mean 26 hai. Median ka anumaan lagaiye.
- 3\,\text{Median} = 20 + 52 = 723\,\text{माध्यक} = 20 + 52 = 723\,\text{Median} = 20 + 52 = 72
✔ 24
🎯 Quiz — 6 questions🎯 क्विज़ — 6 प्रश्न🎯 Quiz — 6 questions
Tap an option. The answer and a short reason appear at once.किसी विकल्प पर टैप करें। उत्तर और छोटा कारण तुरंत दिखेगा।Kisi option par tap kijiye. Answer aur chhota reason turant dikhega.
1. The class mark of the class 20–30 is:वर्ग 20–30 का वर्ग चिह्न है:Class 20–30 ka class mark hai:
2. The modal class is the class with the:बहुलक वर्ग वह वर्ग है जिसकी:Modal class woh class hai jiski:
3. To find the median of grouped data we need the:वर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक ज्ञात करने के लिए चाहिए:Grouped data ka median nikalne ke liye chahiye:
4. The empirical relation is:आनुभविक संबंध है:Empirical relation hai:
5. If \sum f_i = 25 and \sum f_i x_i = 750, the mean is:यदि \sum f_i = 25 और \sum f_i x_i = 750, तो माध्य है:Agar \sum f_i = 25 aur \sum f_i x_i = 750, to mean hai:
6. In the step-deviation method, u_i equals:पग-विचलन विधि में u_i बराबर है:Step-deviation method mein u_i barabar hai:
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These are Simple Learning Hub's own study notes and solutions, written to follow the NCERT Class 10 Mathematics textbook (Reprint 2026-27) section by section; read them with the official NCERT chapter. All examples and practice questions are our own; diagrams are original SLH drawings.