Ch 1Real Numbersवास्तविक संख्याएँReal Numbers
Prime factorisation and the Fundamental Theorem of Arithmetic, HCF and LCM the smart way, and how to prove that numbers like √2 and √7 are irrational — with our own solved examples, common mistakes and a quick quiz.अभाज्य गुणनखंडन और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय, HCF और LCM निकालने का आसान तरीका, और √2, √7 जैसी संख्याओं को अपरिमेय सिद्ध करना — हमारे अपने हल किए गए उदाहरण, आम गलतियाँ और एक छोटी क्विज़।Prime factorisation aur Fundamental Theorem of Arithmetic, HCF aur LCM nikalne ka smart tareeka, aur √2, √7 jaise numbers ko irrational prove karna — humare apne solved examples, common mistakes aur ek chhota quiz.
Didn’t understand a paragraph? Tap it (or its Explain button) → Hindi / Hinglish / Simple English.कोई पैराग्राफ़ समझ नहीं आया? उस पर (या समझें बटन पर) टैप करें → English / Hinglish।Koi paragraph samajh nahi aaya? Us par (ya Samjho button par) tap kijiye → Hindi / English.
Board Notes: Pass to Topperबोर्ड नोट्स: पास से टॉपर तकBoard Notes: Pass se Topper tak🔥 Top topic came in 7 of 7 years · see what to learn first🔥 सबसे ऊपर वाला टॉपिक 7 में से 7 वर्ष आया · देखें पहले क्या पढ़ें🔥 Top topic 7 mein se 7 saal aaya · dekhiye pehle kya padhna haiIn this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
- 1.1IntroductionभूमिकाIntroduction
- 1.2The Fundamental Theorem of Arithmeticअंकगणित की आधारभूत प्रमेयFundamental Theorem of Arithmetic
- 1.3Revisiting Irrational Numbersअपरिमेय संख्याओं का पुनर्भ्रमणIrrational numbers — dobara
- ★Yaad rakho — key formulasयाद रखो — मुख्य सूत्रYaad rakho — key formulas
- ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
- ✎Practice questions — with solutionsअभ्यास प्रश्न — हल सहितPractice questions — with solutions
- 🎯Quizक्विज़Quiz
1.1IntroductionभूमिकाIntroduction
Real numbers are all the numbers on the number line: the rational numbers (which can be written as \frac{p}{q}, like 3, -\frac{2}{5}, 0.75) and the irrational numbers (which cannot, like \sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi). This chapter has two big ideas: every whole number breaks into primes in only one way, and we can prove that a number like \sqrt{2} is irrational.वास्तविक संख्याएँ संख्या रेखा की सभी संख्याएँ हैं: परिमेय संख्याएँ (जिन्हें \frac{p}{q} के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे 3, -\frac{2}{5}, 0.75) और अपरिमेय संख्याएँ (जिन्हें नहीं लिखा जा सकता, जैसे \sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi)। इस अध्याय में दो बड़े विचार हैं: हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं में केवल एक ही तरह टूटती है, और हम सिद्ध कर सकते हैं कि \sqrt{2} जैसी संख्या अपरिमेय है।Real numbers number line ke saare numbers hain: rational numbers (jo \frac{p}{q} ke roop mein likhe ja sakte hain, jaise 3, -\frac{2}{5}, 0.75) aur irrational numbers (jo nahi likhe ja sakte, jaise \sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi). Is chapter mein do bade ideas hain: har whole number primes mein sirf ek hi tareeke se tootta hai, aur hum prove kar sakte hain ki \sqrt{2} jaisa number irrational hai.
Didn’t get this part?समझ नहीं आया?Samajh nahi aaya?
1.2The Fundamental Theorem of Arithmeticअंकगणित की आधारभूत प्रमेयFundamental Theorem of Arithmetic
A prime number has exactly two factors, 1 and itself (2, 3, 5, 7, 11, \dots). A composite number has more than two factors (4, 6, 8, 9, \dots). The number 1 is neither prime nor composite.अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं, 1 और वह स्वयं (2, 3, 5, 7, 11, \dots)। भाज्य संख्या के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं (4, 6, 8, 9, \dots)। संख्या 1 न अभाज्य है, न भाज्य।Prime number ke theek do factors hote hain, 1 aur woh khud (2, 3, 5, 7, 11, \dots). Composite number ke do se zyada factors hote hain (4, 6, 8, 9, \dots). Number 1 na prime hai, na composite.
The easy way to find the prime factors is a factor tree or repeated division: keep dividing by the smallest prime that fits (2, then 3, then 5, …) until you reach 1.अभाज्य गुणनखंड निकालने का आसान तरीका गुणनखंड वृक्ष या बार-बार भाग है: सबसे छोटी फिट होने वाली अभाज्य संख्या (2, फिर 3, फिर 5, …) से भाग देते रहिए जब तक 1 न आ जाए।Prime factors nikalne ka aasaan tareeka factor tree ya baar-baar division hai: sabse chhote fit hone wale prime (2, phir 3, phir 5, …) se divide karte rahiye jab tak 1 na aa jaye.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
- Divide by 2 again and again, then by 3, then by 5.बार-बार 2 से भाग दीजिए, फिर 3 से, फिर 5 से।Baar-baar 2 se divide kijiye, phir 3 se, phir 5 se.3600 \to 1800 \to 900 \to 450 \to 225 \;(\div 2 \text{ four times})3600 \to 1800 \to 900 \to 450 \to 225 \;(2 \text{ से चार बार भाग})3600 \to 1800 \to 900 \to 450 \to 225 \;(2 \text{ se chaar baar divide})
- 225 \to 75 \to 25 \to 5 \to 1 \;(\div 3, \div 3, \div 5, \div 5)
✔ 3600 = 2^4 \times 3^2 \times 5^2
Solution — step by step (4)हल — चरण दर चरण (4)Hal — step by step (4)
- 84 = 2^2 \times 3 \times 7, \quad 120 = 2^3 \times 3 \times 5
- Common primes are 2 and 3; take their smallest powers.उभयनिष्ठ अभाज्य 2 और 3 हैं; उनकी सबसे छोटी घातें लीजिए।Common primes 2 aur 3 hain; unki sabse chhoti powers lijiye.\text{HCF} = 2^2 \times 3 = 12
- Take every prime with its greatest power.हर अभाज्य को उसकी सबसे बड़ी घात के साथ लीजिए।Har prime ko uski sabse badi power ke saath lijiye.\text{LCM} = 2^3 \times 3 \times 5 \times 7 = 840
- 12 \times 840 = 10080 = 84 \times 120 \;\checkmark
✔ HCF = 12, LCM = 840
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
- 12 = 2^2 \times 3, \quad 18 = 2 \times 3^2, \quad 30 = 2 \times 3 \times 5
- \text{HCF} = 2 \times 3 = 6, \quad \text{LCM} = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 180
- 6 \times 180 = 1080 \neq 12 \times 18 \times 30 = 6480
✔ HCF = 6, LCM = 180. No — the product rule works only for two numbers.HCF = 6, LCM = 180। नहीं — गुणनफल वाला नियम केवल दो संख्याओं के लिए है।HCF = 6, LCM = 180. Nahi — product wala rule sirf do numbers ke liye hai.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
- \text{LCM} = \frac{144 \times 180}{36} = \frac{25920}{36} = 720
✔ LCM = 720
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
- A number ends with 0 only if it is divisible by 10 = 2 × 5, so its prime factors must include both 2 and 5.कोई संख्या 0 पर तभी समाप्त होती है जब वह 10 = 2 × 5 से विभाज्य हो, यानी उसके अभाज्य गुणनखंडों में 2 और 5 दोनों हों।Koi number 0 par tabhi khatam hota hai jab woh 10 = 2 × 5 se divisible ho, yaani uske prime factors mein 2 aur 5 dono hon.6^n = (2 \times 3)^n = 2^n \times 3^n
- There is no 5 in it, and by the uniqueness of prime factorisation no 5 can ever appear.इसमें 5 नहीं है, और अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता से 5 कभी आ भी नहीं सकता।Ismein 5 nahi hai, aur prime factorisation unique hone ki wajah se 5 kabhi aa bhi nahi sakta.
✔ No, 6^n never ends with 0.नहीं, 6^n कभी 0 पर समाप्त नहीं होती।Nahi, 6^n kabhi 0 par khatam nahi hota.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
- "Together again" means a common multiple — we need the LCM."फिर से साथ" का अर्थ है उभयनिष्ठ गुणज — हमें LCM चाहिए।"Phir se saath" ka matlab common multiple — humein LCM chahiye.18 = 2 \times 3^2, \quad 24 = 2^3 \times 3 \;\Rightarrow\; \text{LCM} = 2^3 \times 3^2 = 72
✔ After 72 minutes, i.e. at 9:12 a.m.72 मिनट बाद, यानी सुबह 9:12 बजे।72 minute baad, yaani subah 9:12 baje.
Didn’t get this part?समझ नहीं आया?Samajh nahi aaya?
1.3Revisiting Irrational Numbersअपरिमेय संख्याओं का पुनर्भ्रमणIrrational numbers — dobara
The proof method is contradiction: assume the number is rational, follow the logic, and reach something impossible.प्रमाण की विधि विरोधाभास है: मान लीजिए संख्या परिमेय है, तर्क आगे बढ़ाइए, और किसी असंभव बात पर पहुँचिए।Proof ka tareeka contradiction hai: maan lijiye number rational hai, logic aage badhaiye, aur kisi impossible baat par pahunchiye.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
- Assume \sqrt{7} is rational: \sqrt{7} = \frac{a}{b}, where a, b are coprime integers (no common factor other than 1), b \neq 0.मान लीजिए \sqrt{7} परिमेय है: \sqrt{7} = \frac{a}{b}, जहाँ a, b सहअभाज्य पूर्णांक हैं (1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं), b \neq 0।Maan lijiye \sqrt{7} rational hai: \sqrt{7} = \frac{a}{b}, jahan a, b coprime integers hain (1 ke alawa koi common factor nahi), b \neq 0.\sqrt{7}\,b = a \;\Rightarrow\; 7b^2 = a^2
- So 7 divides a^2, hence 7 divides a. Write a = 7c.अतः 7, a^2 को विभाजित करता है, इसलिए 7, a को विभाजित करता है। a = 7c लिखिए।To 7, a^2 ko divide karta hai, isliye 7, a ko divide karta hai. a = 7c likhiye.7b^2 = 49c^2 \;\Rightarrow\; b^2 = 7c^2
- So 7 divides b^2, hence 7 divides b too. Then 7 is a common factor of a and b — but we said they are coprime. Contradiction!अतः 7, b^2 को विभाजित करता है, इसलिए 7, b को भी विभाजित करता है। तब 7, a और b का उभयनिष्ठ गुणनखंड है — पर हमने कहा था कि वे सहअभाज्य हैं। विरोधाभास!To 7, b^2 ko divide karta hai, isliye 7, b ko bhi divide karta hai. Tab 7, a aur b ka common factor hai — par humne kaha tha ki woh coprime hain. Contradiction!
✔ Our assumption was wrong, so \sqrt{7} is irrational.हमारी मान्यता गलत थी, अतः \sqrt{7} अपरिमेय है।Humari assumption galat thi, isliye \sqrt{7} irrational hai.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
- Assume it is rational, equal to r.मान लीजिए यह परिमेय है और r के बराबर है।Maan lijiye yeh rational hai aur r ke barabar hai.2 + 3\sqrt{7} = r \;\Rightarrow\; \sqrt{7} = \frac{r - 2}{3}
- The right side is rational (rationals stay rational under −, ÷ by a non-zero number), so \sqrt{7} would be rational — this contradicts Example 7.दायाँ पक्ष परिमेय है (परिमेय संख्याओं को घटाने या शून्येतर संख्या से भाग देने पर परिमेय ही मिलता है), तो \sqrt{7} परिमेय हो जाएगा — यह उदाहरण 7 के विपरीत है।Right side rational hai (rational numbers ko ghatane ya non-zero number se divide karne par rational hi milta hai), to \sqrt{7} rational ho jayega — yeh Example 7 ke khilaaf hai.
✔ Hence 2 + 3\sqrt{7} is irrational.अतः 2 + 3\sqrt{7} अपरिमेय है।Isliye 2 + 3\sqrt{7} irrational hai.
Didn’t get this part?समझ नहीं आया?Samajh nahi aaya?
★ Yaad rakho — key formulas★ याद रखो — मुख्य सूत्र★ Yaad rakho — key formulas
- Every composite number = product of primes in exactly one way (order does not matter).हर भाज्य संख्या = अभाज्य संख्याओं का गुणनफल, केवल एक ही तरह से (क्रम मायने नहीं रखता)।Har composite number = primes ka product, sirf ek hi tareeke se (order matter nahi karta).
- HCF: smallest powers of common primes. LCM: greatest powers of all primes.HCF: उभयनिष्ठ अभाज्यों की सबसे छोटी घातें। LCM: सभी अभाज्यों की सबसे बड़ी घातें।HCF: common primes ki sabse chhoti powers. LCM: saare primes ki sabse badi powers.
- \text{HCF} \times \text{LCM} = a \times b — true for two numbers only.\text{HCF} \times \text{LCM} = a \times b — केवल दो संख्याओं के लिए सत्य।\text{HCF} \times \text{LCM} = a \times b — sirf do numbers ke liye sahi.
- A number ends in 0 only if its prime factors contain both 2 and 5.कोई संख्या 0 पर तभी समाप्त होती है जब उसके अभाज्य गुणनखंडों में 2 और 5 दोनों हों।Koi number 0 par tabhi khatam hota hai jab uske prime factors mein 2 aur 5 dono hon.
- Irrationality proof: assume \frac{a}{b} in lowest terms → square → prime divides both a and b → contradiction.अपरिमेयता का प्रमाण: न्यूनतम रूप में \frac{a}{b} मानिए → वर्ग कीजिए → अभाज्य a और b दोनों को विभाजित करता है → विरोधाभास।Irrationality proof: lowest terms mein \frac{a}{b} maaniye → square kijiye → prime a aur b dono ko divide karta hai → contradiction.
⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes
- Calling 1 a prime number — 1 is neither prime nor composite.1 को अभाज्य कहना — 1 न अभाज्य है, न भाज्य।1 ko prime kehna — 1 na prime hai, na composite.
- Using HCF × LCM = product for three numbers — it works only for two.तीन संख्याओं के लिए HCF × LCM = गुणनफल लगाना — यह केवल दो के लिए है।Teen numbers ke liye HCF × LCM = product lagana — yeh sirf do ke liye hai.
- Forgetting to write "a and b are coprime" in the proof — the contradiction depends on it.प्रमाण में "a और b सहअभाज्य हैं" लिखना भूल जाना — विरोधाभास इसी पर टिका है।Proof mein "a aur b coprime hain" likhna bhool jaana — contradiction isi par tika hai.
- Thinking \sqrt{9} or \sqrt{16} is irrational — they are 3 and 4, rational.\sqrt{9} या \sqrt{16} को अपरिमेय समझना — ये 3 और 4 हैं, परिमेय।\sqrt{9} ya \sqrt{16} ko irrational samajhna — yeh 3 aur 4 hain, rational.
- Treating \pi = \frac{22}{7} as exact — \frac{22}{7} is only an approximation; \pi is irrational.\pi = \frac{22}{7} को सटीक मानना — \frac{22}{7} केवल सन्निकट मान है; \pi अपरिमेय है।\pi = \frac{22}{7} ko exact maanna — \frac{22}{7} sirf approximate value hai; \pi irrational hai.
✎ Practice questions — with solutions✎ अभ्यास प्रश्न — हल सहित✎ Practice questions — with solutions
6 practice questions written by us (not copied from the book). Try each one yourself first, then tap it to see the full solution.हमारे द्वारा बनाए गए 6 अभ्यास प्रश्न (किताब से नहीं)। पहले स्वयं हल करें, फिर हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें।Humare banaye hue 6 practice questions (kitaab se copy nahi). Pehle khud try kijiye, phir hal dekhne ke liye question par tap kijiye.
Practice questionsअभ्यास प्रश्नPractice questions · 6 Q
Q1. Express 1260 as a product of its prime factors.1260 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।1260 ko prime factors ke product ke roop mein likhiye.
- 1260 = 2 \times 630 = 2^2 \times 315 = 2^2 \times 3^2 \times 35
✔ 1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7
Q2. Find the HCF and LCM of 72 and 120.72 और 120 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।72 aur 120 ka HCF aur LCM nikaliye.
- 72 = 2^3 \times 3^2, \quad 120 = 2^3 \times 3 \times 5
✔ HCF = 2^3 \times 3 = 24, LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360
Q3. The HCF of two numbers is 15 and their LCM is 180. If one number is 45, find the other.दो संख्याओं का HCF 15 और LCM 180 है। यदि एक संख्या 45 है, तो दूसरी ज्ञात कीजिए।Do numbers ka HCF 15 aur LCM 180 hai. Agar ek number 45 hai, to doosra nikaliye.
- \text{other} = \frac{15 \times 180}{45} = 60
✔ 60 (check: HCF(45, 60) = 15, LCM = 180 ✓)60 (जाँच: HCF(45, 60) = 15, LCM = 180 ✓)60 (check: HCF(45, 60) = 15, LCM = 180 ✓)
Q4. Show that 5 \times 7 \times 9 + 9 is a composite number.दर्शाइए कि 5 \times 7 \times 9 + 9 एक भाज्य संख्या है।Dikhaiye ki 5 \times 7 \times 9 + 9 ek composite number hai.
- 5 \times 7 \times 9 + 9 = 9\,(35 + 1) = 9 \times 36 = 324
✔ It has factors 9 and 36 (other than 1 and itself), so it is composite.इसके 1 और स्वयं के अलावा गुणनखंड 9 और 36 हैं, अतः यह भाज्य है।Iske 1 aur khud ke alawa factors 9 aur 36 hain, isliye yeh composite hai.
Q5. Prove that \sqrt{11} is irrational.सिद्ध कीजिए कि \sqrt{11} अपरिमेय है।Prove kijiye ki \sqrt{11} irrational hai.
- Same steps as Example 7 with 11 in place of 7.उदाहरण 7 वाले ही चरण, 7 की जगह 11।Example 7 wale hi steps, 7 ki jagah 11.\sqrt{11} = \frac{a}{b} \Rightarrow 11b^2 = a^2 \Rightarrow a = 11c \Rightarrow b^2 = 11c^2
✔ 11 divides both a and b, contradicting coprime, so \sqrt{11} is irrational.11, a और b दोनों को विभाजित करता है, जो सहअभाज्य होने के विपरीत है; अतः \sqrt{11} अपरिमेय है।11, a aur b dono ko divide karta hai, jo coprime hone ke khilaaf hai; isliye \sqrt{11} irrational hai.
Q6. Can 15^n end with the digit 0 for some natural number n?क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए 15^n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है?Kya kisi natural number n ke liye 15^n digit 0 par khatam ho sakta hai?
- 15^n = 3^n \times 5^n
✔ No — there is no factor 2, so it can never be divisible by 10.नहीं — इसमें गुणनखंड 2 नहीं है, इसलिए यह कभी 10 से विभाज्य नहीं हो सकती।Nahi — ismein factor 2 nahi hai, isliye yeh kabhi 10 se divisible nahi ho sakta.
🎯 Quiz — 7 questions🎯 क्विज़ — 7 प्रश्न🎯 Quiz — 7 questions
Tap an option. The answer and a short reason appear at once.किसी विकल्प पर टैप करें। उत्तर और छोटा कारण तुरंत दिखेगा।Kisi option par tap kijiye. Answer aur chhota reason turant dikhega.
1. The prime factorisation of 156 is:156 का अभाज्य गुणनखंडन है:156 ka prime factorisation hai:
2. HCF of 2^3 \times 3^2 \times 5 and 2^2 \times 3^3 \times 7 is:2^3 \times 3^2 \times 5 और 2^2 \times 3^3 \times 7 का HCF है:2^3 \times 3^2 \times 5 aur 2^2 \times 3^3 \times 7 ka HCF hai:
3. If HCF(a, b) = 8 and a × b = 1280, then LCM(a, b) is:यदि HCF(a, b) = 8 और a × b = 1280, तो LCM(a, b) है:Agar HCF(a, b) = 8 aur a × b = 1280, to LCM(a, b) hai:
4. Which of these is irrational?इनमें से कौन अपरिमेय है?Inmein se kaunsa irrational hai?
5. The LCM of the smallest prime number and the smallest composite number is:सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का LCM है:Sabse chhote prime number aur sabse chhote composite number ka LCM hai:
6. \sqrt{2} \times \sqrt{8} is:\sqrt{2} \times \sqrt{8} है:\sqrt{2} \times \sqrt{8} hai:
7. For a natural number n, 8^n ends with the digit 0:प्राकृत संख्या n के लिए, 8^n अंक 0 पर समाप्त होती है:Natural number n ke liye, 8^n digit 0 par khatam hota hai:
Found a mistake? Report a mistake — we fix confirmed errors quickly.
These are Simple Learning Hub's own study notes and solutions, written to follow the NCERT Class 10 Mathematics textbook (Reprint 2026-27) section by section; read them with the official NCERT chapter. All examples and practice questions are our own; diagrams are original SLH drawings.