Ch 2PolynomialsबहुपदPolynomials
Zeroes of a polynomial and what they look like on a graph, and the beautiful link between zeroes and coefficients (α + β = −b/a, αβ = c/a) — with our own solved examples, common mistakes and a quiz.बहुपद के शून्यक और ग्राफ़ पर उनका अर्थ, तथा शून्यकों और गुणांकों का सुंदर संबंध (α + β = −b/a, αβ = c/a) — हमारे अपने हल किए गए उदाहरण, आम गलतियाँ और क्विज़।Polynomial ke zeroes aur graph par unka matlab, aur zeroes aur coefficients ka sundar relation (α + β = −b/a, αβ = c/a) — humare apne solved examples, common mistakes aur quiz.
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Board Notes: Pass to Topperबोर्ड नोट्स: पास से टॉपर तकBoard Notes: Pass se Topper tak🔥 Top topic came in 7 of 7 years · see what to learn first🔥 सबसे ऊपर वाला टॉपिक 7 में से 7 वर्ष आया · देखें पहले क्या पढ़ें🔥 Top topic 7 mein se 7 saal aaya · dekhiye pehle kya padhna haiIn this chapter (NCERT sections)इस अध्याय में (NCERT खंड)Is chapter mein (NCERT sections)
- 2.1IntroductionभूमिकाIntroduction
- 2.2Geometrical Meaning of the Zeroes of a Polynomialबहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थZeroes ka geometrical matlab
- 2.3Relationship between Zeroes and Coefficients of a Polynomialबहुपद के शून्यकों और गुणांकों में संबंधZeroes aur coefficients ka relation
- ★Yaad rakho — key formulasयाद रखो — मुख्य सूत्रYaad rakho — key formulas
- ⚠Common mistakesआम गलतियाँCommon mistakes
- ✎Practice questions — with solutionsअभ्यास प्रश्न — हल सहितPractice questions — with solutions
- 🎯Quizक्विज़Quiz
2.1IntroductionभूमिकाIntroduction
A polynomial in x is an expression like 3x^2 - 5x + 2, where the powers of x are whole numbers. The highest power is its degree: degree 1 = linear (ax + b), degree 2 = quadratic (ax^2 + bx + c), degree 3 = cubic (ax^3 + bx^2 + cx + d), with a \neq 0.x में बहुपद 3x^2 - 5x + 2 जैसा व्यंजक है, जिसमें x की घातें पूर्ण संख्याएँ होती हैं। सबसे बड़ी घात उसकी घात (degree) है: घात 1 = रैखिक (ax + b), घात 2 = द्विघाती (ax^2 + bx + c), घात 3 = त्रिघाती (ax^3 + bx^2 + cx + d), जहाँ a \neq 0।x mein polynomial 3x^2 - 5x + 2 jaisa expression hai, jismein x ki powers whole numbers hoti hain. Sabse badi power uski degree hai: degree 1 = linear (ax + b), degree 2 = quadratic (ax^2 + bx + c), degree 3 = cubic (ax^3 + bx^2 + cx + d), jahan a \neq 0.
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2.2Geometrical Meaning of the Zeroes of a Polynomialबहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थZeroes ka geometrical matlab
Draw the graph of y = p(x). The zeroes of p(x) are exactly the x-coordinates of the points where the graph meets the x-axis. So counting zeroes = counting meeting points.y = p(x) का ग्राफ़ खींचिए। p(x) के शून्यक ठीक वे x-निर्देशांक हैं जहाँ ग्राफ़ x-अक्ष को मिलता है। अतः शून्यक गिनना = मिलन बिंदु गिनना।y = p(x) ka graph banaiye. p(x) ke zeroes theek woh x-coordinates hain jahan graph x-axis ko milta hai. Isliye zeroes ginna = milne wale points ginna.
- Linear ax + b: a straight line, cuts the x-axis at exactly one point, x = -\frac{b}{a} — so exactly 1 zero.रैखिक ax + b: एक सीधी रेखा, x-अक्ष को ठीक एक बिंदु x = -\frac{b}{a} पर काटती है — अतः ठीक 1 शून्यक।Linear ax + b: ek seedhi line, x-axis ko theek ek point x = -\frac{b}{a} par kaat-ti hai — isliye theek 1 zero.
- Quadratic ax^2 + bx + c: a curve called a parabola (opens upward if a > 0, downward if a < 0). It can meet the x-axis at 2 points, touch it at 1 point, or miss it — so 2, 1 or 0 zeroes.द्विघाती ax^2 + bx + c: परवलय नाम का वक्र (a > 0 हो तो ऊपर की ओर खुला, a < 0 हो तो नीचे की ओर)। यह x-अक्ष को 2 बिंदुओं पर काट सकता है, 1 बिंदु पर छू सकता है, या बिल्कुल नहीं मिलता — अतः 2, 1 या 0 शून्यक।Quadratic ax^2 + bx + c: parabola naam ka curve (a > 0 ho to upar ki taraf khula, a < 0 ho to neeche ki taraf). Yeh x-axis ko 2 points par kaat sakta hai, 1 point par chhoo sakta hai, ya bilkul nahi milta — isliye 2, 1 ya 0 zeroes.
- Cubic: the graph meets the x-axis at most 3 times — so at most 3 zeroes. In general, a polynomial of degree n has at most n zeroes.त्रिघाती: ग्राफ़ x-अक्ष को अधिकतम 3 बार मिलता है — अतः अधिकतम 3 शून्यक। सामान्यतः घात n वाले बहुपद के अधिकतम n शून्यक होते हैं।Cubic: graph x-axis ko zyada se zyada 3 baar milta hai — isliye zyada se zyada 3 zeroes. General rule: degree n wale polynomial ke zyada se zyada n zeroes hote hain.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
- Every meeting point (cutting or just touching) gives a zero.हर मिलन बिंदु (काटना या केवल छूना) एक शून्यक देता है।Har milne wala point (kaatna ya sirf chhoona) ek zero deta hai.
✔ 2 zeroes: −1 and 2.2 शून्यक: −1 और 2।2 zeroes: −1 aur 2.
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2.3Relationship between Zeroes and Coefficients of a Polynomialबहुपद के शून्यकों और गुणांकों में संबंधZeroes aur coefficients ka relation
If α and β are the zeroes of ax^2 + bx + c, then ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta). Expanding and comparing gives two very useful results.यदि α और β, ax^2 + bx + c के शून्यक हैं, तो ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)। प्रसार करके तुलना करने पर दो बहुत उपयोगी परिणाम मिलते हैं।Agar α aur β, ax^2 + bx + c ke zeroes hain, to ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta). Expand karke compare karne par do bahut useful results milte hain.
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
- Split the middle term: two numbers with product 10 and sum −7 are −2 and −5.मध्य पद को तोड़िए: गुणनफल 10 और योग −7 वाली दो संख्याएँ −2 और −5 हैं।Middle term ko todiye: product 10 aur sum −7 wale do numbers −2 aur −5 hain.x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5) \;\Rightarrow\; x = 2, \; 5
- 2 + 5 = 7 = -\frac{(-7)}{1} = -\frac{b}{a}, \qquad 2 \times 5 = 10 = \frac{10}{1} = \frac{c}{a}
✔ Zeroes 2 and 5; both relations are verified.शून्यक 2 और 5; दोनों संबंध सत्य हैं।Zeroes 2 aur 5; dono relations sahi hain.
Solution — step by step (3)हल — चरण दर चरण (3)Hal — step by step (3)
- Product 6 \times (-3) = -18; numbers with product −18 and sum −7 are −9 and 2.गुणनफल 6 \times (-3) = -18; गुणनफल −18 और योग −7 वाली संख्याएँ −9 और 2 हैं।Product 6 \times (-3) = -18; product −18 aur sum −7 wale numbers −9 aur 2 hain.6x^2 - 9x + 2x - 3 = 3x(2x - 3) + 1(2x - 3) = (3x + 1)(2x - 3)
- x = -\frac{1}{3}, \; \frac{3}{2}
- -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{7}{6} = -\frac{b}{a}, \qquad -\frac{1}{3} \times \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} = \frac{-3}{6} = \frac{c}{a}
✔ Zeroes -\frac{1}{3} and \frac{3}{2}; verified.शून्यक -\frac{1}{3} और \frac{3}{2}; सत्यापित।Zeroes -\frac{1}{3} aur \frac{3}{2}; verified.
Solution — step by step (1)हल — चरण दर चरण (1)Hal — step by step (1)
- Use k\,[x^2 - (\text{sum})\,x + (\text{product})] and take k = 1.k\,[x^2 - (\text{योग})\,x + (\text{गुणनफल})] का प्रयोग कीजिए और k = 1 लीजिए।k\,[x^2 - (\text{sum})\,x + (\text{product})] use kijiye aur k = 1 lijiye.x^2 - (-3)x + 2 = x^2 + 3x + 2
✔ x^2 + 3x + 2 (check: it factorises as (x + 1)(x + 2), zeroes −1 and −2: sum −3, product 2 ✓)x^2 + 3x + 2 (जाँच: (x + 1)(x + 2), शून्यक −1 और −2: योग −3, गुणनफल 2 ✓)x^2 + 3x + 2 (check: (x + 1)(x + 2), zeroes −1 aur −2: sum −3, product 2 ✓)
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
- \alpha + \beta = 5, \quad \alpha\beta = 6
- \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 25 - 12 = 13
✔ 13 (check: the zeroes are 2 and 3, and 4 + 9 = 13 ✓)13 (जाँच: शून्यक 2 और 3 हैं, और 4 + 9 = 13 ✓)13 (check: zeroes 2 aur 3 hain, aur 4 + 9 = 13 ✓)
Solution — step by step (2)हल — चरण दर चरण (2)Hal — step by step (2)
- p(3) = 9 + 3k - 12 = 0 \;\Rightarrow\; k = 1
- \alpha\beta = \frac{c}{a} = -12 \;\Rightarrow\; 3 \times \beta = -12 \;\Rightarrow\; \beta = -4
✔ k = 1, other zero = −4k = 1, दूसरा शून्यक = −4k = 1, doosra zero = −4
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★ Yaad rakho — key formulas★ याद रखो — मुख्य सूत्र★ Yaad rakho — key formulas
- Zero of p(x): the value of x that makes p(x) = 0.p(x) का शून्यक: x का वह मान जिससे p(x) = 0 हो।p(x) ka zero: x ki woh value jisse p(x) = 0 ho.
- Zeroes = x-coordinates where the graph of y = p(x) meets the x-axis.शून्यक = वे x-निर्देशांक जहाँ y = p(x) का ग्राफ़ x-अक्ष से मिलता है।Zeroes = woh x-coordinates jahan y = p(x) ka graph x-axis se milta hai.
- Degree n → at most n zeroes (linear 1, quadratic up to 2, cubic up to 3).घात n → अधिकतम n शून्यक (रैखिक 1, द्विघाती 2 तक, त्रिघाती 3 तक)।Degree n → zyada se zyada n zeroes (linear 1, quadratic 2 tak, cubic 3 tak).
- \alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \alpha\beta = \frac{c}{a}.\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \alpha\beta = \frac{c}{a}।\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \alpha\beta = \frac{c}{a}.
- Polynomial from sum S and product P: k(x^2 - Sx + P).योग S और गुणनफल P से बहुपद: k(x^2 - Sx + P)।Sum S aur product P se polynomial: k(x^2 - Sx + P).
- \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta, \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}.\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta, \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}।\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta, \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}.
⚠ Common mistakes⚠ आम गलतियाँ⚠ Common mistakes
- Writing the sum of zeroes as +\frac{b}{a} — it is -\frac{b}{a}.शून्यकों का योग +\frac{b}{a} लिखना — यह -\frac{b}{a} है।Zeroes ka sum +\frac{b}{a} likhna — yeh -\frac{b}{a} hai.
- Forming the polynomial as x^2 + Sx + P — the middle sign must be minus: x^2 - Sx + P.बहुपद को x^2 + Sx + P लिखना — मध्य चिह्न ऋण होना चाहिए: x^2 - Sx + P।Polynomial ko x^2 + Sx + P likhna — beech ka sign minus hona chahiye: x^2 - Sx + P.
- Thinking every quadratic has 2 zeroes — the parabola may touch the axis (1 zero) or miss it (no zero).यह मानना कि हर द्विघाती के 2 शून्यक होते हैं — परवलय अक्ष को छू सकता है (1 शून्यक) या नहीं मिल सकता (कोई शून्यक नहीं)।Yeh maanna ki har quadratic ke 2 zeroes hote hain — parabola axis ko chhoo sakta hai (1 zero) ya nahi mil sakta (koi zero nahi).
- Forgetting to divide by a when a ≠ 1 (e.g. in 6x^2 - 7x - 3 the product is -\frac{3}{6}, not −3).a ≠ 1 होने पर a से भाग देना भूल जाना (जैसे 6x^2 - 7x - 3 में गुणनफल -\frac{3}{6} है, −3 नहीं)।a ≠ 1 hone par a se divide karna bhool jaana (jaise 6x^2 - 7x - 3 mein product -\frac{3}{6} hai, −3 nahi).
- Skipping the "verify" part when the question asks for it — always show both checks.प्रश्न में "जाँच" माँगने पर उसे छोड़ देना — हमेशा दोनों जाँच दिखाइए।Question mein "verify" maanga ho to use chhod dena — hamesha dono checks dikhaiye.
✎ Practice questions — with solutions✎ अभ्यास प्रश्न — हल सहित✎ Practice questions — with solutions
5 practice questions written by us (not copied from the book). Try each one yourself first, then tap it to see the full solution.हमारे द्वारा बनाए गए 5 अभ्यास प्रश्न (किताब से नहीं)। पहले स्वयं हल करें, फिर हल देखने के लिए प्रश्न पर टैप करें।Humare banaye hue 5 practice questions (kitaab se copy nahi). Pehle khud try kijiye, phir hal dekhne ke liye question par tap kijiye.
Practice questionsअभ्यास प्रश्नPractice questions · 5 Q
Q1. Find the zeroes of x^2 + 7x + 12 and verify the relationship between zeroes and coefficients.x^2 + 7x + 12 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों व गुणांकों के संबंध की जाँच कीजिए।x^2 + 7x + 12 ke zeroes nikaliye aur zeroes aur coefficients ka relation verify kijiye.
- (x + 3)(x + 4) = 0 \Rightarrow x = -3, -4
- -3 + (-4) = -7 = -\frac{7}{1}, \quad (-3)(-4) = 12 = \frac{12}{1}
✔ Zeroes −3 and −4; verified.शून्यक −3 और −4; सत्यापित।Zeroes −3 aur −4; verified.
Q2. Find the zeroes of 4x^2 - 4x + 1.4x^2 - 4x + 1 के शून्यक ज्ञात कीजिए।4x^2 - 4x + 1 ke zeroes nikaliye.
- 4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}, \frac{1}{2}
✔ Both zeroes are \frac{1}{2} (the parabola just touches the x-axis). Sum 1 = \frac{4}{4}, product \frac{1}{4} ✓दोनों शून्यक \frac{1}{2} हैं (परवलय x-अक्ष को केवल छूता है)। योग 1 = \frac{4}{4}, गुणनफल \frac{1}{4} ✓Dono zeroes \frac{1}{2} hain (parabola x-axis ko sirf chhoota hai). Sum 1 = \frac{4}{4}, product \frac{1}{4} ✓
Q3. Find a quadratic polynomial with sum of zeroes \frac{1}{4} and product −1.एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग \frac{1}{4} और गुणनफल −1 हो।Ek quadratic polynomial nikaliye jiske zeroes ka sum \frac{1}{4} aur product −1 ho.
- x^2 - \frac{1}{4}x - 1 \;\xrightarrow{\times 4}\; 4x^2 - x - 4
✔ 4x^2 - x - 4 (any non-zero multiple is also correct)4x^2 - x - 4 (इसका कोई भी शून्येतर गुणज भी सही है)4x^2 - x - 4 (iska koi bhi non-zero multiple bhi sahi hai)
Q4. If α and β are the zeroes of x^2 - 6x + 8, find \alpha^2\beta + \alpha\beta^2.यदि α और β, x^2 - 6x + 8 के शून्यक हैं, तो \alpha^2\beta + \alpha\beta^2 ज्ञात कीजिए।Agar α aur β, x^2 - 6x + 8 ke zeroes hain, to \alpha^2\beta + \alpha\beta^2 nikaliye.
- \alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha + \beta) = 8 \times 6
✔ 48
Q5. Verify that \frac{1}{2}, 1 and −2 are the zeroes of 2x^3 + x^2 - 5x + 2, and check the sum and product relations.सत्यापित कीजिए कि \frac{1}{2}, 1 और −2, 2x^3 + x^2 - 5x + 2 के शून्यक हैं, और योग व गुणनफल संबंध की जाँच कीजिए।Verify kijiye ki \frac{1}{2}, 1 aur −2, 2x^3 + x^2 - 5x + 2 ke zeroes hain, aur sum aur product relations check kijiye.
- p(\tfrac{1}{2}) = \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{4} - \tfrac{5}{2} + 2 = 0, \; p(1) = 2 + 1 - 5 + 2 = 0, \; p(-2) = -16 + 4 + 10 + 2 = 0
- \tfrac{1}{2} + 1 - 2 = -\tfrac{1}{2} = -\tfrac{b}{a}, \qquad \tfrac{1}{2} \times 1 \times (-2) = -1 = -\tfrac{d}{a}
✔ All three are zeroes, and the relations hold.तीनों शून्यक हैं, और संबंध सत्य हैं।Teeno zeroes hain, aur relations sahi hain.
🎯 Quiz — 7 questions🎯 क्विज़ — 7 प्रश्न🎯 Quiz — 7 questions
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1. The zeroes of x^2 - 9 are:x^2 - 9 के शून्यक हैं:x^2 - 9 ke zeroes hain:
2. The sum of the zeroes of 3x^2 - 6x + 1 is:3x^2 - 6x + 1 के शून्यकों का योग है:3x^2 - 6x + 1 ke zeroes ka sum hai:
3. The product of the zeroes of 4x^2 + 8x - 5 is:4x^2 + 8x - 5 के शून्यकों का गुणनफल है:4x^2 + 8x - 5 ke zeroes ka product hai:
4. A quadratic polynomial with zeroes 2 and −3 is:शून्यक 2 और −3 वाला द्विघात बहुपद है:Zeroes 2 aur −3 wala quadratic polynomial hai:
5. The graph of y = p(x) meets the x-axis at exactly 3 points. The number of zeroes of p(x) is:y = p(x) का ग्राफ़ x-अक्ष को ठीक 3 बिंदुओं पर मिलता है। p(x) के शून्यकों की संख्या है:y = p(x) ka graph x-axis ko theek 3 points par milta hai. p(x) ke zeroes ki sankhya hai:
6. If α, β are the zeroes of x^2 - 4x + 3, then \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} equals:यदि α, β, x^2 - 4x + 3 के शून्यक हैं, तो \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} बराबर है:Agar α, β, x^2 - 4x + 3 ke zeroes hain, to \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} barabar hai:
7. The maximum number of zeroes a cubic polynomial can have is:एक त्रिघाती बहुपद के अधिकतम शून्यकों की संख्या है:Cubic polynomial ke zyada se zyada kitne zeroes ho sakte hain:
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These are Simple Learning Hub's own study notes and solutions, written to follow the NCERT Class 10 Mathematics textbook (Reprint 2026-27) section by section; read them with the official NCERT chapter. All examples and practice questions are our own; diagrams are original SLH drawings.