Real Numbersवास्तविक संख्याएँReal Numbers (Vastavik Sankhyayein)

• Irrational number: a number that cannot be written as p/q, where p and q are integers and q ≠ 0. Examples: √2, √3, √5, π.
• Method: proof by contradiction. Assume the number IS rational, then reach something impossible.
• Key fact used: if a prime p divides a², then p divides a (p = 2, 3, 5 …).
• For √p (p prime): assume √p = a/b with a, b co-prime (HCF = 1). Then a² = p·b², so p divides a. Write a = p·c, get b² = p·c², so p divides b too. Now p divides both a and b — contradiction.
• For 3 + 2√5 type: assume it equals a/b. Then √5 = (a − 3b)/(2b), a rational number. But √5 is irrational — contradiction.
• Rational + irrational = irrational. Non-zero rational × irrational = irrational. Use this to justify numbers like 5 − √3 or 2√3 quickly.
• Always end the answer with the line: 'So our assumption was wrong, hence the number is irrational.'

• अपरिमेय संख्या: वह संख्या जिसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। उदाहरण: √2, √3, √5, π।
• विधि: विरोधाभास द्वारा उपपत्ति। मान लीजिए संख्या परिमेय है, फिर एक असंभव बात तक पहुँचिए।
• प्रयुक्त तथ्य: यदि अभाज्य संख्या p, a² को विभाजित करती है, तो p, a को भी विभाजित करती है (p = 2, 3, 5 …)।
• √p (p अभाज्य) के लिए: मान लीजिए √p = a/b, जहाँ a, b सहअभाज्य हैं (HCF = 1)। तब a² = p·b², अतः p, a को विभाजित करती है। a = p·c रखने पर b² = p·c², अतः p, b को भी विभाजित करती है। अब p, a और b दोनों को विभाजित करती है — विरोधाभास।
• 3 + 2√5 प्रकार के लिए: मान लीजिए यह a/b के बराबर है। तब √5 = (a − 3b)/(2b), जो परिमेय है। परन्तु √5 अपरिमेय है — विरोधाभास।
• परिमेय + अपरिमेय = अपरिमेय। शून्येतर परिमेय × अपरिमेय = अपरिमेय। 5 − √3 या 2√3 जैसी संख्याओं के लिए इसका प्रयोग कीजिए।
• उत्तर का अंत हमेशा इस पंक्ति से कीजिए: 'अतः हमारी कल्पना गलत थी, इसलिए संख्या अपरिमेय है।'

• Irrational number: woh number jise p/q ke roop mein nahi likh sakte, jahan p, q integers hain aur q ≠ 0. Examples: √2, √3, √5, π.
• Method: contradiction se proof. Maan lijiye number rational HAI, phir ek impossible baat tak pahunchiye.
• Key fact: agar prime p, a² ko divide karta hai, to p, a ko bhi divide karta hai (p = 2, 3, 5 …).
• √p (p prime) ke liye: maan lijiye √p = a/b, a aur b co-prime (HCF = 1). Tab a² = p·b², to p, a ko divide karta hai. a = p·c rakhiye, milega b² = p·c², to p, b ko bhi divide karta hai. Ab p dono a aur b ko divide karta hai — contradiction.
• 3 + 2√5 type ke liye: maan lijiye yeh a/b hai. Tab √5 = (a − 3b)/(2b), yaani rational. Lekin √5 irrational hai — contradiction.
• Rational + irrational = irrational. Non-zero rational × irrational = irrational. 5 − √3 ya 2√3 jaise numbers ke liye yeh use kijiye.
• Answer ke end mein yeh line zaroor likhiye: 'Isliye hamari maanyata galat thi, number irrational hai.'

💡 Write 'a and b are co-prime' at the start. Without it, the contradiction has no meaning and marks are cut.शुरू में 'a और b सहअभाज्य हैं' अवश्य लिखिए। इसके बिना विरोधाभास का कोई अर्थ नहीं रहता और अंक कटते हैं।Shuru mein 'a aur b co-prime hain' zaroor likhiye. Iske bina contradiction ka koi matlab nahi rehta aur marks katte hain.

• Step 1: break each number into primes (factor tree or repeated division). Write with powers, e.g. 120 = 2³ × 3 × 5.
• HCF = product of the SMALLEST power of each COMMON prime.
• LCM = product of the GREATEST power of EVERY prime that appears.
• If a = p³q² and b = pq³ (p, q primes), then HCF = pq² and LCM = p³q³.
• HCF of two consecutive numbers is 1. HCF of two different primes is 1 and their LCM is their product.
• If one number is a factor of the other (like 12 and 36), HCF = smaller number, LCM = bigger number.
• HCF always divides the LCM. HCF ≤ smaller number; LCM ≥ bigger number.

• चरण 1: प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंड कीजिए (गुणनखंड वृक्ष या बार-बार भाग)। घातों में लिखिए, जैसे 120 = 2³ × 3 × 5।
• HCF = प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य की सबसे छोटी घात का गुणनफल।
• LCM = आने वाले प्रत्येक अभाज्य की सबसे बड़ी घात का गुणनफल।
• यदि a = p³q² तथा b = pq³ (p, q अभाज्य), तो HCF = pq² तथा LCM = p³q³।
• दो क्रमागत संख्याओं का HCF 1 होता है। दो भिन्न अभाज्य संख्याओं का HCF 1 और LCM उनका गुणनफल होता है।
• यदि एक संख्या दूसरी का गुणनखंड है (जैसे 12 और 36), तो HCF = छोटी संख्या, LCM = बड़ी संख्या।
• HCF सदैव LCM को विभाजित करता है। HCF ≤ छोटी संख्या; LCM ≥ बड़ी संख्या।

• Step 1: har number ke prime factors nikaliye (factor tree ya baar-baar divide). Powers mein likhiye, jaise 120 = 2³ × 3 × 5.
• HCF = har COMMON prime ki SABSE CHHOTI power ka product.
• LCM = aane wale HAR prime ki SABSE BADI power ka product.
• Agar a = p³q² aur b = pq³ (p, q primes), to HCF = pq² aur LCM = p³q³.
• Do consecutive numbers ka HCF 1 hota hai. Do alag primes ka HCF 1 aur LCM unka product hota hai.
• Agar ek number doosre ka factor hai (jaise 12 aur 36), to HCF = chhota number, LCM = bada number.
• HCF hamesha LCM ko divide karta hai. HCF ≤ chhota number; LCM ≥ bada number.

💡 Always write the prime factorisation line first; the examiner gives a mark for it even if the final answer slips.हमेशा पहले अभाज्य गुणनखंडन की पंक्ति लिखिए; अंतिम उत्तर में गलती हो तो भी इसका अंक मिलता है।Hamesha pehle prime factorisation wali line likhiye; final answer mein galti ho to bhi iska mark milta hai.

• For any two positive integers a and b: HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b.
• So LCM = (a × b) / HCF and HCF = (a × b) / LCM.
• If one number and HCF, LCM are given: other number = (HCF × LCM) / given number.
• This rule is only for TWO numbers. It does not work for three numbers.
• LCM must be a multiple of HCF. If LCM ÷ HCF is not a whole number, such numbers cannot exist.

• किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए: HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b।
• अतः LCM = (a × b) / HCF तथा HCF = (a × b) / LCM।
• यदि एक संख्या और HCF, LCM दिए हों: दूसरी संख्या = (HCF × LCM) / दी गई संख्या।
• यह नियम केवल दो संख्याओं के लिए है। तीन संख्याओं के लिए नहीं।
• LCM, HCF का गुणज होना चाहिए। यदि LCM ÷ HCF पूर्ण संख्या नहीं है, तो ऐसी संख्याएँ संभव नहीं।

• Kisi bhi do positive integers a aur b ke liye: HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b.
• To LCM = (a × b) / HCF aur HCF = (a × b) / LCM.
• Agar ek number aur HCF, LCM diye hon: doosra number = (HCF × LCM) / diya gaya number.
• Yeh rule sirf DO numbers ke liye hai. Teen numbers par nahi chalta.
• LCM, HCF ka multiple hona chahiye. Agar LCM ÷ HCF whole number nahi, to aise numbers ho hi nahi sakte.

• Statement: every composite number can be written as a product of primes, and this factorisation is unique, apart from the order of the factors.
• Example: 2520 = 2³ × 3² × 5 × 7.
• Use 1 — can 6ⁿ end with 0? A number ends with 0 only if it has both 2 and 5 as prime factors. 6ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ has no 5, so 6ⁿ never ends with 0. Same idea for 4ⁿ, 12ⁿ.
• Use 2 — show a number is composite: take out a common factor, e.g. 5 × 7 × 11 + 7 = 7 × (55 + 1) = 7 × 56. It has factors other than 1 and itself, so it is composite.
• 1 is neither prime nor composite. 2 is the only even prime.

• कथन: प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, और यह गुणनखंडन अद्वितीय होता है, गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर।
• उदाहरण: 2520 = 2³ × 3² × 5 × 7।
• प्रयोग 1 — क्या 6ⁿ का अंतिम अंक 0 हो सकता है? किसी संख्या का अंतिम अंक 0 तभी होता है जब उसमें अभाज्य गुणनखंड 2 और 5 दोनों हों। 6ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ में 5 नहीं है, अतः 6ⁿ का अंतिम अंक कभी 0 नहीं होगा। 4ⁿ, 12ⁿ के लिए भी यही तर्क।
• प्रयोग 2 — संख्या को भाज्य दिखाना: उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालिए, जैसे 5 × 7 × 11 + 7 = 7 × (55 + 1) = 7 × 56। इसके 1 और स्वयं के अलावा भी गुणनखंड हैं, अतः यह भाज्य है।
• 1 न अभाज्य है न भाज्य। 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।

• Statement: har composite number ko primes ke product ke roop mein likha ja sakta hai, aur yeh factorisation unique hota hai, factors ke order ko chhodkar.
• Example: 2520 = 2³ × 3² × 5 × 7.
• Use 1 — kya 6ⁿ ke end mein 0 aa sakta hai? Kisi number ke end mein 0 tabhi aata hai jab usmein prime factors 2 aur 5 dono hon. 6ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ mein 5 nahi hai, isliye 6ⁿ ke end mein kabhi 0 nahi aayega. 4ⁿ, 12ⁿ ke liye bhi yahi logic.
• Use 2 — number ko composite dikhana: common factor bahar nikaliye, jaise 5 × 7 × 11 + 7 = 7 × (55 + 1) = 7 × 56. Iske 1 aur khud ke alawa bhi factors hain, isliye yeh composite hai.
• 1 na prime hai na composite. 2 akela even prime hai.