Trianglesत्रिभुजTriangles (Tribhuj)

• Statement: if a line is drawn parallel to one side of a triangle to cut the other two sides at different points, the other two sides are divided in the same ratio.
• Given: ΔABC, DE ∥ BC, D on AB, E on AC. To prove: AD/DB = AE/EC.
• Construction: join BE and CD; draw DM ⊥ AC and EN ⊥ AB.
• Idea: compare areas. ar(ADE)/ar(BDE) = AD/DB and ar(ADE)/ar(DEC) = AE/EC; and ar(BDE) = ar(DEC).
• Why ar(BDE) = ar(DEC): same base DE and between the same parallels DE and BC.
• Write all five parts: statement, figure, given, to prove, construction, proof.

• कथन: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर रेखा खींची जाए जो अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर काटे, तो अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित होती हैं।
• दिया है: ΔABC, DE ∥ BC, D, AB पर, E, AC पर। सिद्ध करना है: AD/DB = AE/EC।
• रचना: BE और CD को मिलाइए; DM ⊥ AC और EN ⊥ AB खींचिए।
• विचार: क्षेत्रफलों की तुलना। ar(ADE)/ar(BDE) = AD/DB तथा ar(ADE)/ar(DEC) = AE/EC; और ar(BDE) = ar(DEC)।
• ar(BDE) = ar(DEC) क्यों: एक ही आधार DE और एक ही समांतर रेखाओं DE और BC के बीच।
• सभी भाग लिखिए: कथन, आकृति, दिया है, सिद्ध करना है, रचना, उपपत्ति।

• Statement: agar kisi triangle ki ek side ke parallel line kheenchi jaye jo baaki do sides ko alag points par kaate, to baaki do sides ek hi ratio mein divide hoti hain.
• Given: ΔABC, DE ∥ BC, D AB par, E AC par. To prove: AD/DB = AE/EC.
• Construction: BE aur CD jodiye; DM ⊥ AC aur EN ⊥ AB kheenchiye.
• Idea: areas compare karna. ar(ADE)/ar(BDE) = AD/DB aur ar(ADE)/ar(DEC) = AE/EC; aur ar(BDE) = ar(DEC).
• ar(BDE) = ar(DEC) kyun: same base DE aur same parallels DE aur BC ke beech.
• Saare parts likhiye: statement, figure, given, to prove, construction, proof.

💡 Draw the figure with DE clearly parallel to BC and show the dotted lines BE and CD. A proof without the figure loses marks.आकृति में DE को BC के स्पष्ट समांतर बनाइए और BE, CD की बिंदुदार रेखाएँ दिखाइए। आकृति के बिना उपपत्ति के अंक कटते हैं।Figure mein DE ko BC ke saaf parallel banaiye aur BE, CD ki dotted lines dikhaiye. Figure ke bina proof ke marks katte hain.

• AAA (or AA): if two angles of one triangle equal two angles of another, the triangles are similar (the third angles are then equal too).
• SSS: if the three sides of one triangle are proportional to the three sides of another, the triangles are similar.
• SAS: if one angle of a triangle equals one angle of another and the sides including these angles are proportional, the triangles are similar.
• Similar means: corresponding angles equal AND corresponding sides in the same ratio. For triangles, either one guarantees the other.
• Careful: RHS, ASA, SAS for congruence need equal sides; for similarity, sides only need the same ratio.

• AAA (या AA): यदि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं (तीसरा कोण भी बराबर हो जाता है)।
• SSS: यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दूसरे की तीनों भुजाओं के समानुपाती हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
• SAS: यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे के एक कोण के बराबर हो और इन कोणों को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
• समरूप का अर्थ: संगत कोण बराबर तथा संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में। त्रिभुजों में एक शर्त से दूसरी अपने आप मिल जाती है।
• ध्यान दें: सर्वांगसमता में भुजाएँ बराबर चाहिए; समरूपता में भुजाओं का केवल अनुपात समान होना चाहिए।

• AAA (ya AA): agar ek triangle ke do angles doosre triangle ke do angles ke barabar hon, to triangles similar hote hain (teesra angle bhi barabar ho jata hai).
• SSS: agar ek triangle ki teeno sides doosre ki teeno sides ke proportional hon, to triangles similar hote hain.
• SAS: agar ek triangle ka ek angle doosre ke ek angle ke barabar ho aur in angles ko banane wali sides proportional hon, to triangles similar hote hain.
• Similar ka matlab: corresponding angles barabar AUR corresponding sides ek hi ratio mein. Triangles mein ek condition se doosri apne aap mil jati hai.
• Dhyan dijiye: congruence mein sides barabar chahiye; similarity mein sides ka sirf ratio same hona chahiye.

• Similar figures: same shape, not necessarily the same size.
• All circles are similar. All squares are similar. All equilateral triangles are similar.
• All congruent figures are similar, but similar figures need not be congruent.
• Two polygons with the same number of sides are similar if (i) corresponding angles are equal AND (ii) corresponding sides are in the same ratio. For polygons other than triangles, one condition alone is not enough (a square and a rectangle have equal angles but are not similar).
• Two rectangles, or two rhombuses, are not always similar.

• समरूप आकृतियाँ: आकार (shape) समान, माप आवश्यक नहीं कि समान हो।
• सभी वृत्त समरूप होते हैं। सभी वर्ग समरूप होते हैं। सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।
• सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं, परन्तु समरूप आकृतियाँ सर्वांगसम हों यह आवश्यक नहीं।
• समान भुजाओं वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि (i) संगत कोण बराबर हों तथा (ii) संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों। त्रिभुज के अलावा बहुभुजों में केवल एक शर्त पर्याप्त नहीं (वर्ग और आयत के कोण बराबर हैं पर वे समरूप नहीं)।
• दो आयत, या दो समचतुर्भुज, सदैव समरूप नहीं होते।

• Similar figures: shape same, size zaroori nahi same ho.
• Saare circles similar hote hain. Saare squares similar hote hain. Saare equilateral triangles similar hote hain.
• Saari congruent figures similar hoti hain, lekin similar figures congruent hon yeh zaroori nahi.
• Same number of sides wale do polygons similar hote hain agar (i) corresponding angles barabar hon AUR (ii) corresponding sides ek hi ratio mein hon. Triangle ke alawa polygons mein sirf ek condition kaafi nahi (square aur rectangle ke angles barabar hain par woh similar nahi).
• Do rectangles, ya do rhombus, hamesha similar nahi hote.