Pair of Linear Equations in Two Variablesदो चर वाले रैखिक समीकरणों का युग्मPair of Linear Equations in Two Variables (Do char wale rekhik samikaran)
Class 10 Maths · Chapter 3 · UP Boardकक्षा 10 गणित · अध्याय 3 · यूपी बोर्डClass 10 Maths · Chapter 3 · UP Board
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📊 Based on 7 years (2019–2026) of UP Board papers, current syllabus: 43 sets readवर्तमान सिलेबस के 7 वर्षों (2019–2026) के यूपी बोर्ड पेपरों पर आधारित: 43 सेट पढ़े गएCurrent syllabus ke 7 saal (2019–2026) ke UP Board papers par based: 43 sets padhe (2019, 2020, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026) · plus 10 old-syllabus papers (2012–2018), counted separatelyसाथ में पुराने सिलेबस के 10 पेपर (2012–2018) अलग से गिने गएpurane syllabus ke 10 papers (2012–2018) alag se gine
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Haven't studied anything? Read just this much and you will pass.कुछ नहीं पढ़ा? बस इतना पढ़ लीजिए, पास हो जाएँगे।Kuch nahi padha? Bas itna padh lijiye, pass ho jayenge.
The big question here is a word problem (two-digit number, fraction, ages, money) that you turn into two equations and solve. So first learn the elimination and substitution methods well, then practise the word-problem types. After that, learn the three ratio conditions (a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂): they give easy MCQs and 'find k' questions.यहाँ बड़ा प्रश्न शाब्दिक प्रश्न होता है (दो अंकों की संख्या, भिन्न, आयु, रुपये) जिसे दो समीकरणों में बदलकर हल करना है। इसलिए पहले विलोपन और प्रतिस्थापन विधि अच्छे से सीखिए, फिर शाब्दिक प्रश्नों के प्रकारों का अभ्यास कीजिए। इसके बाद तीन अनुपात शर्तें (a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂) याद कीजिए: इनसे आसान MCQ और 'k ज्ञात कीजिए' वाले प्रश्न बनते हैं।Yahan bada sawaal word problem hota hai (do digit ka number, fraction, age, paise) jise do equations mein badalkar solve karna hai. Isliye pehle elimination aur substitution method achhe se seekhiye, phir word problems ke types ki practice kijiye. Iske baad teen ratio conditions (a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂) yaad kijiye: inse aasaan MCQ aur 'k nikaliye' wale sawaal bante hain.
🏅 Pass-guarantee minimumपास होने के लिए न्यूनतमPass hone ke liye minimum
- Practise the elimination method on 3 pairs until you can do it without mistakes.
- Learn the two-digit number setup (10x + y and 10y + x) and solve one 'sum with reversed number' question with both cases.
- Learn the fraction setup (x/y) and solve one fraction question.
- Learn the three ratio conditions table (unique / none / infinite) and use it for MCQs and 'find k'.
- In every answer: write the two equations clearly with numbers (1) and (2), and check at the end.
- विलोपन विधि का 3 युग्मों पर तब तक अभ्यास कीजिए जब तक बिना गलती के न होने लगे।
- दो अंकों की संख्या का ढाँचा (10x + y और 10y + x) सीखिए और 'पलटी संख्या के योग' वाला एक प्रश्न दोनों स्थितियों सहित हल कीजिए।
- भिन्न का ढाँचा (x/y) सीखिए और भिन्न वाला एक प्रश्न हल कीजिए।
- तीन अनुपात शर्तों की सारणी (अद्वितीय / कोई नहीं / अनंत) याद कीजिए और MCQ व 'k ज्ञात कीजिए' में लगाइए।
- हर उत्तर में: दोनों समीकरण (1) और (2) संख्या देकर साफ लिखिए, और अंत में जाँच कीजिए।
- Elimination method ki 3 pairs par tab tak practice kijiye jab tak bina galti ke na hone lage.
- Do digit ke number ka setup (10x + y aur 10y + x) seekhiye aur 'ulte number ke sum' wala ek sawaal dono cases ke saath solve kijiye.
- Fraction ka setup (x/y) seekhiye aur ek fraction wala sawaal solve kijiye.
- Teen ratio conditions ki table (unique / none / infinite) yaad kijiye aur MCQ aur 'k nikaliye' mein lagaiye.
- Har answer mein: dono equations (1) aur (2) number dekar saaf likhiye, aur end mein check kijiye.
🎯 1-mark facts that keep comingबार-बार आने वाले 1 अंक के तथ्यBaar baar aane wale 1 mark facts
- a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ⇒ unique solution (intersecting lines).
- a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ ⇒ no solution (parallel lines).
- a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ ⇒ infinitely many solutions (coincident lines).
- A pair of linear equations cannot have exactly two solutions.
- Number = 10x + y; reversed = 10y + x.
- Sum S and difference D ⇒ numbers (S + D)/2 and (S − D)/2.
- Supplementary angles add to 180°, complementary to 90°.
- The graph of a linear equation in two variables is a straight line.
- a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ⇒ अद्वितीय हल (प्रतिच्छेदी रेखाएँ)।
- a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ ⇒ कोई हल नहीं (समांतर रेखाएँ)।
- a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ ⇒ अनंत हल (संपाती रेखाएँ)।
- रैखिक समीकरण युग्म के ठीक दो हल नहीं हो सकते।
- संख्या = 10x + y; पलटी संख्या = 10y + x।
- योग S और अंतर D ⇒ संख्याएँ (S + D)/2 और (S − D)/2।
- संपूरक कोणों का योग 180°, पूरक कोणों का 90°।
- दो चर वाले रैखिक समीकरण का आलेख एक सरल रेखा होता है।
- a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ⇒ unique solution (intersecting lines).
- a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ ⇒ no solution (parallel lines).
- a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ ⇒ infinite solutions (coincident lines).
- Linear equations ke pair ke theek do solutions nahi ho sakte.
- Number = 10x + y; ulta number = 10y + x.
- Sum S aur difference D ⇒ numbers (S + D)/2 aur (S − D)/2.
- Supplementary angles ka sum 180°, complementary ka 90°.
- Do variable wale linear equation ka graph ek seedhi line hota hai.
The questions that come every year, with model answers. Most asked first.हर साल आने वाले प्रश्न, आदर्श उत्तरों के साथ। सबसे ज़्यादा पूछे गए पहले।Har saal aane wale sawaal, model answers ke saath. Sabse zyada aaye pehle.
Word problems: two-digit numbers, fractions, ages, anglesशाब्दिक प्रश्न: दो अंकों की संख्या, भिन्न, आयु, कोणWord problems: do digit ka number, fraction, age, angles
🔥 Asked in 7 of 7 years🔥 7 में से 7 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 7/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- Step 1: name the two unknowns (let … be x and … be y). Step 2: write two equations from the two conditions. Step 3: solve. Step 4: answer in words and check.
- Two-digit number: tens digit x, units digit y ⇒ number = 10x + y; reversed number = 10y + x.
- Number + reversed number = 11(x + y). Reversed − original = 9(y − x).
- 'Digits differ by 4' gives two cases: x − y = 4 or y − x = 4. So there are usually TWO such numbers (like 73 and 37).
- Fraction: let it be x/y. 'Add 1 to numerator and denominator' ⇒ (x + 1)/(y + 1).
- Ages: present ages x and y; after n years: x + n and y + n; n years ago: x − n and y − n.
- Supplementary angles: x + y = 180°; complementary: x + y = 90°.
- Sum and difference of two numbers given (S and D): numbers are (S + D)/2 and (S − D)/2.
- चरण 1: दोनों अज्ञात मानिए (माना … = x और … = y)। चरण 2: दोनों शर्तों से दो समीकरण लिखिए। चरण 3: हल कीजिए। चरण 4: शब्दों में उत्तर लिखिए और जाँचिए।
- दो अंकों की संख्या: दहाई का अंक x, इकाई का अंक y ⇒ संख्या = 10x + y; अंक पलटने पर संख्या = 10y + x।
- संख्या + पलटी संख्या = 11(x + y)। पलटी − मूल = 9(y − x)।
- 'अंकों का अंतर 4' से दो स्थितियाँ बनती हैं: x − y = 4 या y − x = 4। अतः प्रायः ऐसी दो संख्याएँ होती हैं (जैसे 73 और 37)।
- भिन्न: माना भिन्न x/y है। 'अंश और हर में 1 जोड़ने पर' ⇒ (x + 1)/(y + 1)।
- आयु: वर्तमान आयु x और y; n वर्ष बाद: x + n और y + n; n वर्ष पहले: x − n और y − n।
- संपूरक कोण: x + y = 180°; पूरक कोण: x + y = 90°।
- दो संख्याओं का योग S और अंतर D दिया हो: संख्याएँ (S + D)/2 और (S − D)/2।
- Step 1: dono unknowns maaniye (maan lijiye … = x aur … = y). Step 2: dono conditions se do equations likhiye. Step 3: solve kijiye. Step 4: shabdon mein answer likhiye aur check kijiye.
- Do digit ka number: tens digit x, units digit y ⇒ number = 10x + y; ulta number = 10y + x.
- Number + ulta number = 11(x + y). Ulta − original = 9(y − x).
- 'Digits ka difference 4' se do cases bante hain: x − y = 4 ya y − x = 4. Isliye aksar aise DO numbers hote hain (jaise 73 aur 37).
- Fraction: maan lijiye fraction x/y hai. 'Numerator aur denominator mein 1 jodne par' ⇒ (x + 1)/(y + 1).
- Age: present age x aur y; n saal baad: x + n aur y + n; n saal pehle: x − n aur y − n.
- Supplementary angles: x + y = 180°; complementary: x + y = 90°.
- Do numbers ka sum S aur difference D diya ho: numbers (S + D)/2 aur (S − D)/2.
The sum of a two-digit number and the number obtained by reversing its digits is 110. If the digits differ by 4, find the number. How many such numbers are there?एक दो अंकों की संख्या और उसके अंकों को पलटने से बनी संख्या का योग 110 है। यदि अंकों में 4 का अंतर है, तो संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसी कितनी संख्याएँ हैं?Ek do digit ke number aur uske digits ulatne se bane number ka sum 110 hai. Agar digits mein 4 ka difference hai, to number nikaliye. Aisi kitni numbers hain?
- Let the tens digit be x and the units digit be y. Number = 10x + y, reversed = 10y + x.
- (10x + y) + (10y + x) = 110 ⇒ 11x + 11y = 110 ⇒ x + y = 10 …(1)
- Digits differ by 4: x − y = 4 …(2) or y − x = 4 …(3)
- Case 1, (1) + (2): 2x = 14 ⇒ x = 7, y = 3. Number = 73.
- Case 2, (1) + (3): 2y = 14 ⇒ y = 7, x = 3. Number = 37.
- Check: 73 + 37 = 110 ✓ and 7 − 3 = 4 ✓.
- So the number is 73 or 37: there are two such numbers.
- माना दहाई का अंक x और इकाई का अंक y है। संख्या = 10x + y, पलटी संख्या = 10y + x।
- (10x + y) + (10y + x) = 110 ⇒ 11x + 11y = 110 ⇒ x + y = 10 …(1)
- अंकों का अंतर 4: x − y = 4 …(2) या y − x = 4 …(3)
- स्थिति 1, (1) + (2): 2x = 14 ⇒ x = 7, y = 3। संख्या = 73।
- स्थिति 2, (1) + (3): 2y = 14 ⇒ y = 7, x = 3। संख्या = 37।
- जाँच: 73 + 37 = 110 ✓ तथा 7 − 3 = 4 ✓।
- अतः संख्या 73 या 37 है: ऐसी दो संख्याएँ हैं।
- Maan lijiye tens digit x aur units digit y hai. Number = 10x + y, ulta number = 10y + x.
- (10x + y) + (10y + x) = 110 ⇒ 11x + 11y = 110 ⇒ x + y = 10 …(1)
- Digits ka difference 4: x − y = 4 …(2) ya y − x = 4 …(3)
- Case 1, (1) + (2): 2x = 14 ⇒ x = 7, y = 3. Number = 73.
- Case 2, (1) + (3): 2y = 14 ⇒ y = 7, x = 3. Number = 37.
- Check: 73 + 37 = 110 ✓ aur 7 − 3 = 4 ✓.
- To number 73 ya 37 hai: aisi do numbers hain.
A fraction becomes 1/2 when 1 is added to both its numerator and denominator. It becomes 1/3 when 1 is subtracted from both. Find the fraction.एक भिन्न के अंश और हर दोनों में 1 जोड़ने पर वह 1/2 हो जाती है। दोनों में से 1 घटाने पर वह 1/3 हो जाती है। भिन्न ज्ञात कीजिए।Ek fraction ke numerator aur denominator dono mein 1 jodne par woh 1/2 ho jati hai. Dono mein se 1 ghatane par woh 1/3 ho jati hai. Fraction nikaliye.
- Let the fraction be x/y.
- (x + 1)/(y + 1) = 1/2 ⇒ 2x + 2 = y + 1 ⇒ 2x − y = −1 …(1)
- (x − 1)/(y − 1) = 1/3 ⇒ 3x − 3 = y − 1 ⇒ 3x − y = 2 …(2)
- (2) − (1): x = 3. Put in (1): 6 − y = −1 ⇒ y = 7.
- Fraction = 3/7. Check: 4/8 = 1/2 ✓, 2/6 = 1/3 ✓.
- माना भिन्न x/y है।
- (x + 1)/(y + 1) = 1/2 ⇒ 2x + 2 = y + 1 ⇒ 2x − y = −1 …(1)
- (x − 1)/(y − 1) = 1/3 ⇒ 3x − 3 = y − 1 ⇒ 3x − y = 2 …(2)
- (2) − (1): x = 3। (1) में रखने पर: 6 − y = −1 ⇒ y = 7।
- भिन्न = 3/7। जाँच: 4/8 = 1/2 ✓, 2/6 = 1/3 ✓।
- Maan lijiye fraction x/y hai.
- (x + 1)/(y + 1) = 1/2 ⇒ 2x + 2 = y + 1 ⇒ 2x − y = −1 …(1)
- (x − 1)/(y − 1) = 1/3 ⇒ 3x − 3 = y − 1 ⇒ 3x − y = 2 …(2)
- (2) − (1): x = 3. (1) mein rakhne par: 6 − y = −1 ⇒ y = 7.
- Fraction = 3/7. Check: 4/8 = 1/2 ✓, 2/6 = 1/3 ✓.
The sum of the digits of a two-digit number is 8. The number obtained by reversing the digits is 18 more than the original number. Find the number.एक दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 8 है। अंक पलटने पर बनी संख्या मूल संख्या से 18 अधिक है। संख्या ज्ञात कीजिए।Ek do digit ke number ke digits ka sum 8 hai. Digits ulatne par bana number original se 18 zyada hai. Number nikaliye.
- Let tens digit = x, units digit = y. x + y = 8 …(1)
- (10y + x) − (10x + y) = 18 ⇒ 9y − 9x = 18 ⇒ y − x = 2 …(2)
- (1) + (2): 2y = 10 ⇒ y = 5, x = 3.
- Number = 35. Check: 53 − 35 = 18 ✓.
- माना दहाई का अंक = x, इकाई का अंक = y। x + y = 8 …(1)
- (10y + x) − (10x + y) = 18 ⇒ 9y − 9x = 18 ⇒ y − x = 2 …(2)
- (1) + (2): 2y = 10 ⇒ y = 5, x = 3।
- संख्या = 35। जाँच: 53 − 35 = 18 ✓।
- Maan lijiye tens digit = x, units digit = y. x + y = 8 …(1)
- (10y + x) − (10x + y) = 18 ⇒ 9y − 9x = 18 ⇒ y − x = 2 …(2)
- (1) + (2): 2y = 10 ⇒ y = 5, x = 3.
- Number = 35. Check: 53 − 35 = 18 ✓.
MCQ: Of two supplementary angles, the larger exceeds the smaller by 22°. The larger angle is: (A) 98° (B) 101° (C) 102° (D) 79°MCQ: दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे से 22° अधिक है। बड़ा कोण है: (A) 98° (B) 101° (C) 102° (D) 79°MCQ: Do supplementary angles mein bada kon chhote se 22° zyada hai. Bada kon hai: (A) 98° (B) 101° (C) 102° (D) 79°
- x + y = 180, x − y = 22 ⇒ 2x = 202 ⇒ x = 101°, y = 79°.
- Answer: (B) 101°
- x + y = 180, x − y = 22 ⇒ 2x = 202 ⇒ x = 101°, y = 79°।
- उत्तर: (B) 101°
- x + y = 180, x − y = 22 ⇒ 2x = 202 ⇒ x = 101°, y = 79°.
- Answer: (B) 101°
💡 In 'digits differ by' questions, write both cases. Many students give only one number and lose marks.'अंकों का अंतर' वाले प्रश्न में दोनों स्थितियाँ लिखिए। बहुत से छात्र केवल एक संख्या देकर अंक खो देते हैं।'Digits ka difference' wale sawaal mein dono cases likhiye. Bahut se students sirf ek number dekar marks kho dete hain.
Solve by eliminationविलोपन विधि से हलElimination method se solve
🔥 Asked in 7 of 7 years🔥 7 में से 7 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 7/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- Step 1: multiply one or both equations so that the coefficients of x (or y) become equal.
- Step 2: add the equations if the signs are opposite; subtract if the signs are the same. One variable goes away.
- Step 3: solve for the other variable, then put it back in any equation.
- Step 4: check in BOTH original equations.
- If both variables cancel and you get a true statement like 0 = 0, there are infinitely many solutions; a false one like 0 = 5 means no solution.
- Equations like 9x = 2y + 7: first bring them to the form ax + by = c.
- चरण 1: एक या दोनों समीकरणों को ऐसी संख्या से गुणा कीजिए कि x (या y) के गुणांक बराबर हो जाएँ।
- चरण 2: चिह्न विपरीत हों तो समीकरण जोड़िए; समान हों तो घटाइए। एक चर हट जाता है।
- चरण 3: दूसरा चर ज्ञात कीजिए, फिर उसे किसी भी समीकरण में रखिए।
- चरण 4: दोनों मूल समीकरणों में जाँचिए।
- यदि दोनों चर कट जाएँ और 0 = 0 जैसा सत्य कथन मिले, तो अनंत हल हैं; 0 = 5 जैसा असत्य कथन मिले तो कोई हल नहीं।
- 9x = 2y + 7 जैसे समीकरण पहले ax + by = c के रूप में लाइए।
- Step 1: ek ya dono equations ko aise number se multiply kijiye ki x (ya y) ke coefficients barabar ho jayein.
- Step 2: signs ulte hon to equations jodiye; same hon to ghataiye. Ek variable hat jata hai.
- Step 3: doosra variable nikaliye, phir use kisi bhi equation mein rakhiye.
- Step 4: DONO original equations mein check kijiye.
- Agar dono variables cut jayein aur 0 = 0 jaisa sahi statement mile, to infinite solutions; 0 = 5 jaisa galat mile to koi solution nahi.
- 9x = 2y + 7 jaise equations pehle ax + by = c form mein laiye.
Solve by elimination: 3x + 4y = 18 and 2x − 3y = −5.विलोपन विधि से हल कीजिए: 3x + 4y = 18 तथा 2x − 3y = −5।Elimination method se solve kijiye: 3x + 4y = 18 aur 2x − 3y = −5.
- 3x + 4y = 18 …(1); 2x − 3y = −5 …(2)
- Multiply (1) by 3: 9x + 12y = 54 …(3). Multiply (2) by 4: 8x − 12y = −20 …(4)
- Add (3) and (4): 17x = 34 ⇒ x = 2.
- Put x = 2 in (1): 6 + 4y = 18 ⇒ 4y = 12 ⇒ y = 3.
- Check in (2): 2(2) − 3(3) = 4 − 9 = −5 ✓
- Answer: x = 2, y = 3.
- 3x + 4y = 18 …(1); 2x − 3y = −5 …(2)
- (1) को 3 से गुणा: 9x + 12y = 54 …(3)। (2) को 4 से गुणा: 8x − 12y = −20 …(4)
- (3) और (4) जोड़ने पर: 17x = 34 ⇒ x = 2।
- x = 2 को (1) में रखने पर: 6 + 4y = 18 ⇒ 4y = 12 ⇒ y = 3।
- (2) में जाँच: 2(2) − 3(3) = 4 − 9 = −5 ✓
- उत्तर: x = 2, y = 3।
- 3x + 4y = 18 …(1); 2x − 3y = −5 …(2)
- (1) ko 3 se multiply: 9x + 12y = 54 …(3). (2) ko 4 se multiply: 8x − 12y = −20 …(4)
- (3) aur (4) jodne par: 17x = 34 ⇒ x = 2.
- x = 2 ko (1) mein rakhne par: 6 + 4y = 18 ⇒ 4y = 12 ⇒ y = 3.
- (2) mein check: 2(2) − 3(3) = 4 − 9 = −5 ✓
- Answer: x = 2, y = 3.
MCQ: The solution of x − y = 2 and x + y = 6 is: (A) x = 4, y = 2 (B) x = 2, y = 4 (C) x = 3, y = 1 (D) x = 6, y = 0MCQ: x − y = 2 और x + y = 6 का हल है: (A) x = 4, y = 2 (B) x = 2, y = 4 (C) x = 3, y = 1 (D) x = 6, y = 0MCQ: x − y = 2 aur x + y = 6 ka solution hai: (A) x = 4, y = 2 (B) x = 2, y = 4 (C) x = 3, y = 1 (D) x = 6, y = 0
- Add: 2x = 8 ⇒ x = 4; then y = 6 − 4 = 2.
- Answer: (A)
- जोड़ने पर: 2x = 8 ⇒ x = 4; फिर y = 6 − 4 = 2।
- उत्तर: (A)
- Jodne par: 2x = 8 ⇒ x = 4; phir y = 6 − 4 = 2.
- Answer: (A)
💡 In MCQs you can simply put each option into both equations; the one that satisfies both is the answer.MCQ में प्रत्येक विकल्प को दोनों समीकरणों में रखकर देखिए; जो दोनों को संतुष्ट करे वही उत्तर है।MCQ mein har option ko dono equations mein rakhkar dekhiye; jo dono ko satisfy kare wahi answer hai.
Find k for a unique, no or infinite solutionअद्वितीय, शून्य या अनंत हल के लिए k ज्ञात करनाUnique, no ya infinite solution ke liye k nikalna
🔥 Asked in 6 of 7 years🔥 7 में से 6 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 6/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- Write both equations as a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0 (or both as ax + by = c). Keep the signs.
- Unique solution: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂.
- No solution (parallel lines): a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂.
- Infinitely many solutions (coincident lines): a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂.
- Put the unknown into the right condition and solve. For 'no solution', also check that c₁/c₂ is really different.
- दोनों समीकरणों को a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 (या दोनों को ax + by = c) के रूप में लिखिए। चिह्न ध्यान रखिए।
- अद्वितीय हल: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂।
- कोई हल नहीं (समांतर रेखाएँ): a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂।
- अनंत हल (संपाती रेखाएँ): a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂।
- अज्ञात को सही शर्त में रखकर हल कीजिए। 'कोई हल नहीं' में यह भी जाँचिए कि c₁/c₂ सच में अलग है।
- Dono equations ko a₁x + b₁y + c₁ = 0 aur a₂x + b₂y + c₂ = 0 (ya dono ko ax + by = c) form mein likhiye. Signs dhyan rakhiye.
- Unique solution: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂.
- No solution (parallel lines): a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂.
- Infinitely many solutions (coincident lines): a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂.
- Unknown ko sahi condition mein rakhkar solve kijiye. 'No solution' mein yeh bhi check kijiye ki c₁/c₂ sach mein alag hai.
For what value of k will 4x + ky = 6 and 2x + 3y = 5 have no solution?k के किस मान के लिए 4x + ky = 6 और 2x + 3y = 5 का कोई हल नहीं होगा?k ki kis value ke liye 4x + ky = 6 aur 2x + 3y = 5 ka koi solution nahi hoga?
- For no solution: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂.
- 4/2 = k/3 ⇒ k = 6.
- Check: c₁/c₂ = 6/5 and a₁/a₂ = 2; 2 ≠ 6/5 ✓.
- So k = 6.
- कोई हल नहीं के लिए: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂।
- 4/2 = k/3 ⇒ k = 6।
- जाँच: c₁/c₂ = 6/5 तथा a₁/a₂ = 2; 2 ≠ 6/5 ✓।
- अतः k = 6।
- No solution ke liye: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂.
- 4/2 = k/3 ⇒ k = 6.
- Check: c₁/c₂ = 6/5 aur a₁/a₂ = 2; 2 ≠ 6/5 ✓.
- To k = 6.
For what value of k do x + 2y − 3 = 0 and 3x + ky − 9 = 0 represent coincident lines?k के किस मान के लिए x + 2y − 3 = 0 और 3x + ky − 9 = 0 संपाती रेखाएँ दर्शाते हैं?k ki kis value ke liye x + 2y − 3 = 0 aur 3x + ky − 9 = 0 coincident lines dikhate hain?
- Coincident: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂.
- 1/3 = 2/k = (−3)/(−9) = 1/3.
- 2/k = 1/3 ⇒ k = 6.
- संपाती: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂।
- 1/3 = 2/k = (−3)/(−9) = 1/3।
- 2/k = 1/3 ⇒ k = 6।
- Coincident: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂.
- 1/3 = 2/k = (−3)/(−9) = 1/3.
- 2/k = 1/3 ⇒ k = 6.
Consistent or inconsistent? Number of solutionsसंगत या असंगत? हलों की संख्याConsistent ya inconsistent? Solutions ki sankhya
🔥 Asked in 5 of 7 years🔥 7 में से 5 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 5/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- Consistent pair: has at least one solution (unique or infinite). Inconsistent: no solution.
- Intersecting lines ⇔ unique solution ⇔ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ (consistent).
- Parallel lines ⇔ no solution ⇔ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ (inconsistent).
- Coincident lines ⇔ infinitely many solutions ⇔ all three ratios equal (consistent, dependent).
- A pair of linear equations can never have exactly two solutions.
- संगत युग्म: कम से कम एक हल हो (अद्वितीय या अनंत)। असंगत: कोई हल नहीं।
- प्रतिच्छेदी रेखाएँ ⇔ अद्वितीय हल ⇔ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ (संगत)।
- समांतर रेखाएँ ⇔ कोई हल नहीं ⇔ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ (असंगत)।
- संपाती रेखाएँ ⇔ अनंत हल ⇔ तीनों अनुपात बराबर (संगत, आश्रित)।
- रैखिक समीकरण युग्म के ठीक दो हल कभी नहीं हो सकते।
- Consistent pair: kam se kam ek solution ho (unique ya infinite). Inconsistent: koi solution nahi.
- Intersecting lines ⇔ unique solution ⇔ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ (consistent).
- Parallel lines ⇔ no solution ⇔ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ (inconsistent).
- Coincident lines ⇔ infinite solutions ⇔ teeno ratios barabar (consistent, dependent).
- Linear equations ke pair ke theek do solutions kabhi nahi ho sakte.
MCQ: The pair x + 2y + 5 = 0 and 2x + 4y − 3 = 0 has: (A) a unique solution (B) two solutions (C) infinitely many solutions (D) no solutionMCQ: युग्म x + 2y + 5 = 0 और 2x + 4y − 3 = 0 का: (A) अद्वितीय हल (B) दो हल (C) अनंत हल (D) कोई हल नहींMCQ: Pair x + 2y + 5 = 0 aur 2x + 4y − 3 = 0 ka: (A) unique solution (B) do solutions (C) infinite solutions (D) koi solution nahi
- a₁/a₂ = 1/2, b₁/b₂ = 2/4 = 1/2, c₁/c₂ = 5/(−3).
- a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ ⇒ parallel lines.
- Answer: (D) no solution
- a₁/a₂ = 1/2, b₁/b₂ = 2/4 = 1/2, c₁/c₂ = 5/(−3)।
- a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ ⇒ समांतर रेखाएँ।
- उत्तर: (D) कोई हल नहीं
- a₁/a₂ = 1/2, b₁/b₂ = 2/4 = 1/2, c₁/c₂ = 5/(−3).
- a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ ⇒ parallel lines.
- Answer: (D) koi solution nahi
Solve by substitutionप्रतिस्थापन विधि से हलSubstitution method se solve
🔥 Asked in 5 of 7 years🔥 7 में से 5 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 5/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- Step 1: from one equation, write one variable in terms of the other (e.g. y = 7 − x).
- Step 2: put this into the other equation and solve for the remaining variable.
- Step 3: put the value back to get the second variable. Check in both equations.
- Best when one equation has a variable with coefficient 1 (like x + y = 7).
- चरण 1: एक समीकरण से एक चर को दूसरे के पदों में लिखिए (जैसे y = 7 − x)।
- चरण 2: इसे दूसरे समीकरण में रखिए और शेष चर ज्ञात कीजिए।
- चरण 3: मान वापस रखकर दूसरा चर निकालिए। दोनों समीकरणों में जाँचिए।
- यह विधि तब सबसे अच्छी है जब किसी चर का गुणांक 1 हो (जैसे x + y = 7)।
- Step 1: ek equation se ek variable ko doosre ke terms mein likhiye (jaise y = 7 − x).
- Step 2: ise doosre equation mein rakhiye aur bacha variable nikaliye.
- Step 3: value wapas rakhkar doosra variable nikaliye. Dono equations mein check kijiye.
- Yeh method tab best hai jab kisi variable ka coefficient 1 ho (jaise x + y = 7).
Solve by substitution: x + y = 7 and x − y = 3.प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए: x + y = 7 तथा x − y = 3।Substitution se solve kijiye: x + y = 7 aur x − y = 3.
- From x + y = 7: y = 7 − x.
- Put in x − y = 3: x − (7 − x) = 3 ⇒ 2x − 7 = 3 ⇒ x = 5.
- y = 7 − 5 = 2. Check: 5 − 2 = 3 ✓
- Answer: x = 5, y = 2.
- x + y = 7 से: y = 7 − x।
- x − y = 3 में रखने पर: x − (7 − x) = 3 ⇒ 2x − 7 = 3 ⇒ x = 5।
- y = 7 − 5 = 2। जाँच: 5 − 2 = 3 ✓
- उत्तर: x = 5, y = 2।
- x + y = 7 se: y = 7 − x.
- x − y = 3 mein rakhne par: x − (7 − x) = 3 ⇒ 2x − 7 = 3 ⇒ x = 5.
- y = 7 − 5 = 2. Check: 5 − 2 = 3 ✓
- Answer: x = 5, y = 2.
Graphical methodग्राफीय विधिGraphical method
Asked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal- Make a table of at least 2 (better 3) points for each equation. Easy points: put x = 0, then y = 0.
- Plot both lines on the same graph paper with the same scale.
- The point where the lines meet is the solution. Write it as (x, y).
- Parallel lines ⇒ no solution; same line ⇒ infinitely many solutions.
- If asked for the triangle made with the x-axis, also mark where each line cuts the x-axis (put y = 0).
- प्रत्येक समीकरण के लिए कम से कम 2 (बेहतर 3) बिंदुओं की सारणी बनाइए। आसान बिंदु: x = 0 रखिए, फिर y = 0।
- दोनों रेखाएँ एक ही ग्राफ पेपर पर एक ही पैमाने से खींचिए।
- जहाँ रेखाएँ मिलती हैं वही बिंदु हल है। उसे (x, y) के रूप में लिखिए।
- समांतर रेखाएँ ⇒ कोई हल नहीं; एक ही रेखा ⇒ अनंत हल।
- यदि x-अक्ष के साथ बना त्रिभुज पूछा हो, तो प्रत्येक रेखा का x-अक्ष पर कटान बिंदु (y = 0 रखकर) भी अंकित कीजिए।
- Har equation ke liye kam se kam 2 (behtar 3) points ki table banaiye. Aasaan points: x = 0 rakhiye, phir y = 0.
- Dono lines ek hi graph paper par ek hi scale se kheenchiye.
- Jahan lines milti hain wahi point solution hai. Use (x, y) ki tarah likhiye.
- Parallel lines ⇒ koi solution nahi; ek hi line ⇒ infinite solutions.
- Agar x-axis ke saath bana triangle poochha ho, to har line ka x-axis par cutting point (y = 0 rakhkar) bhi mark kijiye.
Solve graphically: x + y = 5 and x − y = 1.ग्राफ द्वारा हल कीजिए: x + y = 5 तथा x − y = 1।Graph se solve kijiye: x + y = 5 aur x − y = 1.
- For x + y = 5: (0, 5), (5, 0), (2, 3).
- For x − y = 1: (1, 0), (5, 4), (3, 2).
- Plot both lines on the same axes.
- They meet at (3, 2).
- Solution: x = 3, y = 2. Check: 3 + 2 = 5 ✓, 3 − 2 = 1 ✓.
- x + y = 5 के लिए: (0, 5), (5, 0), (2, 3)।
- x − y = 1 के लिए: (1, 0), (5, 4), (3, 2)।
- दोनों रेखाएँ एक ही अक्षों पर खींचिए।
- वे (3, 2) पर मिलती हैं।
- हल: x = 3, y = 2। जाँच: 3 + 2 = 5 ✓, 3 − 2 = 1 ✓।
- x + y = 5 ke liye: (0, 5), (5, 0), (2, 3).
- x − y = 1 ke liye: (1, 0), (5, 4), (3, 2).
- Dono lines ek hi axes par kheenchiye.
- Woh (3, 2) par milti hain.
- Solution: x = 3, y = 2. Check: 3 + 2 = 5 ✓, 3 − 2 = 1 ✓.
Word problems: money, cost, speedशाब्दिक प्रश्न: रुपये, मूल्य, चालWord problems: paise, cost, speed
Asked in 3 of 7 years7 में से 3 वर्ष पूछा गयाAaya hai 3/7 saal- Cost questions: let the price of one item be ₹x and the other ₹y; write the two bills as equations.
- Speed: distance = speed × time. Boat: downstream speed = u + v, upstream speed = u − v (u = boat in still water, v = stream).
- Rectangle questions: area = length × breadth; perimeter = 2(l + b).
- Always write the unit (₹, km/h) in the final answer.
- मूल्य वाले प्रश्न: माना एक वस्तु का मूल्य ₹x और दूसरी का ₹y; दोनों बिलों को समीकरण के रूप में लिखिए।
- चाल: दूरी = चाल × समय। नाव: धारा के अनुकूल चाल = u + v, प्रतिकूल चाल = u − v (u = शांत जल में नाव की चाल, v = धारा की चाल)।
- आयत वाले प्रश्न: क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई; परिमाप = 2(l + b)।
- अंतिम उत्तर में मात्रक (₹, km/h) अवश्य लिखिए।
- Cost wale sawaal: maan lijiye ek cheez ka price ₹x aur doosri ka ₹y; dono bills ko equations ki tarah likhiye.
- Speed: distance = speed × time. Naav: downstream speed = u + v, upstream speed = u − v (u = shant paani mein naav, v = dhaara).
- Rectangle wale sawaal: area = length × breadth; perimeter = 2(l + b).
- Final answer mein unit (₹, km/h) zaroor likhiye.
2 pencils and 3 erasers cost ₹19, and 3 pencils and 2 erasers cost ₹21. Find the cost of one pencil and one eraser.2 पेंसिल और 3 रबड़ का मूल्य ₹19 है तथा 3 पेंसिल और 2 रबड़ का मूल्य ₹21 है। एक पेंसिल और एक रबड़ का मूल्य ज्ञात कीजिए।2 pencil aur 3 rubber ka price ₹19 hai aur 3 pencil aur 2 rubber ka price ₹21 hai. Ek pencil aur ek rubber ka price nikaliye.
- Let one pencil = ₹x, one eraser = ₹y.
- 2x + 3y = 19 …(1); 3x + 2y = 21 …(2)
- (1) × 3: 6x + 9y = 57; (2) × 2: 6x + 4y = 42. Subtract: 5y = 15 ⇒ y = 3.
- From (1): 2x + 9 = 19 ⇒ x = 5.
- Pencil ₹5, eraser ₹3. Check (2): 15 + 6 = 21 ✓
- माना एक पेंसिल = ₹x, एक रबड़ = ₹y।
- 2x + 3y = 19 …(1); 3x + 2y = 21 …(2)
- (1) × 3: 6x + 9y = 57; (2) × 2: 6x + 4y = 42। घटाने पर: 5y = 15 ⇒ y = 3।
- (1) से: 2x + 9 = 19 ⇒ x = 5।
- पेंसिल ₹5, रबड़ ₹3। (2) में जाँच: 15 + 6 = 21 ✓
- Maan lijiye ek pencil = ₹x, ek rubber = ₹y.
- 2x + 3y = 19 …(1); 3x + 2y = 21 …(2)
- (1) × 3: 6x + 9y = 57; (2) × 2: 6x + 4y = 42. Ghatane par: 5y = 15 ⇒ y = 3.
- (1) se: 2x + 9 = 19 ⇒ x = 5.
- Pencil ₹5, rubber ₹3. (2) mein check: 15 + 6 = 21 ✓
Full derivations, tricky questions, common mistakes and quick revision.पूरी व्युत्पत्तियाँ, कठिन प्रश्न, आम गलतियाँ और त्वरित पुनरावृत्ति।Poori derivations, tricky sawaal, aam galtiyan aur quick revision.
A father is 3 times as old as his son. After 10 years he will be twice as old as his son. Find their present ages.पिता की आयु पुत्र की आयु की 3 गुनी है। 10 वर्ष बाद वह पुत्र की आयु का दोगुना होगा। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।Pita ki age bete ki age ki 3 guni hai. 10 saal baad woh bete ki age ka dugna hoga. Unki present age nikaliye.
- Let the father's age be x years and the son's y years.
- x = 3y …(1)
- After 10 years: x + 10 = 2(y + 10) ⇒ x − 2y = 10 …(2)
- Put (1) in (2): 3y − 2y = 10 ⇒ y = 10, x = 30.
- Father 30 years, son 10 years. Check: 40 = 2 × 20 ✓
- माना पिता की आयु x वर्ष और पुत्र की y वर्ष है।
- x = 3y …(1)
- 10 वर्ष बाद: x + 10 = 2(y + 10) ⇒ x − 2y = 10 …(2)
- (1) को (2) में रखने पर: 3y − 2y = 10 ⇒ y = 10, x = 30।
- पिता 30 वर्ष, पुत्र 10 वर्ष। जाँच: 40 = 2 × 20 ✓
- Maan lijiye pita ki age x saal aur bete ki y saal hai.
- x = 3y …(1)
- 10 saal baad: x + 10 = 2(y + 10) ⇒ x − 2y = 10 …(2)
- (1) ko (2) mein rakhne par: 3y − 2y = 10 ⇒ y = 10, x = 30.
- Pita 30 saal, beta 10 saal. Check: 40 = 2 × 20 ✓
Solve: 1/x + 1/y = 5 and 1/x − 1/y = 1.हल कीजिए: 1/x + 1/y = 5 तथा 1/x − 1/y = 1।Solve kijiye: 1/x + 1/y = 5 aur 1/x − 1/y = 1.
- Put 1/x = u and 1/y = v: u + v = 5, u − v = 1.
- Add: 2u = 6 ⇒ u = 3; then v = 2.
- 1/x = 3 ⇒ x = 1/3; 1/y = 2 ⇒ y = 1/2.
- Check: 3 + 2 = 5 ✓, 3 − 2 = 1 ✓
- 1/x = u और 1/y = v रखिए: u + v = 5, u − v = 1।
- जोड़ने पर: 2u = 6 ⇒ u = 3; फिर v = 2।
- 1/x = 3 ⇒ x = 1/3; 1/y = 2 ⇒ y = 1/2।
- जाँच: 3 + 2 = 5 ✓, 3 − 2 = 1 ✓
- 1/x = u aur 1/y = v rakhiye: u + v = 5, u − v = 1.
- Jodne par: 2u = 6 ⇒ u = 3; phir v = 2.
- 1/x = 3 ⇒ x = 1/3; 1/y = 2 ⇒ y = 1/2.
- Check: 3 + 2 = 5 ✓, 3 − 2 = 1 ✓
For which values of k does 2x + ky = 5, 6x + 12y = 15 have (i) infinitely many solutions (ii) a unique solution?k के किन मानों के लिए 2x + ky = 5, 6x + 12y = 15 के (i) अनंत हल (ii) अद्वितीय हल होंगे?k ki kin values ke liye 2x + ky = 5, 6x + 12y = 15 ke (i) infinite solutions (ii) unique solution honge?
- a₁/a₂ = 2/6 = 1/3, b₁/b₂ = k/12, c₁/c₂ = 5/15 = 1/3.
- (i) Infinite: k/12 = 1/3 ⇒ k = 4.
- (ii) Unique: k/12 ≠ 1/3 ⇒ k ≠ 4.
- a₁/a₂ = 2/6 = 1/3, b₁/b₂ = k/12, c₁/c₂ = 5/15 = 1/3।
- (i) अनंत: k/12 = 1/3 ⇒ k = 4।
- (ii) अद्वितीय: k/12 ≠ 1/3 ⇒ k ≠ 4।
- a₁/a₂ = 2/6 = 1/3, b₁/b₂ = k/12, c₁/c₂ = 5/15 = 1/3.
- (i) Infinite: k/12 = 1/3 ⇒ k = 4.
- (ii) Unique: k/12 ≠ 1/3 ⇒ k ≠ 4.
⚠️ Common mistakesआम गलतियाँAam galtiyan
- Mixing forms: one equation as ax + by = c and the other as ax + by + c = 0 before taking c₁/c₂ → write both in the same form.
- Giving only one number in 'digits differ by' → give both.
- Writing the reversed number as yx (a product) → write 10y + x.
- Forgetting to check 'c₁/c₂ is different' for no solution → write that line.
- Subtracting when the signs are opposite → opposite signs: add.
- रूप मिलाना: एक समीकरण ax + by = c और दूसरा ax + by + c = 0 रूप में रखकर c₁/c₂ लेना → दोनों को एक ही रूप में लिखिए।
- 'अंकों का अंतर' में केवल एक संख्या देना → दोनों दीजिए।
- पलटी संख्या को yx (गुणनफल) लिखना → 10y + x लिखिए।
- कोई हल नहीं में 'c₁/c₂ अलग है' जाँचना भूलना → वह पंक्ति लिखिए।
- चिह्न विपरीत होने पर घटाना → विपरीत चिह्न: जोड़िए।
- Form mix karna: ek equation ax + by = c aur doosra ax + by + c = 0 form mein rakhkar c₁/c₂ lena → dono ko ek hi form mein likhiye.
- 'Digits ka difference' mein sirf ek number dena → dono dijiye.
- Ulte number ko yx (product) likhna → 10y + x likhiye.
- No solution mein 'c₁/c₂ alag hai' check karna bhoolna → woh line likhiye.
- Signs ulte hone par ghatana → ulte signs: jodiye.
💎 Rarely asked but importantकम पूछा गया पर ज़रूरीKam aaya par zaroori
- Reducible form (old topic, still seen sometimes): replace 1/x by u and 1/y by v, solve the linear pair, then take x = 1/u, y = 1/v.
- Decimal coefficients (0.2x + 0.3y = 1.3): multiply by 10 first to remove decimals.
- Graph questions may ask the area of the triangle formed by the two lines and the x-axis: base = distance between the two x-axis points, height = y of the meeting point.
- रैखिक में बदलने योग्य रूप (पुराना विषय, कभी-कभी अब भी): 1/x की जगह u और 1/y की जगह v रखिए, रैखिक युग्म हल कीजिए, फिर x = 1/u, y = 1/v।
- दशमलव गुणांक (0.2x + 0.3y = 1.3): पहले 10 से गुणा करके दशमलव हटाइए।
- ग्राफ वाले प्रश्न में दोनों रेखाओं और x-अक्ष से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल पूछा जा सकता है: आधार = x-अक्ष के दोनों बिंदुओं की दूरी, ऊँचाई = मिलन बिंदु का y।
- Reducible form (purana topic, kabhi-kabhi ab bhi): 1/x ki jagah u aur 1/y ki jagah v rakhiye, linear pair solve kijiye, phir x = 1/u, y = 1/v.
- Decimal coefficients (0.2x + 0.3y = 1.3): pehle 10 se multiply karke decimal hataiye.
- Graph wale sawaal mein dono lines aur x-axis se bane triangle ka area poochh sakte hain: base = x-axis ke dono points ki doori, height = milne wale point ka y.
⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision
- Unique: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂.
- None: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂.
- Infinite: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂.
- Consistent = at least one solution.
- Elimination: make coefficients equal, then add/subtract.
- Substitution: y from one equation into the other.
- Number 10x + y; reversed 10y + x.
- Fraction x/y.
- Ages: add n for 'after n years'.
- Downstream u + v, upstream u − v.
- Graph of each equation is a straight line; meeting point = solution.
- अद्वितीय: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂।
- कोई नहीं: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂।
- अनंत: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂।
- संगत = कम से कम एक हल।
- विलोपन: गुणांक बराबर करो, फिर जोड़ो/घटाओ।
- प्रतिस्थापन: एक समीकरण से y दूसरे में।
- संख्या 10x + y; पलटी 10y + x।
- भिन्न x/y।
- आयु: 'n वर्ष बाद' में n जोड़ो।
- धारा के अनुकूल u + v, प्रतिकूल u − v।
- प्रत्येक समीकरण का आलेख सरल रेखा; मिलन बिंदु = हल।
- Unique: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂.
- None: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂.
- Infinite: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂.
- Consistent = kam se kam ek solution.
- Elimination: coefficients barabar karo, phir jodo/ghatao.
- Substitution: ek equation se y doosre mein.
- Number 10x + y; ulta 10y + x.
- Fraction x/y.
- Age: 'n saal baad' mein n jodo.
- Downstream u + v, upstream u − v.
- Har equation ka graph seedhi line; milne ka point = solution.
🚫 Removed, skip itहटाया गया, इसे छोड़ देंHata diya gaya, ise chhod dijiye
- Cross-multiplication method — older papers asked it, but it is not in the current NCERT book. Skip it; elimination or substitution gets full marks.वज्र-गुणन विधि — पुराने प्रश्नपत्रों में पूछी गई, परन्तु वर्तमान NCERT पुस्तक में नहीं है। छोड़ दीजिए; विलोपन या प्रतिस्थापन से पूरे अंक मिलते हैं।Cross-multiplication method — purane papers mein aaya, lekin current NCERT book mein nahi hai. Skip kijiye; elimination ya substitution se poore marks milte hain.
- Equations reducible to linear form (like 2/x + 3/y = 13, put u = 1/x, v = 1/y) — not in the current NCERT book, but UP papers have still asked it now and then. Low priority: learn the one substitution idea in the Topper section if you have time.रैखिक रूप में बदले जा सकने वाले समीकरण (जैसे 2/x + 3/y = 13, u = 1/x, v = 1/y रखकर) — वर्तमान NCERT पुस्तक में नहीं, परन्तु UP प्रश्नपत्रों में अब भी कभी-कभी पूछे गए हैं। कम प्राथमिकता: समय हो तो टॉपर भाग में दिया गया प्रतिस्थापन वाला विचार सीख लीजिए।Linear form mein badalne wale equations (jaise 2/x + 3/y = 13, u = 1/x, v = 1/y rakhkar) — current NCERT book mein nahi, lekin UP papers mein ab bhi kabhi-kabhi aaye hain. Kam priority: time ho to Topper section ka substitution wala idea seekh lijiye.
Notes written by Simple Learning Hub from the current NCERT syllabus. Year counts come only from UP Board papers we actually read.नोट्स Simple Learning Hub ने वर्तमान NCERT पाठ्यक्रम से लिखे हैं। वर्षों की गिनती केवल उन यूपी बोर्ड पेपरों से है जो हमने सच में पढ़े।Notes Simple Learning Hub ne current NCERT syllabus se likhe hain. Saalon ki ginti sirf un UP Board papers se hai jo humne sach mein padhe.