Surface Areas and Volumesपृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतनSurface Areas and Volumes
Class 10 Maths · Chapter 12 · UP Boardकक्षा 10 गणित · अध्याय 12 · यूपी बोर्डClass 10 Maths · Chapter 12 · UP Board
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📊 Based on 7 years (2019–2026) of UP Board papers, current syllabus: 43 sets readवर्तमान सिलेबस के 7 वर्षों (2019–2026) के यूपी बोर्ड पेपरों पर आधारित: 43 सेट पढ़े गएCurrent syllabus ke 7 saal (2019–2026) ke UP Board papers par based: 43 sets padhe (2019, 2020, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026) · plus 10 old-syllabus papers (2012–2018), counted separatelyसाथ में पुराने सिलेबस के 10 पेपर (2012–2018) अलग से गिने गएpurane syllabus ke 10 papers (2012–2018) alag se gine
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🔥 Most asked in this chapterइस अध्याय में सबसे ज़्यादा पूछे गएIs chapter mein sabse zyada aaye
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First learn the formula table of cube, cuboid, cylinder, cone, sphere and hemisphere. Then learn one rule for joined solids: for surface area, add only the outer surfaces you can see; for volume, simply add the volumes. The big 6-mark question is almost always a toy, a tent, a capsule or a block with a hemisphere.सबसे पहले घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला और अर्धगोला के सूत्रों की तालिका याद कीजिए। फिर जुड़े ठोसों का एक नियम याद कीजिए: पृष्ठीय क्षेत्रफल में केवल बाहर दिखने वाली सतहें जोड़िए; आयतन में सीधे आयतन जोड़िए। 6 अंक का बड़ा प्रश्न लगभग हमेशा खिलौना, तम्बू, कैप्सूल या अर्धगोले वाला ब्लॉक होता है।Sabse pehle cube, cuboid, cylinder, cone, sphere aur hemisphere ke formulas ki table yaad kijiye. Phir jude solids ka ek rule yaad kijiye: surface area mein sirf bahar dikhne wali surfaces jodiye; volume mein seedhe volumes jodiye. 6 marks ka bada sawaal lagbhag hamesha toy, tent, capsule ya hemisphere wala block hota hai.
🏅 Pass-guarantee minimumपास होने के लिए न्यूनतमPass hone ke liye minimum
- Learn the formula table of cube, cylinder, cone, sphere and hemisphere (surface areas and volumes).
- Practise the toy question (cone on a hemisphere): TSA = πrl + 2πr² and V = (1/3)πr²(h + 2r).
- Practise 'cube with a hemisphere on top': TSA = 6a² + πr².
- Remember: for surface area add only visible surfaces; for volume just add.
- घन, बेलन, शंकु, गोला और अर्धगोले के सूत्रों की तालिका (पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन) याद कीजिए।
- खिलौने का प्रश्न (अर्धगोले पर शंकु) अभ्यास कीजिए: सम्पूर्ण पृष्ठ = πrl + 2πr² और V = (1/3)πr²(h + 2r)।
- 'घन पर अर्धगोला' अभ्यास कीजिए: सम्पूर्ण पृष्ठ = 6a² + πr²।
- याद रखिए: पृष्ठीय क्षेत्रफल में केवल दिखने वाली सतहें जोड़िए; आयतन में सीधे जोड़िए।
- Cube, cylinder, cone, sphere aur hemisphere ke formulas ki table (surface areas aur volumes) yaad kijiye.
- Toy wala sawaal (hemisphere par cone) practice kijiye: TSA = πrl + 2πr² aur V = (1/3)πr²(h + 2r).
- 'Cube par hemisphere' practice kijiye: TSA = 6a² + πr².
- Yaad rakhiye: surface area mein sirf dikhne wali surfaces jodiye; volume mein seedhe jodiye.
🎯 1-mark facts that keep comingबार-बार आने वाले 1 अंक के तथ्यBaar baar aane wale 1 mark facts
- TSA of a solid hemisphere = 3πr².
- Volume of a sphere of diameter d = πd³/6.
- Two cubes of side 7 cm joined end to end: TSA = 490 cm².
- Joker's cap is a cone; a capsule is a cylinder with two hemispheres.
- Cylinder of diameter 4 cm, length 20 cm: volume = 80π cm³.
- Sphere with surface area 452.16 cm² (π = 3.14) has radius 6 cm.
- Cone on hemisphere with equal curved surfaces: r : h = 1 : √3.
- ठोस अर्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठ = 3πr²।
- d व्यास वाले गोले का आयतन = πd³/6।
- 7 सेमी भुजा के दो घन सिरे से सिरा जोड़ने पर सम्पूर्ण पृष्ठ = 490 सेमी²।
- जोकर की टोपी शंकु है; कैप्सूल बेलन और दो अर्धगोले है।
- 4 सेमी व्यास, 20 सेमी लम्बा बेलन: आयतन = 80π सेमी³।
- 452.16 सेमी² पृष्ठ (π = 3.14) वाले गोले की त्रिज्या 6 सेमी।
- बराबर वक्र पृष्ठ वाले अर्धगोले पर शंकु: r : h = 1 : √3।
- Solid hemisphere ka TSA = 3πr².
- d diameter wale sphere ka volume = πd³/6.
- 7 cm side ke do cubes end-to-end jodne par TSA = 490 cm².
- Joker ki topi cone hai; capsule cylinder aur do hemispheres hai.
- 4 cm diameter, 20 cm lamba cylinder: volume = 80π cm³.
- 452.16 cm² SA (π = 3.14) wale sphere ki radius 6 cm.
- Barabar curved surface wale hemisphere par cone: r : h = 1 : √3.
The questions that come every year, with model answers. Most asked first.हर साल आने वाले प्रश्न, आदर्श उत्तरों के साथ। सबसे ज़्यादा पूछे गए पहले।Har saal aane wale sawaal, model answers ke saath. Sabse zyada aaye pehle.
Surface area of combined solidsठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफलJude solids ka surface area
🔥 Asked in 7 of 7 years🔥 7 में से 7 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 7/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- Rule: total surface area of the new solid = sum of the curved/outer surfaces that are still visible. Faces that are joined or hidden are NOT added.
- Cone on a hemisphere (toy): TSA = CSA of cone + CSA of hemisphere = πrl + 2πr².
- Cylinder with a hemisphere at each end (capsule): TSA = 2πrh + 2 × 2πr² = 2πr(h + 2r), where h is the cylinder's height.
- Cube of side a with a hemisphere on top: greatest diameter of the hemisphere = a. TSA = 6a² − πr² + 2πr² = 6a² + πr².
- Cylinder with a cone on top (tent): TSA (canvas) = 2πrh + πrl (no base).
- Hemispheres scooped out of both ends of a cylinder: TSA = 2πrh + 2 × 2πr² (the hollows are curved surfaces too).
- Conical cavity hollowed out of a cylinder: TSA = 2πrh + πr² (bottom) + πrl (inside of the cone).
- Two cubes of side a joined end to end make a cuboid 2a × a × a: TSA = 10a². (a = 7 cm ⇒ 490 cm².)
- नियम: नए ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = जो वक्र/बाहरी सतहें अब भी दिखती हैं उनका योग। जुड़ी हुई या छिपी सतहें नहीं जोड़ी जातीं।
- अर्धगोले पर शंकु (खिलौना): सम्पूर्ण पृष्ठ = शंकु का वक्र पृष्ठ + अर्धगोले का वक्र पृष्ठ = πrl + 2πr²।
- बेलन के दोनों सिरों पर अर्धगोले (कैप्सूल): सम्पूर्ण पृष्ठ = 2πrh + 2 × 2πr² = 2πr(h + 2r), जहाँ h बेलन की ऊँचाई है।
- a भुजा वाले घन पर अर्धगोला: अर्धगोले का अधिकतम व्यास = a। सम्पूर्ण पृष्ठ = 6a² − πr² + 2πr² = 6a² + πr²।
- बेलन पर शंकु (तम्बू): कैनवास = 2πrh + πrl (आधार नहीं)।
- बेलन के दोनों सिरों से अर्धगोले खोदे गए: सम्पूर्ण पृष्ठ = 2πrh + 2 × 2πr² (गड्ढे भी वक्र सतहें हैं)।
- बेलन से शंक्वाकार गड्ढा निकाला गया: सम्पूर्ण पृष्ठ = 2πrh + πr² (तली) + πrl (शंकु का भीतरी भाग)।
- a भुजा के दो घन सिरे से सिरा जोड़ने पर 2a × a × a का घनाभ: सम्पूर्ण पृष्ठ = 10a²। (a = 7 सेमी ⇒ 490 सेमी²।)
- Rule: naye solid ka total surface area = jo curved/bahari surfaces abhi bhi dikhti hain unka jod. Judi hui ya chhupi surfaces NAHI jodi jaatin.
- Hemisphere par cone (toy): TSA = cone ka CSA + hemisphere ka CSA = πrl + 2πr².
- Cylinder ke dono ends par hemispheres (capsule): TSA = 2πrh + 2 × 2πr² = 2πr(h + 2r), jahan h cylinder ki height hai.
- a side wale cube par hemisphere: hemisphere ka sabse bada diameter = a. TSA = 6a² − πr² + 2πr² = 6a² + πr².
- Cylinder par cone (tent): canvas = 2πrh + πrl (base nahi).
- Cylinder ke dono ends se hemispheres khode gaye: TSA = 2πrh + 2 × 2πr² (gaddhe bhi curved surfaces hain).
- Cylinder se conical cavity nikali gayi: TSA = 2πrh + πr² (neeche) + πrl (cone ka andar ka hissa).
- a side ke do cubes end-to-end jodne par 2a × a × a ka cuboid: TSA = 10a². (a = 7 cm ⇒ 490 cm².)
A toy is a cone of radius 7 cm mounted on a hemisphere of the same radius. The total height of the toy is 31 cm. Find the total surface area and the volume of the toy. (π = 22/7)एक खिलौना 7 सेमी त्रिज्या के अर्धगोले पर उसी त्रिज्या का शंकु रखकर बना है। खिलौने की कुल ऊँचाई 31 सेमी है। खिलौने का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)Ek toy 7 cm radius ke hemisphere par usi radius ka cone rakh kar bana hai. Toy ki total height 31 cm hai. Toy ka total surface area aur volume nikaliye. (π = 22/7)
- r = 7 cm. Height of hemisphere = r = 7 cm, so height of cone h = 31 − 7 = 24 cm.
- Slant height l = √(r² + h²) = √(49 + 576) = √625 = 25 cm.
- TSA = CSA of cone + CSA of hemisphere = πrl + 2πr².
- = (22/7)(7)(25) + 2(22/7)(49) = 550 + 308 = 858 cm².
- Volume = volume of cone + volume of hemisphere = (1/3)πr²h + (2/3)πr³ = (1/3)πr²(h + 2r).
- = (1/3)(22/7)(49)(24 + 14) = (1/3)(154)(38) = 5852/3 ≈ 1950.67 cm³.
- Answer: TSA = 858 cm², volume ≈ 1950.67 cm³.
- r = 7 सेमी। अर्धगोले की ऊँचाई = r = 7 सेमी, अतः शंकु की ऊँचाई h = 31 − 7 = 24 सेमी।
- तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²) = √(49 + 576) = √625 = 25 सेमी।
- सम्पूर्ण पृष्ठ = शंकु का वक्र पृष्ठ + अर्धगोले का वक्र पृष्ठ = πrl + 2πr²।
- = (22/7)(7)(25) + 2(22/7)(49) = 550 + 308 = 858 सेमी²।
- आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन = (1/3)πr²h + (2/3)πr³ = (1/3)πr²(h + 2r)।
- = (1/3)(22/7)(49)(24 + 14) = (1/3)(154)(38) = 5852/3 ≈ 1950.67 सेमी³।
- उत्तर: सम्पूर्ण पृष्ठ = 858 सेमी², आयतन ≈ 1950.67 सेमी³।
- r = 7 cm. Hemisphere ki height = r = 7 cm, isliye cone ki height h = 31 − 7 = 24 cm.
- Slant height l = √(r² + h²) = √(49 + 576) = √625 = 25 cm.
- TSA = cone ka CSA + hemisphere ka CSA = πrl + 2πr².
- = (22/7)(7)(25) + 2(22/7)(49) = 550 + 308 = 858 cm².
- Volume = cone ka volume + hemisphere ka volume = (1/3)πr²h + (2/3)πr³ = (1/3)πr²(h + 2r).
- = (1/3)(22/7)(49)(24 + 14) = (1/3)(154)(38) = 5852/3 ≈ 1950.67 cm³.
- Answer: TSA = 858 cm², volume ≈ 1950.67 cm³.
A cubical block of side 10 cm is surmounted by a hemisphere. What is the greatest diameter the hemisphere can have? Find the surface area of the solid. (π = 3.14)10 सेमी भुजा वाले घनाकार ब्लॉक पर एक अर्धगोला रखा है। अर्धगोले का अधिकतम व्यास कितना हो सकता है? ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)10 cm side wale cube block par ek hemisphere rakha hai. Hemisphere ka sabse bada diameter kitna ho sakta hai? Solid ka surface area nikaliye. (π = 3.14)
- The hemisphere sits on a face of side 10 cm, so its greatest diameter = 10 cm, r = 5 cm.
- Surface area = TSA of cube − area of the circular base covered + CSA of hemisphere.
- = 6a² − πr² + 2πr² = 6a² + πr².
- = 6 × 100 + 3.14 × 25 = 600 + 78.5 = 678.5 cm².
- Answer: greatest diameter 10 cm; surface area 678.5 cm².
- अर्धगोला 10 सेमी भुजा वाले फलक पर रखा है, अतः अधिकतम व्यास = 10 सेमी, r = 5 सेमी।
- पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का सम्पूर्ण पृष्ठ − ढका हुआ वृत्ताकार आधार + अर्धगोले का वक्र पृष्ठ।
- = 6a² − πr² + 2πr² = 6a² + πr²।
- = 6 × 100 + 3.14 × 25 = 600 + 78.5 = 678.5 सेमी²।
- उत्तर: अधिकतम व्यास 10 सेमी; पृष्ठीय क्षेत्रफल 678.5 सेमी²।
- Hemisphere 10 cm side wale face par rakha hai, isliye sabse bada diameter = 10 cm, r = 5 cm.
- Surface area = cube ka TSA − dhaka hua circular base + hemisphere ka CSA.
- = 6a² − πr² + 2πr² = 6a² + πr².
- = 6 × 100 + 3.14 × 25 = 600 + 78.5 = 678.5 cm².
- Answer: sabse bada diameter 10 cm; surface area 678.5 cm².
A wooden toy is made by scooping out a hemisphere from each end of a solid cylinder of height 12 cm and base radius 3.5 cm. Find the total surface area of the toy. (π = 22/7)12 सेमी ऊँचे और 3.5 सेमी आधार त्रिज्या वाले ठोस बेलन के दोनों सिरों से एक-एक अर्धगोला खोदकर लकड़ी का खिलौना बनाया गया है। खिलौने का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)12 cm oonche aur 3.5 cm base radius wale solid cylinder ke dono ends se ek-ek hemisphere khod kar lakdi ka toy banaya gaya hai. Toy ka total surface area nikaliye. (π = 22/7)
- TSA = CSA of cylinder + 2 × CSA of hemisphere = 2πrh + 4πr².
- 2πrh = 2 × (22/7) × 3.5 × 12 = 264 cm².
- 4πr² = 4 × (22/7) × 12.25 = 154 cm².
- TSA = 264 + 154 = 418 cm².
- सम्पूर्ण पृष्ठ = बेलन का वक्र पृष्ठ + 2 × अर्धगोले का वक्र पृष्ठ = 2πrh + 4πr²।
- 2πrh = 2 × (22/7) × 3.5 × 12 = 264 सेमी²।
- 4πr² = 4 × (22/7) × 12.25 = 154 सेमी²।
- सम्पूर्ण पृष्ठ = 264 + 154 = 418 सेमी²।
- TSA = cylinder ka CSA + 2 × hemisphere ka CSA = 2πrh + 4πr².
- 2πrh = 2 × (22/7) × 3.5 × 12 = 264 cm².
- 4πr² = 4 × (22/7) × 12.25 = 154 cm².
- TSA = 264 + 154 = 418 cm².
💡 Write in words which surfaces you are adding (e.g. 'CSA of cone + CSA of hemisphere'). This line gets a mark even if a calculation slips.शब्दों में लिखिए कि कौन-सी सतहें जोड़ रहे हैं (जैसे 'शंकु का वक्र पृष्ठ + अर्धगोले का वक्र पृष्ठ')। गणना में भूल हो जाए तब भी इस पंक्ति के अंक मिलते हैं।Shabdon mein likhiye ki kaunsi surfaces jod rahe hain (jaise 'cone ka CSA + hemisphere ka CSA'). Calculation mein galti ho jaaye tab bhi is line ke marks milte hain.
Volume of combined solidsठोसों के संयोजन का आयतनJude solids ka volume
🔥 Asked in 6 of 7 years🔥 7 में से 6 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 6/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- Volume of a combined solid = sum of the volumes of its parts (nothing is subtracted for joined faces).
- Cone on a hemisphere (same r): V = (1/3)πr²h + (2/3)πr³ = (1/3)πr²(h + 2r).
- Capsule: V = πr²h + (4/3)πr³ (two hemispheres make one sphere).
- If something is scooped out or carved, subtract its volume. Largest sphere from a cube of side a: diameter = a; wood removed = a³ − (4/3)π(a/2)³.
- Glass with a raised hemispherical bottom: apparent capacity = πr²h; actual capacity = πr²h − (2/3)πr³.
- Spherical vessel with a cylindrical neck: V = (4/3)πR³ + πr²h.
- Cone on hemisphere, r = 3 cm, total height 6 cm ⇒ cone height 3 cm ⇒ V = 18π + 9π = 27π cm³ (≈ 84.78 cm³ with π = 3.14).
- संयुक्त ठोस का आयतन = उसके भागों के आयतनों का योग (जुड़े फलकों के लिए कुछ नहीं घटता)।
- अर्धगोले पर शंकु (समान r): V = (1/3)πr²h + (2/3)πr³ = (1/3)πr²(h + 2r)।
- कैप्सूल: V = πr²h + (4/3)πr³ (दो अर्धगोले मिलकर एक गोला)।
- कुछ खोदा या काटा गया हो तो उसका आयतन घटाइए। a भुजा के घन से सबसे बड़ा गोला: व्यास = a; निकाली गई लकड़ी = a³ − (4/3)π(a/2)³।
- उभरी अर्धगोलाकार तली वाला गिलास: दिखने वाली धारिता = πr²h; वास्तविक धारिता = πr²h − (2/3)πr³।
- बेलनाकार गर्दन वाला गोलाकार बर्तन: V = (4/3)πR³ + πr²h।
- अर्धगोले पर शंकु, r = 3 सेमी, कुल ऊँचाई 6 सेमी ⇒ शंकु की ऊँचाई 3 सेमी ⇒ V = 18π + 9π = 27π सेमी³ (π = 3.14 से ≈ 84.78 सेमी³)।
- Jude solid ka volume = uske hisson ke volumes ka jod (jude faces ke liye kuch nahi ghatta).
- Hemisphere par cone (same r): V = (1/3)πr²h + (2/3)πr³ = (1/3)πr²(h + 2r).
- Capsule: V = πr²h + (4/3)πr³ (do hemispheres milkar ek sphere).
- Kuch khoda ya kaata gaya ho to uska volume ghataiye. a side ke cube se sabse bada sphere: diameter = a; nikali gayi lakdi = a³ − (4/3)π(a/2)³.
- Ubhri hemispherical tali wala glass: dikhne wali capacity = πr²h; asli capacity = πr²h − (2/3)πr³.
- Cylindrical gardan wala spherical bartan: V = (4/3)πR³ + πr²h.
- Hemisphere par cone, r = 3 cm, total height 6 cm ⇒ cone ki height 3 cm ⇒ V = 18π + 9π = 27π cm³ (π = 3.14 se ≈ 84.78 cm³).
The largest sphere is carved out of a wooden cube of side 7 cm. Find the volume of the wood removed. (π = 22/7)7 सेमी भुजा वाले लकड़ी के घन से सबसे बड़ा गोला काटा गया है। निकाली गई लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)7 cm side wale lakdi ke cube se sabse bada sphere kaata gaya hai. Nikali gayi lakdi ka volume nikaliye. (π = 22/7)
- The largest sphere has diameter = side = 7 cm, so r = 3.5 cm.
- Volume of cube = 7³ = 343 cm³.
- Volume of sphere = (4/3) × (22/7) × 3.5³ = (4/3) × (22/7) × 42.875 = 539/3 ≈ 179.67 cm³.
- Wood removed = 343 − 539/3 = 490/3 ≈ 163.33 cm³.
- सबसे बड़े गोले का व्यास = भुजा = 7 सेमी, अतः r = 3.5 सेमी।
- घन का आयतन = 7³ = 343 सेमी³।
- गोले का आयतन = (4/3) × (22/7) × 3.5³ = (4/3) × (22/7) × 42.875 = 539/3 ≈ 179.67 सेमी³।
- निकाली गई लकड़ी = 343 − 539/3 = 490/3 ≈ 163.33 सेमी³।
- Sabse bade sphere ka diameter = side = 7 cm, isliye r = 3.5 cm.
- Cube ka volume = 7³ = 343 cm³.
- Sphere ka volume = (4/3) × (22/7) × 3.5³ = (4/3) × (22/7) × 42.875 = 539/3 ≈ 179.67 cm³.
- Nikali gayi lakdi = 343 − 539/3 = 490/3 ≈ 163.33 cm³.
💡 Find the missing height or radius first (e.g. cone height = total height − r). Most mistakes happen there.पहले छूटी हुई ऊँचाई या त्रिज्या निकालिए (जैसे शंकु की ऊँचाई = कुल ऊँचाई − r)। अधिकतर गलतियाँ वहीं होती हैं।Pehle chhooti hui height ya radius nikaliye (jaise cone ki height = total height − r). Zyadatar galtiyan wahin hoti hain.
Basic solid formulas (1–2 mark questions)मूल ठोसों के सूत्र (1–2 अंक के प्रश्न)Basic solids ke formulas (1–2 mark ke sawaal)
🔥 Asked in 5 of 7 years🔥 7 में से 5 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 5/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- Cube (side a): TSA = 6a², V = a³. Cuboid: TSA = 2(lb + bh + hl), V = lbh.
- Cylinder: CSA = 2πrh, TSA = 2πr(h + r), V = πr²h.
- Cone: l = √(r² + h²), CSA = πrl, TSA = πr(l + r), V = (1/3)πr²h.
- Sphere: SA = 4πr², V = (4/3)πr³. With diameter d: V = πd³/6.
- Hemisphere: CSA = 2πr², TSA = 3πr², V = (2/3)πr³.
- Shapes in daily life: joker's cap = cone; capsule = a cylinder with two hemispheres; ice-cream cone = cone + hemisphere.
- Ready answers: cone h = 48 cm, d = 28 cm ⇒ V = 9856 cm³; sphere SA 452.16 cm² (π = 3.14) ⇒ r = 6 cm; rod d = 4 cm, length 20 cm ⇒ V = 80π cm³.
- घन (भुजा a): सम्पूर्ण पृष्ठ = 6a², V = a³। घनाभ: सम्पूर्ण पृष्ठ = 2(lb + bh + hl), V = lbh।
- बेलन: वक्र पृष्ठ = 2πrh, सम्पूर्ण पृष्ठ = 2πr(h + r), V = πr²h।
- शंकु: l = √(r² + h²), वक्र पृष्ठ = πrl, सम्पूर्ण पृष्ठ = πr(l + r), V = (1/3)πr²h।
- गोला: पृष्ठ = 4πr², V = (4/3)πr³। व्यास d हो तो V = πd³/6।
- अर्धगोला: वक्र पृष्ठ = 2πr², सम्पूर्ण पृष्ठ = 3πr², V = (2/3)πr³।
- दैनिक जीवन की आकृतियाँ: जोकर की टोपी = शंकु; कैप्सूल = बेलन और दो अर्धगोले; आइसक्रीम कोन = शंकु + अर्धगोला।
- तैयार उत्तर: शंकु h = 48 सेमी, d = 28 सेमी ⇒ V = 9856 सेमी³; गोले का पृष्ठ 452.16 सेमी² (π = 3.14) ⇒ r = 6 सेमी; छड़ d = 4 सेमी, लम्बाई 20 सेमी ⇒ V = 80π सेमी³।
- Cube (side a): TSA = 6a², V = a³. Cuboid: TSA = 2(lb + bh + hl), V = lbh.
- Cylinder: CSA = 2πrh, TSA = 2πr(h + r), V = πr²h.
- Cone: l = √(r² + h²), CSA = πrl, TSA = πr(l + r), V = (1/3)πr²h.
- Sphere: SA = 4πr², V = (4/3)πr³. Diameter d ho to V = πd³/6.
- Hemisphere: CSA = 2πr², TSA = 3πr², V = (2/3)πr³.
- Rozana ki shapes: joker ki topi = cone; capsule = cylinder aur do hemispheres; ice-cream cone = cone + hemisphere.
- Ready answers: cone h = 48 cm, d = 28 cm ⇒ V = 9856 cm³; sphere SA 452.16 cm² (π = 3.14) ⇒ r = 6 cm; rod d = 4 cm, length 20 cm ⇒ V = 80π cm³.
The height and the base diameter of a right circular cone are 48 cm and 28 cm. Find its volume. (π = 22/7)एक लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई और आधार का व्यास 48 सेमी और 28 सेमी हैं। उसका आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)Ek right circular cone ki height aur base ka diameter 48 cm aur 28 cm hain. Uska volume nikaliye. (π = 22/7)
- r = 28/2 = 14 cm, h = 48 cm.
- V = (1/3)πr²h = (1/3) × (22/7) × 14 × 14 × 48.
- = (1/3) × 616 × 48 = 9856 cm³.
- r = 28/2 = 14 सेमी, h = 48 सेमी।
- V = (1/3)πr²h = (1/3) × (22/7) × 14 × 14 × 48।
- = (1/3) × 616 × 48 = 9856 सेमी³।
- r = 28/2 = 14 cm, h = 48 cm.
- V = (1/3)πr²h = (1/3) × (22/7) × 14 × 14 × 48.
- = (1/3) × 616 × 48 = 9856 cm³.
Conversion of solids (melting and recasting) — older papersठोसों का रूपान्तरण (पिघलाकर नया ठोस) — पुराने प्रश्नपत्रSolids ka conversion (pighla kar naya solid) — purane papers
Asked in 4 of 7 years7 में से 4 वर्ष पूछा गयाAaya hai 4/7 saal⚠️ Removed from the new NCERT book (UP papers still asked it): skip if short of timeनई NCERT पुस्तक से हटाया गया (यूपी पेपरों में फिर भी आया): समय कम हो तो छोड़ देंNayi NCERT book se hataya gaya (UP papers mein phir bhi aaya): time kam ho to chhod dijiye- Note: removed from the rationalised NCERT book. Older UP papers asked it often, recent papers have not. Read only if you have time.
- Rule: when a solid is melted and recast, the volume stays the same. Number of new solids = volume of old solid ÷ volume of one new solid.
- Cylinder (h = 45 cm, d = 4 cm) into spheres of d = 6 cm: 180π ÷ 36π = 5 spheres.
- Cuboid 9 m × 8 m × 2 m into cubes of side 2 m: 144 ÷ 8 = 18 cubes.
- Sphere of radius 10.5 cm into cones (r = 3.5 cm, h = 3 cm): 126 cones.
- Earth dug from a well spread as an embankment: volume of well = volume of embankment (a ring-shaped cylinder: π(R² − r²)H).
- ध्यान दें: युक्तिसंगत NCERT पुस्तक से हटा दिया गया। पुराने UP प्रश्नपत्रों में अक्सर आया, हाल के प्रश्नपत्रों में नहीं। समय हो तभी पढ़िए।
- नियम: ठोस को पिघलाकर नया ठोस बनाने पर आयतन वही रहता है। नए ठोसों की संख्या = पुराने ठोस का आयतन ÷ एक नए ठोस का आयतन।
- बेलन (h = 45 सेमी, d = 4 सेमी) से d = 6 सेमी के गोले: 180π ÷ 36π = 5 गोले।
- 9 मी × 8 मी × 2 मी का घनाभ, 2 मी भुजा के घनों में: 144 ÷ 8 = 18 घन।
- 10.5 सेमी त्रिज्या का गोला, शंकुओं में (r = 3.5 सेमी, h = 3 सेमी): 126 शंकु।
- कुएँ की खोदी मिट्टी से चबूतरा: कुएँ का आयतन = चबूतरे का आयतन (वलयाकार बेलन: π(R² − r²)H)।
- Dhyaan dein: rationalised NCERT book se hata diya gaya. Purane UP papers mein aksar aaya, haal ke papers mein nahi. Time ho tabhi padhiye.
- Rule: solid ko pighla kar naya solid banane par volume wahi rehta hai. Naye solids ki sankhya = purane solid ka volume ÷ ek naye solid ka volume.
- Cylinder (h = 45 cm, d = 4 cm) se d = 6 cm ke spheres: 180π ÷ 36π = 5 spheres.
- 9 m × 8 m × 2 m ka cuboid, 2 m side ke cubes mein: 144 ÷ 8 = 18 cubes.
- 10.5 cm radius ka sphere, cones mein (r = 3.5 cm, h = 3 cm): 126 cones.
- Kuein ki khodi mitti se embankment: kuein ka volume = embankment ka volume (ring jaisa cylinder: π(R² − r²)H).
Frustum of a cone — older papersशंकु का छिन्नक — पुराने प्रश्नपत्रCone ka frustum — purane papers
Asked in 3 of 7 years7 में से 3 वर्ष पूछा गयाAaya hai 3/7 saal⚠️ Removed from the new NCERT book (UP papers still asked it): skip if short of timeनई NCERT पुस्तक से हटाया गया (यूपी पेपरों में फिर भी आया): समय कम हो तो छोड़ देंNayi NCERT book se hataya gaya (UP papers mein phir bhi aaya): time kam ho to chhod dijiye- Note: removed from the rationalised NCERT book. Only a few older papers asked it. Skip if short of time.
- Frustum: the part of a cone left after cutting off the top by a plane parallel to the base (like a bucket). Radii r₁ (big) and r₂ (small), height h.
- Slant height l = √(h² + (r₁ − r₂)²).
- Volume = (1/3)πh(r₁² + r₂² + r₁r₂).
- CSA = π(r₁ + r₂)l; TSA = π(r₁ + r₂)l + πr₁² + πr₂².
- ध्यान दें: युक्तिसंगत NCERT पुस्तक से हटा दिया गया। केवल कुछ पुराने प्रश्नपत्रों में आया। समय कम हो तो छोड़िए।
- छिन्नक: आधार के समान्तर तल से शंकु का ऊपरी भाग काटने के बाद बचा भाग (बाल्टी जैसा)। त्रिज्याएँ r₁ (बड़ी) और r₂ (छोटी), ऊँचाई h।
- तिर्यक ऊँचाई l = √(h² + (r₁ − r₂)²)।
- आयतन = (1/3)πh(r₁² + r₂² + r₁r₂)।
- वक्र पृष्ठ = π(r₁ + r₂)l; सम्पूर्ण पृष्ठ = π(r₁ + r₂)l + πr₁² + πr₂²।
- Dhyaan dein: rationalised NCERT book se hata diya gaya. Sirf kuch purane papers mein aaya. Time kam ho to chhodiye.
- Frustum: base ke parallel plane se cone ka upar ka hissa kaatne ke baad bacha hissa (balti jaisa). Radii r₁ (badi) aur r₂ (chhoti), height h.
- Slant height l = √(h² + (r₁ − r₂)²).
- Volume = (1/3)πh(r₁² + r₂² + r₁r₂).
- CSA = π(r₁ + r₂)l; TSA = π(r₁ + r₂)l + πr₁² + πr₂².
Full derivations, tricky questions, common mistakes and quick revision.पूरी व्युत्पत्तियाँ, कठिन प्रश्न, आम गलतियाँ और त्वरित पुनरावृत्ति।Poori derivations, tricky sawaal, aam galtiyan aur quick revision.
From a solid cylinder of height 4 cm and diameter 6 cm, a conical cavity of the same height and diameter is hollowed out. Find the total surface area of the remaining solid. (π = 22/7)4 सेमी ऊँचे और 6 सेमी व्यास वाले ठोस बेलन से उसी ऊँचाई और व्यास का शंक्वाकार गड्ढा निकाला गया। शेष ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)4 cm oonche aur 6 cm diameter wale solid cylinder se usi height aur diameter ki conical cavity nikali gayi. Bache solid ka total surface area nikaliye. (π = 22/7)
- r = 3 cm, h = 4 cm, slant height of the cavity l = √(9 + 16) = 5 cm.
- Remaining surfaces: curved surface of cylinder (2πrh), the bottom circle (πr²), and the inner surface of the cone (πrl). The top circle is gone.
- TSA = 2π(3)(4) + π(9) + π(3)(5) = 24π + 9π + 15π = 48π.
- = 48 × 22/7 = 1056/7 ≈ 150.86 cm².
- r = 3 सेमी, h = 4 सेमी, गड्ढे की तिर्यक ऊँचाई l = √(9 + 16) = 5 सेमी।
- बची सतहें: बेलन का वक्र पृष्ठ (2πrh), नीचे का वृत्त (πr²) और शंकु का भीतरी पृष्ठ (πrl)। ऊपर का वृत्त हट गया।
- सम्पूर्ण पृष्ठ = 2π(3)(4) + π(9) + π(3)(5) = 24π + 9π + 15π = 48π।
- = 48 × 22/7 = 1056/7 ≈ 150.86 सेमी²।
- r = 3 cm, h = 4 cm, cavity ki slant height l = √(9 + 16) = 5 cm.
- Bachi surfaces: cylinder ka curved surface (2πrh), neeche ka circle (πr²) aur cone ka andar ka surface (πrl). Upar ka circle hat gaya.
- TSA = 2π(3)(4) + π(9) + π(3)(5) = 24π + 9π + 15π = 48π.
- = 48 × 22/7 = 1056/7 ≈ 150.86 cm².
A solid cone stands on a hemisphere of equal base radius. If the curved surfaces of the hemisphere and the cone are equal, find the ratio of the radius to the height of the cone.एक ठोस शंकु समान आधार त्रिज्या वाले अर्धगोले पर रखा है। यदि अर्धगोले और शंकु के वक्र पृष्ठ बराबर हों, तो शंकु की त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात ज्ञात कीजिए।Ek solid cone barabar base radius wale hemisphere par rakha hai. Agar hemisphere aur cone ke curved surfaces barabar hon, to cone ki radius aur height ka ratio nikaliye.
- πrl = 2πr² ⇒ l = 2r.
- h = √(l² − r²) = √(4r² − r²) = √3 r.
- r : h = 1 : √3.
- πrl = 2πr² ⇒ l = 2r।
- h = √(l² − r²) = √(4r² − r²) = √3 r।
- r : h = 1 : √3।
- πrl = 2πr² ⇒ l = 2r.
- h = √(l² − r²) = √(4r² − r²) = √3 r.
- r : h = 1 : √3.
A juice glass is cylindrical with inner diameter 6 cm and height 12 cm, but its bottom has a raised hemispherical portion of the same radius. Find the apparent and the actual capacity. (π = 3.14)एक जूस का गिलास बेलनाकार है, भीतरी व्यास 6 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी, पर उसकी तली में उसी त्रिज्या का उभरा अर्धगोलाकार भाग है। दिखने वाली और वास्तविक धारिता ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)Ek juice ka glass cylindrical hai, andar ka diameter 6 cm aur height 12 cm, par uski tali mein usi radius ka ubhra hemispherical hissa hai. Dikhne wali aur asli capacity nikaliye. (π = 3.14)
- r = 3 cm. Apparent capacity = πr²h = 3.14 × 9 × 12 = 339.12 cm³.
- Raised hemisphere = (2/3)πr³ = (2/3) × 3.14 × 27 = 56.52 cm³.
- Actual capacity = 339.12 − 56.52 = 282.6 cm³.
- r = 3 सेमी। दिखने वाली धारिता = πr²h = 3.14 × 9 × 12 = 339.12 सेमी³।
- उभरा अर्धगोला = (2/3)πr³ = (2/3) × 3.14 × 27 = 56.52 सेमी³।
- वास्तविक धारिता = 339.12 − 56.52 = 282.6 सेमी³।
- r = 3 cm. Dikhne wali capacity = πr²h = 3.14 × 9 × 12 = 339.12 cm³.
- Ubhra hemisphere = (2/3)πr³ = (2/3) × 3.14 × 27 = 56.52 cm³.
- Asli capacity = 339.12 − 56.52 = 282.6 cm³.
⚠️ Common mistakesआम गलतियाँAam galtiyan
- Adding the base circles that are joined inside the solid → leave out hidden faces in surface area.
- Taking the total height as the cone's height → subtract the hemisphere's radius first.
- Using h instead of l in the cone's curved surface → CSA = πrl.
- Using 4πr² for a hemisphere → CSA of a hemisphere is 2πr² (TSA 3πr²).
- Mixing units (m and cm) → change everything to one unit first.
- Writing volume in cm² → volume is in cm³.
- ठोस के अंदर जुड़े आधार-वृत्तों को जोड़ देना → पृष्ठीय क्षेत्रफल में छिपी सतहें छोड़िए।
- कुल ऊँचाई को शंकु की ऊँचाई मान लेना → पहले अर्धगोले की त्रिज्या घटाइए।
- शंकु के वक्र पृष्ठ में l की जगह h लेना → वक्र पृष्ठ = πrl।
- अर्धगोले के लिए 4πr² लेना → अर्धगोले का वक्र पृष्ठ 2πr² है (सम्पूर्ण 3πr²)।
- इकाइयाँ मिलाना (मी और सेमी) → पहले सब एक इकाई में बदलिए।
- आयतन को सेमी² में लिखना → आयतन सेमी³ में होता है।
- Solid ke andar jude base circles ko jod dena → surface area mein chhupi surfaces chhodiye.
- Total height ko cone ki height maan lena → pehle hemisphere ki radius ghataiye.
- Cone ke curved surface mein l ki jagah h lena → CSA = πrl.
- Hemisphere ke liye 4πr² lena → hemisphere ka CSA 2πr² hai (TSA 3πr²).
- Units milana (m aur cm) → pehle sab ek unit mein badliye.
- Volume ko cm² mein likhna → volume cm³ mein hota hai.
💎 Rarely asked but importantकम पूछा गया पर ज़रूरीKam aaya par zaroori
- Tent (cylinder + cone): cost of canvas = area × rate; there is no canvas on the floor.
- Spherical vessel with a cylindrical neck: V = (4/3)πR³ + πr²h; take R and r separately.
- If the radius of a sphere is doubled, its volume becomes 8 times and its surface area 4 times.
- तम्बू (बेलन + शंकु): कैनवास का खर्च = क्षेत्रफल × दर; फ़र्श पर कैनवास नहीं होता।
- बेलनाकार गर्दन वाला गोलाकार बर्तन: V = (4/3)πR³ + πr²h; R और r अलग-अलग लीजिए।
- गोले की त्रिज्या दोगुनी करने पर आयतन 8 गुना और पृष्ठ 4 गुना हो जाता है।
- Tent (cylinder + cone): canvas ka kharch = area × rate; farsh par canvas nahi hota.
- Cylindrical gardan wala spherical bartan: V = (4/3)πR³ + πr²h; R aur r alag-alag lijiye.
- Sphere ki radius dugni karne par volume 8 guna aur surface area 4 guna ho jaata hai.
⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision
- Cylinder: CSA 2πrh, TSA 2πr(r + h), V πr²h.
- Cone: l² = r² + h², CSA πrl, V (1/3)πr²h.
- Sphere: 4πr², (4/3)πr³.
- Hemisphere: CSA 2πr², TSA 3πr², V (2/3)πr³.
- Cube: 6a², a³. Cuboid: 2(lb + bh + hl), lbh.
- Toy (cone + hemisphere): TSA πrl + 2πr².
- Toy volume: (1/3)πr²(h + 2r).
- Capsule: TSA 2πr(h + 2r).
- Cube + hemisphere: TSA 6a² + πr².
- Two cubes joined: TSA 10a².
- Melting: volume stays the same.
- बेलन: वक्र 2πrh, सम्पूर्ण 2πr(r + h), V πr²h।
- शंकु: l² = r² + h², वक्र πrl, V (1/3)πr²h।
- गोला: 4πr², (4/3)πr³।
- अर्धगोला: वक्र 2πr², सम्पूर्ण 3πr², V (2/3)πr³।
- घन: 6a², a³। घनाभ: 2(lb + bh + hl), lbh।
- खिलौना (शंकु + अर्धगोला): सम्पूर्ण πrl + 2πr²।
- खिलौने का आयतन: (1/3)πr²(h + 2r)।
- कैप्सूल: सम्पूर्ण 2πr(h + 2r)।
- घन + अर्धगोला: सम्पूर्ण 6a² + πr²।
- दो घन जुड़े: सम्पूर्ण 10a²।
- पिघलाने पर आयतन वही रहता है।
- Cylinder: CSA 2πrh, TSA 2πr(r + h), V πr²h.
- Cone: l² = r² + h², CSA πrl, V (1/3)πr²h.
- Sphere: 4πr², (4/3)πr³.
- Hemisphere: CSA 2πr², TSA 3πr², V (2/3)πr³.
- Cube: 6a², a³. Cuboid: 2(lb + bh + hl), lbh.
- Toy (cone + hemisphere): TSA πrl + 2πr².
- Toy ka volume: (1/3)πr²(h + 2r).
- Capsule: TSA 2πr(h + 2r).
- Cube + hemisphere: TSA 6a² + πr².
- Do cubes jude: TSA 10a².
- Pighlane par volume wahi rehta hai.
🚫 Removed, skip itहटाया गया, इसे छोड़ देंHata diya gaya, ise chhod dijiye
- Conversion of solids (melting and recasting, wells and embankments) — removed from the rationalised NCERT book. Older UP papers asked it; recent papers have not. Skip if short of time.ठोसों का रूपान्तरण (पिघलाकर नया ठोस, कुआँ और चबूतरा) — युक्तिसंगत NCERT पुस्तक से हटाया गया। पुराने UP प्रश्नपत्रों में आया; हाल के प्रश्नपत्रों में नहीं। समय कम हो तो छोड़िए।Solids ka conversion (pighla kar naya solid, kuan aur embankment) — rationalised NCERT book se hataya gaya. Purane UP papers mein aaya; haal ke papers mein nahi. Time kam ho to chhodiye.
- Frustum of a cone — removed from the rationalised NCERT book; only a few older papers asked it. Skip.शंकु का छिन्नक — युक्तिसंगत NCERT पुस्तक से हटाया गया; केवल कुछ पुराने प्रश्नपत्रों में आया। छोड़ दीजिए।Cone ka frustum — rationalised NCERT book se hataya gaya; sirf kuch purane papers mein aaya. Chhod dijiye.
Notes written by Simple Learning Hub from the current NCERT syllabus. Year counts come only from UP Board papers we actually read.नोट्स Simple Learning Hub ने वर्तमान NCERT पाठ्यक्रम से लिखे हैं। वर्षों की गिनती केवल उन यूपी बोर्ड पेपरों से है जो हमने सच में पढ़े।Notes Simple Learning Hub ne current NCERT syllabus se likhe hain. Saalon ki ginti sirf un UP Board papers se hai jo humne sach mein padhe.