Circlesवृत्तCircles (Vritt)

• Tangents PA and PB from P: ∠OAP = ∠OBP = 90°. So in quadrilateral OAPB, ∠APB + ∠AOB = 180°.
• OP bisects ∠APB and ∠AOB. So ∠APO = ½∠APB and ∠POA = 90° − ½∠APB.
• Example: tangents inclined at 80° ⇒ ∠AOB = 100° and ∠POA = 50°.
• Concentric circles (radii a > b): a chord of the bigger circle touching the smaller circle is bisected at the point of contact. Its length = 2√(a² − b²).
• Quadrilateral ABCD circumscribing a circle: AB + CD = AD + BC (sum of opposite sides equal).
• So a parallelogram circumscribing a circle is a rhombus (all sides equal).
• Circle inside a triangle: the tangent lengths from each vertex are equal; use x, y, z for them and add.

• P से स्पर्श रेखाएँ PA और PB: ∠OAP = ∠OBP = 90°। अतः चतुर्भुज OAPB में ∠APB + ∠AOB = 180°।
• OP, ∠APB और ∠AOB को समद्विभाजित करती है। अतः ∠APO = ½∠APB और ∠POA = 90° − ½∠APB।
• उदाहरण: स्पर्श रेखाओं के बीच 80° ⇒ ∠AOB = 100° और ∠POA = 50°।
• संकेन्द्री वृत्त (त्रिज्याएँ a > b): बड़े वृत्त की जीवा जो छोटे वृत्त को स्पर्श करे, स्पर्श बिन्दु पर समद्विभाजित होती है। उसकी लम्बाई = 2√(a² − b²)।
• वृत्त के परिगत चतुर्भुज ABCD: AB + CD = AD + BC (सम्मुख भुजाओं का योग बराबर)।
• अतः वृत्त के परिगत समान्तर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है (सभी भुजाएँ बराबर)।
• त्रिभुज के अंदर वृत्त: हर शीर्ष से स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर; उन्हें x, y, z मानकर जोड़िए।

• P se tangents PA aur PB: ∠OAP = ∠OBP = 90°. Isliye quadrilateral OAPB mein ∠APB + ∠AOB = 180°.
• OP, ∠APB aur ∠AOB ko bisect karti hai. Isliye ∠APO = ½∠APB aur ∠POA = 90° − ½∠APB.
• Example: tangents ke beech 80° ⇒ ∠AOB = 100° aur ∠POA = 50°.
• Concentric circles (radii a > b): bade circle ki chord jo chhote circle ko touch kare, point of contact par bisect hoti hai. Uski length = 2√(a² − b²).
• Circle ke bahar bana quadrilateral ABCD: AB + CD = AD + BC (opposite sides ka jod barabar).
• Isliye circle ke bahar bana parallelogram rhombus hota hai (saari sides barabar).
• Triangle ke andar circle: har vertex se tangent lengths barabar; unhe x, y, z maan kar jodiye.

💡 In every figure question, first mark the 90° angles where radii meet tangents. Half the answer appears from that.हर चित्र वाले प्रश्न में पहले वहाँ 90° चिह्नित कीजिए जहाँ त्रिज्या स्पर्श रेखा से मिलती है। आधा उत्तर वहीं से मिल जाता है।Har figure wale sawaal mein pehle wahan 90° mark kijiye jahan radius tangent se milti hai. Aadha answer wahin se mil jaata hai.

• Statement: the lengths of the two tangents drawn from an external point to a circle are equal.
• The proof uses RHS congruence (Right angle–Hypotenuse–Side).
• Extra results from the same proof: OP bisects the angle between the tangents, and OP bisects ∠AOB.
• The same proof also shows: the line joining the external point to the centre makes equal angles with both tangents.
• This theorem is used in almost every circle numerical (quadrilateral, triangle with incircle).

• कथन: बाहरी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं।
• प्रमाण RHS सर्वांगसमता (समकोण–कर्ण–भुजा) से होता है।
• इसी प्रमाण से अतिरिक्त परिणाम: OP स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण को और ∠AOB को समद्विभाजित करती है।
• यही प्रमाण दिखाता है कि बाहरी बिन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा दोनों स्पर्श रेखाओं से बराबर कोण बनाती है।
• यह प्रमेय लगभग हर वृत्त के आंकिक प्रश्न में लगता है (चतुर्भुज, अन्तःवृत्त वाला त्रिभुज)।

• Statement: bahar ke point se circle par kheenche gaye dono tangents ki lengths barabar hoti hain.
• Proof RHS congruence (Right angle–Hypotenuse–Side) se hota hai.
• Isi proof se extra results: OP tangents ke beech ke angle ko aur ∠AOB ko bisect karti hai.
• Yahi proof dikhata hai ki bahar ke point ko centre se jodne wali line dono tangents se barabar angle banati hai.
• Yeh theorem lagbhag har circle numerical mein lagta hai (quadrilateral, incircle wala triangle).

💡 Write 'Given, To prove, Construction, Proof' as four headings. Examiners give marks for each part.'दिया है, सिद्ध करना है, रचना, प्रमाण' चार शीर्षक लिखिए। परीक्षक हर भाग के अंक देते हैं।'Diya hai, Prove karna hai, Construction, Proof' chaar headings likhiye. Examiner har hisse ke marks dete hain.