The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability'शायद' का गणित: प्रायिकता का परिचयThe Mathematics of Maybe: Introduction to Probability
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- Randomness and the probability scaleयादृच्छिकता और प्रायिकता पैमानाRandomness aur probability scale
- Experimental probabilityआनुभविक (प्रयोगात्मक) प्रायिकताExperimental probability
- Theoretical probabilityसैद्धांतिक प्रायिकताTheoretical probability
- Analysing data using probabilityप्रायिकता द्वारा आँकड़ों का विश्लेषणProbability se data ka analysis
- Sample space and eventsप्रतिदर्श समष्टि और घटनाएँSample space aur events
- Tree diagramsवृक्ष आरेखTree diagrams
Start here: the must-know basics of this chapter.यहाँ से शुरू करें: इस अध्याय की ज़रूरी बेसिक बातें।Yahan se shuru kijiye: is chapter ki zaroori basic baatein.
Probability measures how likely an event is, on a scale from 0 (impossible) to 1 (certain). Learn the two ways to find it: experimental (from trials) and theoretical (favourable ÷ total, for equally likely outcomes). Then learn sample space, events and tree diagrams. Always write the sample space first.प्रायिकता मापती है कि कोई घटना कितनी संभावित है, 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के पैमाने पर। इसे ज्ञात करने के दो तरीके सीखिए: आनुभविक (अभिप्रयोगों से) और सैद्धांतिक (समप्रायिक परिणामों के लिए अनुकूल ÷ कुल)। फिर प्रतिदर्श समष्टि, घटनाएँ और वृक्ष आरेख सीखिए। सदा पहले प्रतिदर्श समष्टि लिखिए।Probability naapti hai ki koi event kitna likely hai, 0 (impossible) se 1 (certain) ke scale par. Ise nikalne ke do tareeke seekhiye: experimental (trials se) aur theoretical (equally likely outcomes ke liye favourable ÷ total). Phir sample space, events aur tree diagrams seekhiye. Hamesha pehle sample space likhiye.
- Identify the random experimentयादृच्छिक प्रयोग पहचानिएRandom experiment pehchaaniye
- Write the sample space S (use a tree if there are stages)प्रतिदर्श समष्टि S लिखिए (चरण हों तो वृक्ष आरेख)Sample space S likhiye (stages hon to tree diagram)
- List the outcomes in the event Eघटना E के परिणाम सूचीबद्ध कीजिएEvent E ke outcomes list kijiye
- P(E) = favourable ÷ total (equally likely outcomes)P(E) = अनुकूल ÷ कुल (समप्रायिक परिणाम)P(E) = favourable ÷ total (equally likely outcomes)
- Check: 0 ≤ P(E) ≤ 1जाँचिए: 0 ≤ P(E) ≤ 1Check: 0 ≤ P(E) ≤ 1
🏅 Must-know minimumज़रूरी न्यूनतमZaroori minimum
- 0 ≤ P(E) ≤ 1; impossible = 0, certain = 1.
- Experimental P = times event happened ÷ total trials.
- Theoretical P = favourable ÷ possible outcomes (equally likely).
- Write the sample space first: coin {H, T}, die {1, …, 6}, two coins {HH, HT, TH, TT}.
- P(not E) = 1 − P(E).
- 0 ≤ P(E) ≤ 1; असंभव = 0, निश्चित = 1।
- आनुभविक P = घटना कितनी बार हुई ÷ कुल अभिप्रयोग।
- सैद्धांतिक P = अनुकूल ÷ संभव परिणाम (समप्रायिक)।
- पहले प्रतिदर्श समष्टि लिखिए: सिक्का {H, T}, पासा {1, …, 6}, दो सिक्के {HH, HT, TH, TT}।
- P(E नहीं) = 1 − P(E)।
- 0 ≤ P(E) ≤ 1; impossible = 0, certain = 1.
- Experimental P = event kitni baar hua ÷ total trials.
- Theoretical P = favourable ÷ possible outcomes (equally likely).
- Pehle sample space likhiye: coin {H, T}, dice {1, …, 6}, do coins {HH, HT, TH, TT}.
- P(not E) = 1 − P(E).
🎯 Quick 1-mark facts1 अंक वाले ज़रूरी तथ्य1 mark wale zaroori facts
- Probability of an impossible event = 0.
- Probability of a certain event = 1.
- P(head) for a fair coin = ½.
- Tossing 3 coins gives 8 outcomes.
- An event is a subset of the sample space.
- असंभव घटना की प्रायिकता = 0।
- निश्चित घटना की प्रायिकता = 1।
- निष्पक्ष सिक्के पर P(चित) = ½।
- 3 सिक्के उछालने पर 8 परिणाम।
- घटना प्रतिदर्श समष्टि का उपसमुच्चय है।
- Impossible event ki probability = 0.
- Certain event ki probability = 1.
- Fair coin par P(head) = ½.
- 3 coins uchhaalne par 8 outcomes.
- Event sample space ka subset hai.
Full chapter notes: key points, definitions, diagrams and important questions with model answers.पूरे अध्याय के नोट्स: मुख्य बातें, परिभाषाएँ, चित्र और आदर्श उत्तरों के साथ महत्वपूर्ण प्रश्न।Poore chapter ke notes: key points, definitions, diagrams aur model answers ke saath important sawaal.
Randomness and the probability scaleयादृच्छिकता और प्रायिकता पैमानाRandomness aur probability scale
- Probability is a measure of how likely an event is to happen.
- A random experiment can be repeated; we know all possible results but cannot predict the result of any single try (tossing a coin, rolling a die).
- Probability lies between 0 and 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1. It can also be written as a percentage (0.75 = 75%).
- P = 0: impossible event (a 7 on an ordinary die). P = 1: certain event (a number less than 7 on a die).
- Words on the scale: impossible, less likely, even chance (½), more likely, certain.
- A guess based on personal feeling or experience ("I think it will rain") is subjective probability.
- Gambler's fallacy: believing past results change the next one. Each roll of a fair die is independent; P(6) stays 1/6 even after three 6s in a row.
- A fair (unbiased) coin or die has no reason to favour any side.
- प्रायिकता इस बात का माप है कि कोई घटना होने की कितनी संभावना है।
- यादृच्छिक प्रयोग दोहराया जा सकता है; हम सभी संभव परिणाम जानते हैं पर किसी एक प्रयास का परिणाम पहले से नहीं बता सकते (सिक्का उछालना, पासा फेंकना)।
- प्रायिकता 0 और 1 के बीच होती है: 0 ≤ P(E) ≤ 1। इसे प्रतिशत में भी लिख सकते हैं (0.75 = 75%)।
- P = 0: असंभव घटना (साधारण पासे पर 7)। P = 1: निश्चित घटना (पासे पर 7 से छोटी संख्या)।
- पैमाने के शब्द: असंभव, कम संभावित, बराबर संभावना (½), अधिक संभावित, निश्चित।
- व्यक्तिगत अनुभव या भावना पर आधारित अनुमान ("मुझे लगता है बारिश होगी") व्यक्तिपरक प्रायिकता है।
- जुआरी की भ्रांति: यह मानना कि पिछले परिणाम अगले को बदलते हैं। निष्पक्ष पासे की हर फेंक स्वतंत्र है; लगातार तीन 6 के बाद भी P(6) = 1/6 ही रहता है।
- निष्पक्ष (अनभिनत) सिक्का या पासा किसी तरफ़ का पक्ष नहीं लेता।
- Probability is baat ka naap hai ki koi event hone ki kitni sambhavna hai.
- Random experiment repeat kiya ja sakta hai; hum saare possible results jaante hain par kisi ek try ka result pehle se nahi bata sakte (coin uchhaalna, dice phenkna).
- Probability 0 aur 1 ke beech hoti hai: 0 ≤ P(E) ≤ 1. Ise percentage mein bhi likh sakte hain (0.75 = 75%).
- P = 0: impossible event (normal dice par 7). P = 1: certain event (dice par 7 se chhota number).
- Scale ke words: impossible, less likely, even chance (½), more likely, certain.
- Personal feeling ya experience par based guess ("mujhe lagta hai baarish hogi") subjective probability hai.
- Gambler's fallacy: yeh maanna ki pichhle results agle ko badalte hain. Fair dice ka har roll independent hai; lagataar teen 6 ke baad bhi P(6) = 1/6 hi rehta hai.
- Fair (unbiased) coin ya dice kisi side ki taraf jhukta nahi.
- Random experimentयादृच्छिक प्रयोगRandom experiment
- An action that can be repeated, whose possible results are known but whose actual result cannot be predicted.ऐसी क्रिया जो दोहराई जा सके, जिसके संभव परिणाम ज्ञात हों पर वास्तविक परिणाम पहले से न बताया जा सके।Aisi kriya jo repeat ho sake, jiske possible results pata hon par actual result pehle se na bataya ja sake.
- Impossible eventअसंभव घटनाImpossible event
- An event that can never happen; its probability is 0.वह घटना जो कभी नहीं हो सकती; प्रायिकता 0।Woh event jo kabhi nahi ho sakta; probability 0.
- Certain (sure) eventनिश्चित घटनाCertain event
- An event that always happens; its probability is 1.वह घटना जो सदा होती है; प्रायिकता 1।Woh event jo hamesha hota hai; probability 1.
Probability is a slider from 0 to 1. Zero means 'never happening', one means 'definitely happening', and ½ is a perfect coin-toss situation.प्रायिकता 0 से 1 तक का स्लाइडर है। शून्य यानी 'कभी नहीं', एक यानी 'पक्का होगा', और ½ बिल्कुल सिक्का उछालने जैसी स्थिति।Probability 0 se 1 tak ka slider hai. Zero yaani 'kabhi nahi', ek yaani 'pakka hoga', aur ½ bilkul coin toss jaisi situation.
Probability can never be negative or greater than 1 because the number of favourable outcomes (or of successful trials) is between 0 and the total. If P(E) is the probability of an event, the probability of it NOT happening is 1 − P(E) (complement): P(not 6) = 5/6. Values can be written as fractions, decimals or percentages; 1/6 = 0.1666… ≈ 16.7%. A probability says what happens in the long run over many trials, not what happens in the next single trial, which is why the gambler's fallacy is wrong.प्रायिकता कभी ऋणात्मक या 1 से अधिक नहीं हो सकती, क्योंकि अनुकूल परिणामों (या सफल अभिप्रयोगों) की संख्या 0 और कुल के बीच होती है। यदि P(E) किसी घटना की प्रायिकता है, तो उसके न होने की प्रायिकता 1 − P(E) है (पूरक): P(6 नहीं) = 5/6। मान भिन्न, दशमलव या प्रतिशत में लिखे जा सकते हैं; 1/6 = 0.1666… ≈ 16.7%। प्रायिकता बताती है कि बहुत से अभिप्रयोगों में लंबे समय में क्या होता है, अगले एक प्रयास में क्या होगा यह नहीं; इसीलिए जुआरी की भ्रांति गलत है।Probability kabhi negative ya 1 se zyada nahi ho sakti, kyonki favourable outcomes (ya successful trials) ki sankhya 0 aur total ke beech hoti hai. Agar P(E) kisi event ki probability hai, to uske na hone ki probability 1 − P(E) hai (complement): P(6 nahi) = 5/6. Values fraction, decimal ya percentage mein likhi ja sakti hain; 1/6 = 0.1666… ≈ 16.7%. Probability batati hai ki bahut se trials mein long run mein kya hota hai, agle ek try mein kya hoga yeh nahi; isiliye gambler's fallacy galat hai.
The probability of any event E satisfies 0 ≤ P(E) ≤ 1. An impossible event has probability 0 and a certain event has probability 1. Events with probability less than ½ are less likely, ½ is an even chance, and more than ½ is more likely. Example: P(getting a 6 on a fair die) = 1/6 ≈ 0.17, close to 'less likely'.किसी भी घटना E की प्रायिकता 0 ≤ P(E) ≤ 1 होती है। असंभव घटना की प्रायिकता 0 और निश्चित घटना की 1 होती है। ½ से कम प्रायिकता वाली घटनाएँ कम संभावित, ½ बराबर संभावना, और ½ से अधिक अधिक संभावित होती हैं। उदाहरण: निष्पक्ष पासे पर 6 आने की प्रायिकता = 1/6 ≈ 0.17, 'कम संभावित' के पास।Kisi bhi event E ki probability 0 ≤ P(E) ≤ 1 hoti hai. Impossible event ki probability 0 aur certain event ki 1 hoti hai. ½ se kam probability wale events less likely, ½ even chance, aur ½ se zyada more likely hote hain. Example: fair dice par 6 aane ki probability = 1/6 ≈ 0.17, 'less likely' ke paas.
- 0
- What it isक्या हैKya hai: Lowest value on the scale.पैमाने का सबसे छोटा मान।Scale ki sabse chhoti value.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Probability of an impossible event.असंभव घटना की प्रायिकता।Impossible event ki probability. - ½
- What it isक्या हैKya hai: Middle of the scale.पैमाने का मध्य।Scale ka middle.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Even chance, like heads on a fair coin.बराबर संभावना, जैसे निष्पक्ष सिक्के पर चित।Even chance, jaise fair coin par heads. - 1
- What it isक्या हैKya hai: Highest value on the scale.पैमाने का सबसे बड़ा मान।Scale ki sabse badi value.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Probability of a certain event.निश्चित घटना की प्रायिकता।Certain event ki probability. - Impossible
- What it isक्या हैKya hai: Event that can never happen.जो घटना कभी नहीं हो सकती।Jo event kabhi nahi ho sakta.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Sits at 0.0 पर स्थित।0 par hota hai. - Less likely
- What it isक्या हैKya hai: Events with probability below ½.½ से कम प्रायिकता वाली घटनाएँ।½ se kam probability wale events.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Happen less often than not.न होने की अपेक्षा कम बार होती हैं।Na hone se kam baar hote hain. - Even chance
- What it isक्या हैKya hai: Probability exactly ½.प्रायिकता ठीक ½।Probability bilkul ½.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Happening and not happening are equally likely.होना और न होना समप्रायिक हैं।Hona aur na hona equally likely hain. - More likely
- What it isक्या हैKya hai: Events with probability above ½.½ से अधिक प्रायिकता वाली घटनाएँ।½ se zyada probability wale events.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Happen more often than not.न होने की अपेक्षा अधिक बार होती हैं।Na hone se zyada baar hote hain. - Certain
- What it isक्या हैKya hai: Event that always happens.जो घटना सदा होती है।Jo event hamesha hota hai.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Sits at 1.1 पर स्थित।1 par hota hai. - P(rolling a 6) = 1/6
- What it isक्या हैKya hai: Example point on the scale.पैमाने पर उदाहरण बिंदु।Scale par example point.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Shows a less likely event, about 0.17.कम संभावित घटना दिखाता है, लगभग 0.17।Less likely event dikhata hai, lagbhag 0.17. - 0 ≤ P(E) ≤ 1
- What it isक्या हैKya hai: Range of every probability.हर प्रायिकता का परिसर।Har probability ki range.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Any answer outside it is wrong.इसके बाहर का हर उत्तर गलत है।Iske bahar ka har answer galat hai.
Like the weather app saying '80% chance of rain': it is high on the scale, so carry an umbrella, but it is not 1, so the sky might still surprise you.जैसे मौसम ऐप कहे 'बारिश की 80% संभावना': पैमाने पर ऊँचा है, तो छाता ले जाइए, पर यह 1 नहीं है, तो आसमान फिर भी चौंका सकता है।Jaise weather app kahe 'baarish ki 80% chance': scale par ooncha hai, to chhata le jaaiye, par yeh 1 nahi hai, to aasmaan phir bhi surprise kar sakta hai.
Place on the probability scale (impossible, less likely, even chance, more likely, certain): (i) getting 8 on a die, (ii) getting a head on a fair coin, (iii) Monday coming after Sunday, (iv) getting a 2 on a die.प्रायिकता पैमाने पर रखिए (असंभव, कम संभावित, बराबर संभावना, अधिक संभावित, निश्चित): (i) पासे पर 8 आना, (ii) निष्पक्ष सिक्के पर चित, (iii) रविवार के बाद सोमवार आना, (iv) पासे पर 2 आना।Probability scale par rakhiye (impossible, less likely, even chance, more likely, certain): (i) dice par 8 aana, (ii) fair coin par head, (iii) Sunday ke baad Monday aana, (iv) dice par 2 aana.
- (i) Impossible (P = 0).
- (ii) Even chance (P = ½).
- (iii) Certain (P = 1).
- (iv) Less likely (P = 1/6).
- (i) असंभव (P = 0)।
- (ii) बराबर संभावना (P = ½)।
- (iii) निश्चित (P = 1)।
- (iv) कम संभावित (P = 1/6)।
- (i) Impossible (P = 0).
- (ii) Even chance (P = ½).
- (iii) Certain (P = 1).
- (iv) Less likely (P = 1/6).
Riya rolled a fair die three times and got 6 each time. She says the next roll cannot be a 6. Is she right?रिया ने निष्पक्ष पासा तीन बार फेंका और हर बार 6 आया। वह कहती है अगली बार 6 नहीं आ सकता। क्या वह सही है?Riya ne fair dice teen baar phenka aur har baar 6 aaya. Woh kehti hai agli baar 6 nahi aa sakta. Kya woh sahi hai?
- No. Each roll is independent: the die has no memory.
- P(6) on the next roll is still 1/6. Her thinking is the gambler's fallacy.
- नहीं। हर फेंक स्वतंत्र है: पासे की कोई स्मृति नहीं होती।
- अगली फेंक में भी P(6) = 1/6 है। उसकी सोच जुआरी की भ्रांति है।
- Nahi. Har roll independent hai: dice ki koi memory nahi hoti.
- Agle roll mein bhi P(6) = 1/6 hai. Uski soch gambler's fallacy hai.
💡 If your answer is negative or bigger than 1, recheck: it is wrong for sure.यदि उत्तर ऋणात्मक या 1 से बड़ा आए तो दोबारा जाँचिए: वह निश्चित रूप से गलत है।Agar answer negative ya 1 se bada aaye to dobara check kijiye: woh pakka galat hai.
Experimental probabilityआनुभविक (प्रयोगात्मक) प्रायिकताExperimental probability
- Experimental probability is found by actually doing an experiment many times (each try is a trial) and recording the results.
- Experimental probability = (number of times the event occurred) ÷ (total number of trials).
- Example: a die rolled 50 times shows 4 on 9 rolls → experimental P(4) = 9/50 = 0.18.
- It can change from one set of trials to another.
- With more and more trials, the experimental probability usually comes closer to the theoretical value (1/6 ≈ 0.167 for a die).
- आनुभविक प्रायिकता प्रयोग को वास्तव में कई बार करके (हर प्रयास एक अभिप्रयोग) और परिणाम लिखकर ज्ञात की जाती है।
- आनुभविक प्रायिकता = (घटना कितनी बार हुई) ÷ (अभिप्रयोगों की कुल संख्या)।
- उदाहरण: पासा 50 बार फेंकने पर 9 बार 4 आया → आनुभविक P(4) = 9/50 = 0.18।
- यह अभिप्रयोगों के एक समूह से दूसरे में बदल सकती है।
- अभिप्रयोग बढ़ाने पर आनुभविक प्रायिकता प्रायः सैद्धांतिक मान के निकट आती जाती है (पासे के लिए 1/6 ≈ 0.167)।
- Experimental probability experiment ko sach mein kai baar karke (har try ek trial) aur results likh kar nikali jaati hai.
- Experimental probability = (event kitni baar hua) ÷ (total trials).
- Example: dice 50 baar phenkne par 9 baar 4 aaya → experimental P(4) = 9/50 = 0.18.
- Yeh trials ke ek set se doosre mein badal sakti hai.
- Trials badhane par experimental probability aksar theoretical value ke paas aati jaati hai (dice ke liye 1/6 ≈ 0.167).
- Trialअभिप्रयोगTrial
- One performance of an experiment, e.g. one toss of a coin.प्रयोग को एक बार करना, जैसे सिक्के को एक बार उछालना।Experiment ko ek baar karna, jaise coin ko ek baar uchhaalna.
A coin is tossed 200 times and shows heads 112 times. Find the experimental probability of heads and of tails.एक सिक्का 200 बार उछाला गया और 112 बार चित आया। चित और पट की आनुभविक प्रायिकता ज्ञात कीजिए।Ek coin 200 baar uchhaala gaya aur 112 baar head aaya. Head aur tail ki experimental probability nikaliye.
- P(heads) = 112/200 = 0.56.
- Tails came 200 − 112 = 88 times: P(tails) = 88/200 = 0.44.
- Check: 0.56 + 0.44 = 1.
- P(चित) = 112/200 = 0.56।
- पट 200 − 112 = 88 बार आया: P(पट) = 88/200 = 0.44।
- जाँच: 0.56 + 0.44 = 1।
- P(head) = 112/200 = 0.56.
- Tail 200 − 112 = 88 baar aaya: P(tail) = 88/200 = 0.44.
- Check: 0.56 + 0.44 = 1.
💡 Experimental uses 'number of trials' in the denominator; theoretical uses 'number of possible outcomes'.आनुभविक में हर में 'अभिप्रयोगों की संख्या'; सैद्धांतिक में 'संभव परिणामों की संख्या'।Experimental mein denominator 'trials ki sankhya'; theoretical mein 'possible outcomes ki sankhya'.
Theoretical probabilityसैद्धांतिक प्रायिकताTheoretical probability
- Theoretical probability is worked out by reasoning, without doing the experiment, when all outcomes are equally likely.
- P(E) = (number of favourable outcomes) ÷ (number of possible outcomes).
- Equally likely outcomes: no outcome has a better chance than another (fair coin, fair die, well-shuffled cards).
- Fair die: P(4) = 1/6; P(even) = 3/6 = 1/2; P(number greater than 4) = 2/6 = 1/3.
- Letters: picking a letter at random from MATHEMATICS (11 letters): P(M) = 2/11, P(vowel) = 4/11 (A, A, E, I).
- Not all outcomes are equally likely: a bag with 3 red and 7 blue marbles makes 'red' and 'blue' NOT equally likely (P(red) = 3/10).
- Probability that E does not happen: P(not E) = 1 − P(E).
- जब सभी परिणाम समप्रायिक हों, तब प्रयोग किए बिना तर्क से सैद्धांतिक प्रायिकता निकाली जाती है।
- P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या) ÷ (संभव परिणामों की संख्या)।
- समप्रायिक परिणाम: किसी परिणाम की संभावना दूसरे से अधिक नहीं (निष्पक्ष सिक्का, निष्पक्ष पासा, अच्छी तरह फेंटे गए पत्ते)।
- निष्पक्ष पासा: P(4) = 1/6; P(सम) = 3/6 = 1/2; P(4 से बड़ी संख्या) = 2/6 = 1/3।
- अक्षर: MATHEMATICS (11 अक्षर) से यादृच्छया एक अक्षर चुनना: P(M) = 2/11, P(स्वर) = 4/11 (A, A, E, I)।
- सभी परिणाम समप्रायिक नहीं होते: 3 लाल और 7 नीले कंचों वाले थैले में 'लाल' और 'नीला' समप्रायिक नहीं (P(लाल) = 3/10)।
- E के न होने की प्रायिकता: P(E नहीं) = 1 − P(E)।
- Jab saare outcomes equally likely hon, tab experiment kiye bina reasoning se theoretical probability nikali jaati hai.
- P(E) = (favourable outcomes ki sankhya) ÷ (possible outcomes ki sankhya).
- Equally likely outcomes: kisi outcome ki chance doosre se zyada nahi (fair coin, fair dice, achhi tarah shuffle kiye cards).
- Fair dice: P(4) = 1/6; P(even) = 3/6 = 1/2; P(4 se bada number) = 2/6 = 1/3.
- Letters: MATHEMATICS (11 letters) se randomly ek letter chunna: P(M) = 2/11, P(vowel) = 4/11 (A, A, E, I).
- Saare outcomes equally likely nahi hote: 3 laal aur 7 neele marbles wale bag mein 'laal' aur 'neela' equally likely nahi (P(laal) = 3/10).
- E ke na hone ki probability: P(not E) = 1 − P(E).
- Equally likely outcomesसमप्रायिक परिणामEqually likely outcomes
- Outcomes that all have the same chance of happening.वे परिणाम जिनके होने की संभावना बराबर हो।Woh outcomes jinke hone ki chance barabar ho.
- Favourable outcomeअनुकूल परिणामFavourable outcome
- An outcome in which the event we want happens.वह परिणाम जिसमें वांछित घटना घटित होती है।Woh outcome jismein chahi gayi event hoti hai.
A bag has 3 red, 2 blue and 1 green ball. One ball is picked at random. Find P(blue) and P(not red).एक थैले में 3 लाल, 2 नीली और 1 हरी गेंद है। यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है। P(नीली) और P(लाल नहीं) ज्ञात कीजिए।Ek bag mein 3 laal, 2 neeli aur 1 hari ball hai. Randomly ek ball nikaali jaati hai. P(neeli) aur P(laal nahi) nikaliye.
- Total balls = 3 + 2 + 1 = 6.
- P(blue) = 2/6 = 1/3.
- Not red = blue or green = 3 balls: P(not red) = 3/6 = 1/2 (also 1 − 3/6).
- कुल गेंदें = 3 + 2 + 1 = 6।
- P(नीली) = 2/6 = 1/3।
- लाल नहीं = नीली या हरी = 3 गेंदें: P(लाल नहीं) = 3/6 = 1/2 (या 1 − 3/6)।
- Total balls = 3 + 2 + 1 = 6.
- P(neeli) = 2/6 = 1/3.
- Laal nahi = neeli ya hari = 3 balls: P(laal nahi) = 3/6 = 1/2 (ya 1 − 3/6).
Cards numbered 1 to 10 are in a box. One is drawn at random. Find the probability that the number is (i) even, (ii) prime.एक डिब्बे में 1 से 10 तक अंकित कार्ड हैं। यादृच्छया एक निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि संख्या (i) सम, (ii) अभाज्य हो।Ek box mein 1 se 10 tak number wale cards hain. Randomly ek nikala jaata hai. Probability nikaliye ki number (i) even, (ii) prime ho.
- Total outcomes = 10.
- (i) Even: 2, 4, 6, 8, 10 → 5/10 = 1/2.
- (ii) Prime: 2, 3, 5, 7 → 4/10 = 2/5 (1 is not prime).
- कुल परिणाम = 10।
- (i) सम: 2, 4, 6, 8, 10 → 5/10 = 1/2।
- (ii) अभाज्य: 2, 3, 5, 7 → 4/10 = 2/5 (1 अभाज्य नहीं है)।
- Total outcomes = 10.
- (i) Even: 2, 4, 6, 8, 10 → 5/10 = 1/2.
- (ii) Prime: 2, 3, 5, 7 → 4/10 = 2/5 (1 prime nahi hai).
💡 Count repeated letters or identical balls separately: MATHEMATICS has two M's, so P(M) = 2/11, not 1/8.दोहराए अक्षर या एक जैसी गेंदें अलग-अलग गिनिए: MATHEMATICS में दो M हैं, अतः P(M) = 2/11, 1/8 नहीं।Repeat hone wale letters ya ek jaisi balls alag-alag giniye: MATHEMATICS mein do M hain, isliye P(M) = 2/11, 1/8 nahi.
Analysing data using probabilityप्रायिकता द्वारा आँकड़ों का विश्लेषणProbability se data ka analysis
- Survey data can be turned into probabilities: relative frequency = frequency ÷ total.
- Example: of 40 students, 12 like cricket → relative frequency = 12/40 = 0.3; a student picked at random likes cricket with probability 0.3.
- All relative frequencies of a survey add up to 1.
- Businesses use such data to forecast sales and plan stock; weather offices use past data to give the chance of rain.
- The larger the sample, the more reliable the estimate.
- सर्वेक्षण के आँकड़ों को प्रायिकता में बदला जा सकता है: सापेक्ष बारंबारता = बारंबारता ÷ कुल।
- उदाहरण: 40 विद्यार्थियों में से 12 को क्रिकेट पसंद → सापेक्ष बारंबारता = 12/40 = 0.3; यादृच्छया चुने विद्यार्थी को क्रिकेट पसंद होने की प्रायिकता 0.3।
- किसी सर्वेक्षण की सभी सापेक्ष बारंबारताओं का योग 1 होता है।
- व्यापार में ऐसे आँकड़ों से बिक्री का पूर्वानुमान और माल की योजना बनती है; मौसम विभाग पुराने आँकड़ों से वर्षा की संभावना बताता है।
- नमूना जितना बड़ा, अनुमान उतना विश्वसनीय।
- Survey ke data ko probability mein badla ja sakta hai: relative frequency = frequency ÷ total.
- Example: 40 students mein se 12 ko cricket pasand → relative frequency = 12/40 = 0.3; randomly chune student ko cricket pasand hone ki probability 0.3.
- Kisi survey ki saari relative frequencies ka sum 1 hota hai.
- Business mein aise data se sales ka forecast aur stock ki planning hoti hai; weather office purane data se baarish ki chance batata hai.
- Sample jitna bada, estimate utna reliable.
- Relative frequencyसापेक्ष बारंबारताRelative frequency
- Frequency of a category divided by the total number of observations.किसी वर्ग की बारंबारता को कुल प्रेक्षणों की संख्या से भाग देना।Kisi category ki frequency ko total observations se divide karna.
In a survey of 60 students, 24 chose maths, 21 science and 15 English as their favourite subject. Find the probability that a student picked at random chose (i) science, (ii) not maths.60 विद्यार्थियों के सर्वेक्षण में 24 ने गणित, 21 ने विज्ञान और 15 ने अंग्रेज़ी को प्रिय विषय चुना। यादृच्छया चुने विद्यार्थी के लिए प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उसने (i) विज्ञान, (ii) गणित के अलावा विषय चुना।60 students ke survey mein 24 ne maths, 21 ne science aur 15 ne English ko favourite subject chuna. Randomly chune student ke liye probability nikaliye ki usne (i) science, (ii) maths ke alawa subject chuna.
- (i) P(science) = 21/60 = 7/20 = 0.35.
- (ii) Not maths = 21 + 15 = 36: P = 36/60 = 3/5 = 0.6.
- Check: 24/60 + 36/60 = 1.
- (i) P(विज्ञान) = 21/60 = 7/20 = 0.35।
- (ii) गणित नहीं = 21 + 15 = 36: P = 36/60 = 3/5 = 0.6।
- जाँच: 24/60 + 36/60 = 1।
- (i) P(science) = 21/60 = 7/20 = 0.35.
- (ii) Maths nahi = 21 + 15 = 36: P = 36/60 = 3/5 = 0.6.
- Check: 24/60 + 36/60 = 1.
💡 Before dividing, check that the categories add up to the stated total.भाग देने से पहले जाँचिए कि सभी वर्ग मिलकर दिए गए कुल के बराबर हैं।Divide karne se pehle check kijiye ki saari categories milkar diye gaye total ke barabar hain.
Sample space and eventsप्रतिदर्श समष्टि और घटनाएँSample space aur events
- Sample space S = the list of ALL possible outcomes of a random experiment, written in braces.
- Each outcome must appear, and none may be listed twice.
- Sample size n(S) = number of outcomes. Coin: S = {H, T}, n(S) = 2. Die: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6. Two coins: S = {HH, HT, TH, TT}, n(S) = 4.
- Make the sample space as detailed as the question needs (e.g. {No rain, Drizzle, Heavy rain} instead of {Rain, No rain}).
- An event is any outcome or group of outcomes, i.e. a subset of S. Example: 'number greater than 4' on a die: E = {5, 6}.
- For equally likely outcomes: P(E) = n(E) ÷ n(S).
- Two coins, 'at least one head': E = {HH, HT, TH}, P(E) = 3/4.
- प्रतिदर्श समष्टि S = यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभव परिणामों की सूची, कोष्ठक { } में।
- हर परिणाम आना चाहिए और कोई भी दो बार नहीं लिखा जाना चाहिए।
- प्रतिदर्श आकार n(S) = परिणामों की संख्या। सिक्का: S = {H, T}, n(S) = 2। पासा: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6। दो सिक्के: S = {HH, HT, TH, TT}, n(S) = 4।
- प्रतिदर्श समष्टि उतनी विस्तृत बनाइए जितनी प्रश्न को चाहिए (जैसे {बारिश, बारिश नहीं} की जगह {बारिश नहीं, बूँदाबाँदी, भारी बारिश})।
- घटना कोई भी परिणाम या परिणामों का समूह है, अर्थात S का उपसमुच्चय। उदाहरण: पासे पर '4 से बड़ी संख्या': E = {5, 6}।
- समप्रायिक परिणामों के लिए: P(E) = n(E) ÷ n(S)।
- दो सिक्के, 'कम से कम एक चित': E = {HH, HT, TH}, P(E) = 3/4।
- Sample space S = random experiment ke SAARE possible outcomes ki list, brackets { } mein.
- Har outcome aana chahiye aur koi bhi do baar nahi likha jaana chahiye.
- Sample size n(S) = outcomes ki sankhya. Coin: S = {H, T}, n(S) = 2. Dice: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6. Do coins: S = {HH, HT, TH, TT}, n(S) = 4.
- Sample space utni detailed banaiye jitni sawaal ko chahiye (jaise {Rain, No rain} ki jagah {No rain, Drizzle, Heavy rain}).
- Event koi bhi outcome ya outcomes ka group hai, yaani S ka subset. Example: dice par '4 se bada number': E = {5, 6}.
- Equally likely outcomes ke liye: P(E) = n(E) ÷ n(S).
- Do coins, 'kam se kam ek head': E = {HH, HT, TH}, P(E) = 3/4.
- Sample spaceप्रतिदर्श समष्टिSample space
- The set of all possible outcomes of a random experiment, written S.यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभव परिणामों का समुच्चय, S।Random experiment ke saare possible outcomes ka set, S.
- EventघटनाEvent
- Any outcome or set of outcomes of an experiment; a subset of the sample space.प्रयोग का कोई परिणाम या परिणामों का समुच्चय; प्रतिदर्श समष्टि का उपसमुच्चय।Experiment ka koi outcome ya outcomes ka set; sample space ka subset.
The big box holds every result the die can give. The shaded bubble holds only the results you are rooting for. Probability = bubble count ÷ box count.बड़े डिब्बे में पासे के सारे संभव परिणाम हैं। छायांकित बुलबुले में सिर्फ़ वे परिणाम जो आप चाहते हैं। प्रायिकता = बुलबुले की गिनती ÷ डिब्बे की गिनती।Bade box mein dice ke saare possible results hain. Shaded bubble mein sirf woh results jo aap chahte hain. Probability = bubble ki ginti ÷ box ki ginti.
Every event lies between the empty event { } (impossible, P = 0) and S itself (certain, P = 1). The outcomes of S outside E form the complement 'not E' = {1, 2, 3, 4}, with P = 4/6 = 1 − 1/3. The formula n(E)/n(S) is valid only when every outcome in S is equally likely; for a loaded die you must use experimental probability instead. Choosing S well matters: for 'sum of two dice' use the 36 ordered pairs, not the 11 sums 2–12, because the sums are not equally likely.हर घटना रिक्त घटना { } (असंभव, P = 0) और स्वयं S (निश्चित, P = 1) के बीच होती है। S के जो परिणाम E में नहीं, वे पूरक 'E नहीं' = {1, 2, 3, 4} बनाते हैं, P = 4/6 = 1 − 1/3। सूत्र n(E)/n(S) तभी मान्य है जब S का हर परिणाम समप्रायिक हो; भारित पासे के लिए आनुभविक प्रायिकता लेनी होगी। S सही चुनना ज़रूरी है: 'दो पासों का योग' के लिए 36 क्रमित युग्म लीजिए, 2–12 के 11 योग नहीं, क्योंकि योग समप्रायिक नहीं हैं।Har event empty event { } (impossible, P = 0) aur khud S (certain, P = 1) ke beech hota hai. S ke jo outcomes E mein nahi, woh complement 'not E' = {1, 2, 3, 4} banate hain, P = 4/6 = 1 − 1/3. Formula n(E)/n(S) tabhi valid hai jab S ka har outcome equally likely ho; loaded dice ke liye experimental probability leni hogi. S sahi chunna zaroori hai: 'do dice ka sum' ke liye 36 ordered pairs lijiye, 2–12 ke 11 sums nahi, kyonki sums equally likely nahi hain.
For rolling a fair die, the sample space is S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, so n(S) = 6. The event E 'the number is greater than 4' is the subset {5, 6}, so n(E) = 2. Since the outcomes are equally likely, P(E) = n(E)/n(S) = 2/6 = 1/3.निष्पक्ष पासा फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, अतः n(S) = 6। घटना E 'संख्या 4 से बड़ी है' उपसमुच्चय {5, 6} है, अतः n(E) = 2। परिणाम समप्रायिक हैं, अतः P(E) = n(E)/n(S) = 2/6 = 1/3।Fair dice phenkne par sample space S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, isliye n(S) = 6. Event E 'number 4 se bada hai' subset {5, 6} hai, isliye n(E) = 2. Outcomes equally likely hain, isliye P(E) = n(E)/n(S) = 2/6 = 1/3.
- S
- What it isक्या हैKya hai: The sample space.प्रतिदर्श समष्टि।Sample space.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Contains all 6 outcomes: n(S) = 6.सभी 6 परिणाम रखती है: n(S) = 6।Saare 6 outcomes rakhta hai: n(S) = 6. - E
- What it isक्या हैKya hai: The event 'number greater than 4'.घटना '4 से बड़ी संख्या'।Event '4 se bada number'.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Contains only 5 and 6: n(E) = 2.केवल 5 और 6: n(E) = 2।Sirf 5 aur 6: n(E) = 2. - 1
- What it isक्या हैKya hai: An outcome outside E.E के बाहर एक परिणाम।E ke bahar ek outcome.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Belongs to 'not E'.'E नहीं' में आता है।'not E' mein aata hai. - 5
- What it isक्या हैKya hai: An outcome inside E.E के अंदर एक परिणाम।E ke andar ek outcome.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: A favourable outcome.एक अनुकूल परिणाम।Ek favourable outcome. - 6
- What it isक्या हैKya hai: An outcome inside E.E के अंदर एक परिणाम।E ke andar ek outcome.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: A favourable outcome.एक अनुकूल परिणाम।Ek favourable outcome. - Event E: number greater than 4 = {5, 6}
- What it isक्या हैKya hai: The event written as a set.घटना समुच्चय के रूप में।Event set ke roop mein.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Shows an event is a subset of S.दिखाता है कि घटना S का उपसमुच्चय है।Dikhata hai ki event S ka subset hai. - P(E) = n(E) ÷ n(S) = 2/6 = 1/3
- What it isक्या हैKya hai: The probability calculation.प्रायिकता की गणना।Probability ki calculation.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Favourable ÷ total for equally likely outcomes.समप्रायिक परिणामों के लिए अनुकूल ÷ कुल।Equally likely outcomes ke liye favourable ÷ total.
Like a ludo game: the box is all six faces you might roll, and the bubble is the faces that get your piece out of home. Count the bubble, count the box, and you know your chances.जैसे लूडो का खेल: डिब्बा वे छहों अंक हैं जो आ सकते हैं, और बुलबुला वे अंक जो आपकी गोटी बाहर निकालें। बुलबुला गिनिए, डिब्बा गिनिए, संभावना पता।Jaise ludo ka game: box woh chhahon numbers hain jo aa sakte hain, aur bubble woh numbers jo aapki goti bahar nikaalein. Bubble giniye, box giniye, chance pata.
Three coins are tossed together. Write the sample space and find the probability of getting exactly two heads.तीन सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। प्रतिदर्श समष्टि लिखिए और ठीक दो चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।Teen coins ek saath uchhaale jaate hain. Sample space likhiye aur theek do heads aane ki probability nikaliye.
- S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}, n(S) = 8.
- Exactly two heads: E = {HHT, HTH, THH}, n(E) = 3.
- P(E) = 3/8.
- S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}, n(S) = 8।
- ठीक दो चित: E = {HHT, HTH, THH}, n(E) = 3।
- P(E) = 3/8।
- S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}, n(S) = 8.
- Theek do heads: E = {HHT, HTH, THH}, n(E) = 3.
- P(E) = 3/8.
💡 HT and TH are different outcomes: always list ordered results for two or more coins.HT और TH अलग परिणाम हैं: दो या अधिक सिक्कों के लिए सदा क्रमित परिणाम लिखिए।HT aur TH alag outcomes hain: do ya zyada coins ke liye hamesha ordered results likhiye.
Tree diagramsवृक्ष आरेखTree diagrams
- A tree diagram lists all outcomes of an experiment done in stages (toss twice, pick from two baskets).
- Start from one point; draw a branch for each outcome of stage 1; from the end of each branch draw branches for stage 2, and so on.
- Each path from start to end is one outcome; the number of end points = size of the sample space.
- Write the probability on each branch; for a fair coin each branch is ½.
- Tossing a coin twice gives 2 × 2 = 4 outcomes: HH, HT, TH, TT, each with probability ¼.
- P(one head and one tail) = P(HT) + P(TH) = 2/4 = ½.
- वृक्ष आरेख चरणों में किए गए प्रयोग (दो बार उछालना, दो टोकरियों से चुनना) के सभी परिणाम सूचीबद्ध करता है।
- एक बिंदु से शुरू कीजिए; पहले चरण के हर परिणाम के लिए एक शाखा खींचिए; हर शाखा के सिरे से दूसरे चरण की शाखाएँ, और इसी तरह आगे।
- आरंभ से अंत तक का हर पथ एक परिणाम है; अंत बिंदुओं की संख्या = प्रतिदर्श समष्टि का आकार।
- हर शाखा पर प्रायिकता लिखिए; निष्पक्ष सिक्के के लिए हर शाखा ½ है।
- सिक्का दो बार उछालने पर 2 × 2 = 4 परिणाम: HH, HT, TH, TT, प्रत्येक की प्रायिकता ¼।
- P(एक चित और एक पट) = P(HT) + P(TH) = 2/4 = ½।
- Tree diagram stages mein kiye gaye experiment (do baar uchhaalna, do baskets se chunna) ke saare outcomes list karta hai.
- Ek point se shuru kijiye; stage 1 ke har outcome ke liye ek branch kheenchiye; har branch ke end se stage 2 ki branches, aur aise hi aage.
- Start se end tak ka har path ek outcome hai; end points ki sankhya = sample space ka size.
- Har branch par probability likhiye; fair coin ke liye har branch ½ hai.
- Coin do baar uchhaalne par 2 × 2 = 4 outcomes: HH, HT, TH, TT, har ek ki probability ¼.
- P(ek head aur ek tail) = P(HT) + P(TH) = 2/4 = ½.
- Tree diagramवृक्ष आरेखTree diagram
- A branching diagram that shows every outcome of a multi-stage experiment.शाखाओं वाला आरेख जो बहु-चरणीय प्रयोग के हर परिणाम को दिखाता है।Branches wala diagram jo multi-stage experiment ke har outcome ko dikhata hai.
Each toss splits the path into two. Two tosses give 2 × 2 = 4 paths, and every path is one possible result.हर उछाल रास्ते को दो में बाँटता है। दो उछालों से 2 × 2 = 4 रास्ते, और हर रास्ता एक संभव परिणाम है।Har toss raaste ko do mein baantta hai. Do tosses se 2 × 2 = 4 raaste, aur har raasta ek possible result hai.
The probability of a whole path is the product of the probabilities along its branches (½ × ½ = ¼) when the stages are independent; the probability of an event is the sum over the paths that belong to it. The products over all end points always add to 1. Trees also handle unequal branches: from a bag with 3 red and 2 blue pens, picking with replacement twice, P(red then red) = 3/5 × 3/5 = 9/25. The number of outcomes multiplies stage by stage (2 × 2 × 2 = 8 for three coins), which is the counting principle you will use in Class 11.चरण स्वतंत्र हों तो पूरे पथ की प्रायिकता उसकी शाखाओं की प्रायिकताओं का गुणनफल होती है (½ × ½ = ¼); किसी घटना की प्रायिकता उससे जुड़े पथों का योग है। सभी अंत बिंदुओं के गुणनफलों का योग सदा 1 होता है। असमान शाखाएँ भी चलती हैं: 3 लाल और 2 नीले पेन वाले डिब्बे से वापस रखकर दो बार चुनने पर P(लाल फिर लाल) = 3/5 × 3/5 = 9/25। परिणामों की संख्या चरण-दर-चरण गुणा होती है (तीन सिक्कों के लिए 2 × 2 × 2 = 8), यही गणना का सिद्धांत कक्षा 11 में आएगा।Stages independent hon to poore path ki probability uski branches ki probabilities ka product hoti hai (½ × ½ = ¼); kisi event ki probability usse jude paths ka sum hai. Saare end points ke products ka sum hamesha 1 hota hai. Unequal branches bhi chalti hain: 3 laal aur 2 neele pens wale box se wapas rakh kar do baar chunne par P(laal phir laal) = 3/5 × 3/5 = 9/25. Outcomes ki sankhya stage-dar-stage multiply hoti hai (teen coins ke liye 2 × 2 × 2 = 8), yahi counting principle Class 11 mein aayega.
From the start, two branches show the first toss (H or T), each with probability ½. From each, two more branches show the second toss. The four paths give S = {HH, HT, TH, TT}. All are equally likely, so each has probability ¼; P(two heads) = ¼ and P(one head and one tail) = 2/4 = ½.आरंभ से दो शाखाएँ पहला उछाल (H या T) दिखाती हैं, प्रत्येक की प्रायिकता ½। हर एक से दो और शाखाएँ दूसरा उछाल दिखाती हैं। चार पथ S = {HH, HT, TH, TT} देते हैं। सभी समप्रायिक हैं, अतः प्रत्येक की प्रायिकता ¼; P(दो चित) = ¼ और P(एक चित और एक पट) = 2/4 = ½।Start se do branches pehla toss (H ya T) dikhati hain, har ek ki probability ½. Har ek se do aur branches doosra toss dikhati hain. Chaar paths S = {HH, HT, TH, TT} dete hain. Saare equally likely hain, isliye har ek ki probability ¼; P(do heads) = ¼ aur P(ek head aur ek tail) = 2/4 = ½.
- Start
- What it isक्या हैKya hai: The starting point of the tree.वृक्ष का आरंभ बिंदु।Tree ka starting point.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: All branches grow from here.सभी शाखाएँ यहीं से निकलती हैं।Saari branches yahin se nikalti hain. - Toss 1
- What it isक्या हैKya hai: First stage of the experiment.प्रयोग का पहला चरण।Experiment ka pehla stage.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Splits into H and T.H और T में बँटता है।H aur T mein bantta hai. - Toss 2
- What it isक्या हैKya hai: Second stage.दूसरा चरण।Doosra stage.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Each first-toss result splits again.पहले उछाल का हर परिणाम फिर बँटता है।Pehle toss ka har result phir bantta hai. - H
- What it isक्या हैKya hai: Head.चित।Head.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: One possible result of a toss.एक उछाल का एक संभव परिणाम।Ek toss ka ek possible result. - T
- What it isक्या हैKya hai: Tail.पट।Tail.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: The other possible result.दूसरा संभव परिणाम।Doosra possible result. - ½
- What it isक्या हैKya hai: Probability on a branch.शाखा पर प्रायिकता।Branch par probability.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Chance of that branch for a fair coin.निष्पक्ष सिक्के के लिए उस शाखा की संभावना।Fair coin ke liye us branch ki chance. - Outcome
- What it isक्या हैKya hai: Column of final results.अंतिम परिणामों का स्तंभ।Final results ka column.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Each path gives one outcome (HH, HT, TH, TT).हर पथ एक परिणाम देता है (HH, HT, TH, TT)।Har path ek outcome deta hai (HH, HT, TH, TT). - ¼
- What it isक्या हैKya hai: Probability of each full path.हर पूरे पथ की प्रायिकता।Har poore path ki probability.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: ½ × ½ = ¼; the four add to 1.½ × ½ = ¼; चारों का योग 1।½ × ½ = ¼; chaaron ka sum 1. - S = {HH, HT, TH, TT}, each ¼
- What it isक्या हैKya hai: The sample space read from the tree.वृक्ष से पढ़ी गई प्रतिदर्श समष्टि।Tree se padha gaya sample space.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Lists every outcome exactly once.हर परिणाम ठीक एक बार।Har outcome theek ek baar.
Like picking an outfit: 2 T-shirts and 3 jeans make a tree with 2 × 3 = 6 combos. Every branch end is one look you could post.जैसे कपड़े चुनना: 2 टी-शर्ट और 3 जींस से 2 × 3 = 6 कॉम्बो वाला वृक्ष बनता है। हर शाखा का सिरा एक लुक है जिसे आप पोस्ट कर सकते हैं।Jaise outfit chunna: 2 T-shirts aur 3 jeans se 2 × 3 = 6 combos wala tree banta hai. Har branch ka end ek look hai jise aap post kar sakte hain.
Aman has 2 T-shirts (white, black) and 3 jeans (blue, grey, black). He picks one of each at random. Draw a tree, list the sample space and find P(white T-shirt with blue jeans).अमन के पास 2 टी-शर्ट (सफ़ेद, काली) और 3 जींस (नीली, स्लेटी, काली) हैं। वह हर एक में से यादृच्छया एक चुनता है। वृक्ष बनाइए, प्रतिदर्श समष्टि लिखिए और P(सफ़ेद टी-शर्ट के साथ नीली जींस) ज्ञात कीजिए।Aman ke paas 2 T-shirts (white, black) aur 3 jeans (blue, grey, black) hain. Woh har ek mein se randomly ek chunta hai. Tree banaiye, sample space likhiye aur P(white T-shirt ke saath blue jeans) nikaliye.
- Stage 1: White (W) or Black (B) T-shirt; stage 2: blue (b), grey (g), black (k) jeans.
- S = {Wb, Wg, Wk, Bb, Bg, Bk}, n(S) = 2 × 3 = 6.
- P(white with blue) = 1/6.
- चरण 1: सफ़ेद (W) या काली (B) टी-शर्ट; चरण 2: नीली (b), स्लेटी (g), काली (k) जींस।
- S = {Wb, Wg, Wk, Bb, Bg, Bk}, n(S) = 2 × 3 = 6।
- P(सफ़ेद के साथ नीली) = 1/6।
- Stage 1: White (W) ya Black (B) T-shirt; stage 2: blue (b), grey (g), black (k) jeans.
- S = {Wb, Wg, Wk, Bb, Bg, Bk}, n(S) = 2 × 3 = 6.
- P(white ke saath blue) = 1/6.
A coin is tossed twice. Using a tree diagram, find the probability of getting at least one tail.एक सिक्का दो बार उछाला जाता है। वृक्ष आरेख से कम से कम एक पट आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।Ek coin do baar uchhaala jaata hai. Tree diagram se kam se kam ek tail aane ki probability nikaliye.
- Outcomes: HH, HT, TH, TT (each ¼).
- At least one tail: HT, TH, TT → 3 outcomes.
- P = 3/4 (or 1 − P(HH) = 1 − ¼).
- परिणाम: HH, HT, TH, TT (प्रत्येक ¼)।
- कम से कम एक पट: HT, TH, TT → 3 परिणाम।
- P = 3/4 (या 1 − P(HH) = 1 − ¼)।
- Outcomes: HH, HT, TH, TT (har ek ¼).
- Kam se kam ek tail: HT, TH, TT → 3 outcomes.
- P = 3/4 (ya 1 − P(HH) = 1 − ¼).
💡 Count the end points of your tree: they must equal the product of the choices at each stage.अपने वृक्ष के अंत बिंदु गिनिए: वे हर चरण के विकल्पों के गुणनफल के बराबर होने चाहिए।Apne tree ke end points giniye: woh har stage ke options ke product ke barabar hone chahiye.
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📐 Building the sample space for three coins with a treeतीन सिक्कों की प्रतिदर्श समष्टि वृक्ष से बनानाTeen coins ka sample space tree se banana
- Stage 1: two branches H, T.
- Stage 2: from each, two branches → HH, HT, TH, TT (4 paths).
- Stage 3: from each of the 4, two branches → 8 paths.
- S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}; n(S) = 2 × 2 × 2 = 8.
- Each path has probability ½ × ½ × ½ = 1/8.
- Count heads: 3 heads: 1 path; 2 heads: 3; 1 head: 3; 0 heads: 1 (1 + 3 + 3 + 1 = 8).
- चरण 1: दो शाखाएँ H, T।
- चरण 2: हर एक से दो शाखाएँ → HH, HT, TH, TT (4 पथ)।
- चरण 3: इन 4 में से हर एक से दो शाखाएँ → 8 पथ।
- S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}; n(S) = 2 × 2 × 2 = 8।
- हर पथ की प्रायिकता ½ × ½ × ½ = 1/8।
- चित गिनिए: 3 चित: 1 पथ; 2 चित: 3; 1 चित: 3; 0 चित: 1 (1 + 3 + 3 + 1 = 8)।
- Stage 1: do branches H, T.
- Stage 2: har ek se do branches → HH, HT, TH, TT (4 paths).
- Stage 3: in 4 mein se har ek se do branches → 8 paths.
- S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}; n(S) = 2 × 2 × 2 = 8.
- Har path ki probability ½ × ½ × ½ = 1/8.
- Heads giniye: 3 heads: 1 path; 2 heads: 3; 1 head: 3; 0 heads: 1 (1 + 3 + 3 + 1 = 8).
'A baby born is either a boy or a girl, so the outcomes are equally likely.' 'A car either starts or does not start, so P(starts) = ½.' Which statement is reasonable?'जन्मा शिशु लड़का या लड़की है, अतः परिणाम समप्रायिक हैं।' 'कार या तो चालू होती है या नहीं, अतः P(चालू) = ½।' कौन-सा कथन उचित है?'Paida hua baby ya to ladka hai ya ladki, isliye outcomes equally likely hain.' 'Car ya to start hoti hai ya nahi, isliye P(start) = ½.' Kaun sa statement theek hai?
- Boy/girl: roughly equally likely, so taking ½ each is a fair model.
- Car: not equally likely; a working car starts almost always. Two outcomes do not mean probability ½ each.
- Use the formula favourable ÷ total only for equally likely outcomes.
- लड़का/लड़की: लगभग समप्रायिक, अतः प्रत्येक ½ मानना उचित मॉडल है।
- कार: समप्रायिक नहीं; ठीक कार लगभग सदा चालू होती है। दो परिणाम होने का अर्थ प्रत्येक की प्रायिकता ½ नहीं।
- अनुकूल ÷ कुल सूत्र केवल समप्रायिक परिणामों के लिए।
- Ladka/ladki: lagbhag equally likely, isliye har ek ½ maanna theek model hai.
- Car: equally likely nahi; theek car lagbhag hamesha start hoti hai. Do outcomes hone ka matlab har ek ki probability ½ nahi.
- Favourable ÷ total formula sirf equally likely outcomes ke liye.
A box has 3 red, 4 black and 2 green pens. You pick one and put it back, then your friend picks one. Find the probability that both pens are the same colour.एक डिब्बे में 3 लाल, 4 काले और 2 हरे पेन हैं। आप एक निकालकर वापस रखते हैं, फिर आपका मित्र एक निकालता है। दोनों पेन एक ही रंग के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।Ek box mein 3 laal, 4 kaale aur 2 hare pens hain. Aap ek nikaal kar wapas rakhte hain, phir aapka dost ek nikaalta hai. Dono pens ek hi rang ke hone ki probability nikaliye.
- Total 9 pens; with replacement each pick is independent.
- Both red: 3/9 × 3/9 = 9/81; both black: 4/9 × 4/9 = 16/81; both green: 2/9 × 2/9 = 4/81.
- P(same colour) = (9 + 16 + 4)/81 = 29/81.
- कुल 9 पेन; वापस रखने से हर चुनाव स्वतंत्र है।
- दोनों लाल: 3/9 × 3/9 = 9/81; दोनों काले: 4/9 × 4/9 = 16/81; दोनों हरे: 2/9 × 2/9 = 4/81।
- P(एक ही रंग) = (9 + 16 + 4)/81 = 29/81।
- Total 9 pens; wapas rakhne se har pick independent hai.
- Dono laal: 3/9 × 3/9 = 9/81; dono kaale: 4/9 × 4/9 = 16/81; dono hare: 2/9 × 2/9 = 4/81.
- P(same rang) = (9 + 16 + 4)/81 = 29/81.
⚠️ Common mistakesआम गलतियाँAam galtiyan
- Treating HT and TH as one outcome → they are different; two coins have 4 outcomes.
- Saying P = ½ whenever there are two outcomes → only if they are equally likely.
- Gambler's fallacy → past rolls do not change the next roll.
- Giving a probability above 1 or negative → impossible.
- HT और TH को एक परिणाम मानना → ये अलग हैं; दो सिक्कों के 4 परिणाम।
- दो परिणाम हों तो सदा P = ½ कहना → केवल समप्रायिक हों तब।
- जुआरी की भ्रांति → पिछली फेंकें अगली को नहीं बदलतीं।
- 1 से अधिक या ऋणात्मक प्रायिकता देना → असंभव।
- HT aur TH ko ek outcome maanna → yeh alag hain; do coins ke 4 outcomes.
- Do outcomes hon to hamesha P = ½ kehna → sirf equally likely hon tab.
- Gambler's fallacy → pichhle rolls agle roll ko nahi badalte.
- 1 se zyada ya negative probability dena → impossible.
💎 Less common but importantकम चर्चित पर ज़रूरीKam common par zaroori
- The probabilities of all outcomes in a sample space add up to 1.
- For independent stages, multiply along a branch; for 'or' between separate paths, add.
- प्रतिदर्श समष्टि के सभी परिणामों की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
- स्वतंत्र चरणों में शाखा के साथ गुणा; अलग पथों के 'या' में जोड़।
- Sample space ke saare outcomes ki probabilities ka sum 1 hota hai.
- Independent stages mein branch ke saath multiply; alag paths ke 'ya' mein add.
⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision
- 0 ≤ P(E) ≤ 1
- Exp. P = occurrences ÷ trials
- Theo. P = favourable ÷ total
- P(not E) = 1 − P(E)
- Coin: 2, die: 6, two coins: 4, three coins: 8 outcomes
- Event ⊂ sample space
- 0 ≤ P(E) ≤ 1
- प्रयो. P = घटित ÷ अभिप्रयोग
- सैद्धा. P = अनुकूल ÷ कुल
- P(E नहीं) = 1 − P(E)
- सिक्का: 2, पासा: 6, दो सिक्के: 4, तीन सिक्के: 8 परिणाम
- घटना ⊂ प्रतिदर्श समष्टि
- 0 ≤ P(E) ≤ 1
- Exp. P = occurrences ÷ trials
- Theo. P = favourable ÷ total
- P(not E) = 1 − P(E)
- Coin: 2, dice: 6, do coins: 4, teen coins: 8 outcomes
- Event ⊂ sample space
⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision
- Probability measures likelihood on a scale from 0 (impossible) to 1 (certain).
- Random experiment: all outcomes known, single result unpredictable.
- Experimental probability = times event occurred ÷ total trials.
- Theoretical probability = favourable outcomes ÷ possible outcomes (equally likely).
- Relative frequency from survey data acts as a probability; all of them add to 1.
- Sample space S lists every outcome once; n(S) is its size.
- An event is a subset of S; P(E) = n(E) ÷ n(S).
- Tree diagrams list multi-stage outcomes; each die roll or coin toss is independent (no gambler's fallacy).
- प्रायिकता संभावना को 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के पैमाने पर मापती है।
- यादृच्छिक प्रयोग: सभी परिणाम ज्ञात, एक परिणाम अनिश्चित।
- आनुभविक प्रायिकता = घटना कितनी बार हुई ÷ कुल अभिप्रयोग।
- सैद्धांतिक प्रायिकता = अनुकूल परिणाम ÷ संभव परिणाम (समप्रायिक)।
- सर्वेक्षण की सापेक्ष बारंबारता प्रायिकता का काम करती है; सबका योग 1।
- प्रतिदर्श समष्टि S में हर परिणाम एक बार; n(S) उसका आकार।
- घटना S का उपसमुच्चय है; P(E) = n(E) ÷ n(S)।
- वृक्ष आरेख बहु-चरणीय परिणाम दिखाता है; हर फेंक/उछाल स्वतंत्र है (जुआरी की भ्रांति नहीं)।
- Probability likelihood ko 0 (impossible) se 1 (certain) ke scale par naapti hai.
- Random experiment: saare outcomes pata, ek result unpredictable.
- Experimental probability = event kitni baar hua ÷ total trials.
- Theoretical probability = favourable outcomes ÷ possible outcomes (equally likely).
- Survey ki relative frequency probability ka kaam karti hai; sabka sum 1.
- Sample space S mein har outcome ek baar; n(S) uska size.
- Event S ka subset hai; P(E) = n(E) ÷ n(S).
- Tree diagram multi-stage outcomes dikhata hai; har roll/toss independent hai (gambler's fallacy nahi).
Notes written by Simple Learning Hub from the current NCERT syllabus.नोट्स Simple Learning Hub ने वर्तमान NCERT पाठ्यक्रम से लिखे हैं।Notes Simple Learning Hub ne current NCERT syllabus se likhe hain.