Measuring Space: Perimeter and Areaस्थान का मापन: परिमाप और क्षेत्रफलMeasuring Space: Perimeter and Area

• Perimeter = total length of the boundary of a closed shape; unit: m, cm, etc.
• Polygon: add all side lengths. Rectangle: 2(l + b). Square: 4a.
• For shapes made of arcs and lines, add each straight part and each curved part separately.
• A 400 m running track = 2 straight parts + 2 semicircles (together one full circle).
• On a curved track an outer lane is longer: for lane width w, one full circle in the next lane is longer by 2πw. That is why outer runners start ahead (staggered start).

• परिमाप = किसी बंद आकृति की सीमा की कुल लंबाई; मात्रक: m, cm आदि।
• बहुभुज: सभी भुजाओं की लंबाइयाँ जोड़िए। आयत: 2(l + b)। वर्ग: 4a।
• चाप और रेखाओं से बनी आकृति में हर सीधा भाग और हर वक्र भाग अलग-अलग जोड़िए।
• 400 m का दौड़ ट्रैक = 2 सीधे भाग + 2 अर्धवृत्त (मिलकर एक पूरा वृत्त)।
• घुमावदार ट्रैक पर बाहरी लेन लंबी होती है: लेन की चौड़ाई w हो तो अगली लेन में पूरा वृत्त 2πw लंबा होता है। इसीलिए बाहरी धावक आगे से शुरू करते हैं।

• Perimeter = kisi closed shape ki boundary ki total length; unit: m, cm aadi.
• Polygon: saari sides jodiye. Rectangle: 2(l + b). Square: 4a.
• Arcs aur lines se bani shape mein har seedha hissa aur har curved hissa alag-alag jodiye.
• 400 m ka running track = 2 seedhe hisse + 2 semicircles (milkar ek poora circle).
• Curved track par bahar wali lane lambi hoti hai: lane width w ho to agli lane mein poora circle 2πw lamba hota hai. Isiliye bahar wale runners aage se start karte hain (staggered start).

💡 Inside lines of a composite figure are NOT part of its perimeter: trace only the outer boundary.संयुक्त आकृति की अंदर की रेखाएँ परिमाप में नहीं आतीं: केवल बाहरी सीमा पर चलिए।Composite figure ki andar wali lines perimeter mein nahi aatin: sirf bahar ki boundary par chaliye.

• For every circle, circumference ÷ diameter is the same number; this constant is π (pi).
• So C = πD = 2πr. Common values: π ≈ 22/7 or 3.14.
• Archimedes (about 250 BCE) trapped π between inscribed and circumscribed polygons, up to 96 sides: 3 10/71 < π < 3 1/7.
• Zu Chongzhi (480 CE) gave 22/7 and the very close 355/113 ≈ 3.1415929.
• Āryabhaṭa (499 CE) gave 62832/20000 = 3.1416 and called it approximate (āsanna).
• Mādhava of Sangamagrāma (14th century) found the first exact formula for π, an infinite series: π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + …
• Pi Day is celebrated on 14 March (3-14) because π ≈ 3.14.

• हर वृत्त के लिए परिधि ÷ व्यास एक ही संख्या होती है; यह अचर π (पाई) है।
• अतः C = πD = 2πr। प्रचलित मान: π ≈ 22/7 या 3.14।
• आर्किमिडीज़ (लगभग 250 ई.पू.) ने अंतर्गत और परिगत बहुभुजों (96 भुजाओं तक) के बीच π को घेरा: 3 10/71 < π < 3 1/7।
• ज़ू चोंगझी (480 ई.) ने 22/7 और बहुत निकट मान 355/113 ≈ 3.1415929 दिया।
• आर्यभट (499 ई.) ने 62832/20000 = 3.1416 दिया और इसे आसन्न (लगभग) कहा।
• संगमग्राम के माधव (14वीं शताब्दी) ने π का पहला सटीक सूत्र, एक अनंत श्रेणी, खोजा: π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + …
• π ≈ 3.14 होने के कारण 14 मार्च (3-14) को पाई दिवस मनाया जाता है।

• Har circle ke liye circumference ÷ diameter ek hi number hota hai; yeh constant π (pi) hai.
• Isliye C = πD = 2πr. Common values: π ≈ 22/7 ya 3.14.
• Archimedes (lagbhag 250 BCE) ne inscribed aur circumscribed polygons (96 sides tak) ke beech π ko ghera: 3 10/71 < π < 3 1/7.
• Zu Chongzhi (480 CE) ne 22/7 aur bahut close value 355/113 ≈ 3.1415929 di.
• Āryabhaṭa (499 CE) ne 62832/20000 = 3.1416 diya aur ise āsanna (approximate) kaha.
• Sangamagrāma ke Mādhava (14th century) ne π ka pehla exact formula, ek infinite series, khoja: π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + …
• π ≈ 3.14 hone ki wajah se 14 March (3-14) ko Pi Day manaya jaata hai.

💡 If the diameter is given, use C = πD directly; do not forget to halve when using 2πr.यदि व्यास दिया हो तो सीधे C = πD लगाइए; 2πr लगाते समय आधा करना न भूलें।Agar diameter diya ho to seedha C = πD lagaiye; 2πr lagate waqt half karna na bhoolein.

• A rational number can be written as p/q with integers p, q and q ≠ 0; an irrational number cannot.
• The decimal digits of π never end and never repeat in a pattern: π = 3.14159265…
• Lambert proved in 1761 that π is irrational; Āryabhaṭa and Zu Chongzhi already seemed to believe it.
• So 22/7, 3.14, 355/113 and 3.1416 are only approximations of π, never its exact value.
• Because π is irrational there is no 'best' fraction for it: for any fraction close to π, a closer one exists.

• परिमेय संख्या को p/q के रूप में लिखा जा सकता है (p, q पूर्णांक, q ≠ 0); अपरिमेय को नहीं।
• π के दशमलव अंक न कभी समाप्त होते हैं, न किसी पैटर्न में दोहराते हैं: π = 3.14159265…
• लैम्बर्ट ने 1761 में सिद्ध किया कि π अपरिमेय है; आर्यभट और ज़ू चोंगझी भी ऐसा ही मानते प्रतीत होते हैं।
• अतः 22/7, 3.14, 355/113 और 3.1416 केवल π के सन्निकट मान हैं, कभी सटीक मान नहीं।
• π अपरिमेय है, इसलिए इसके लिए कोई 'सबसे अच्छी' भिन्न नहीं: π के निकट किसी भी भिन्न से और निकट भिन्न मिल जाती है।

• Rational number ko p/q ke roop mein likha ja sakta hai (p, q integers, q ≠ 0); irrational ko nahi.
• π ke decimal digits na kabhi khatam hote hain, na kisi pattern mein repeat hote hain: π = 3.14159265…
• Lambert ne 1761 mein prove kiya ki π irrational hai; Āryabhaṭa aur Zu Chongzhi bhi aisa hi maante lagte hain.
• Isliye 22/7, 3.14, 355/113 aur 3.1416 sirf π ke approximate values hain, kabhi exact value nahi.
• π irrational hai, isliye iske liye koi 'best' fraction nahi: π ke paas kisi bhi fraction se aur paas wala fraction mil jaata hai.

💡 Write '≈' (approximately equal) when you replace π by 22/7 or 3.14.π की जगह 22/7 या 3.14 लेते समय '≈' (लगभग बराबर) लिखिए।π ki jagah 22/7 ya 3.14 lete waqt '≈' (lagbhag barabar) likhiye.

• An arc with central angle θ° is θ/360 of the whole circle.
• Arc length l = 2πr × θ/360°.
• Perimeter of a sector = l + 2r (curved part + two radii).
• A semicircle (θ = 180°) has arc length πr; a quarter circle (θ = 90°) has πr/2.
• Doubling θ doubles the arc; doubling r also doubles the arc.

• θ° केंद्रीय कोण वाला चाप पूरे वृत्त का θ/360 भाग है।
• चाप की लंबाई l = 2πr × θ/360°।
• त्रिज्यखंड का परिमाप = l + 2r (वक्र भाग + दो त्रिज्याएँ)।
• अर्धवृत्त (θ = 180°) के चाप की लंबाई πr; चौथाई वृत्त (θ = 90°) की πr/2।
• θ दुगुना करने पर चाप दुगुना; r दुगुनी करने पर भी चाप दुगुना।

• θ° central angle wala arc poore circle ka θ/360 hissa hai.
• Arc length l = 2πr × θ/360°.
• Sector ka perimeter = l + 2r (curved part + do radii).
• Semicircle (θ = 180°) ki arc length πr; quarter circle (θ = 90°) ki πr/2.
• θ double karne par arc double; r double karne par bhi arc double.

💡 Perimeter of a sector needs the two radii too; arc length alone is not the perimeter.त्रिज्यखंड के परिमाप में दोनों त्रिज्याएँ भी जोड़िए; अकेली चाप की लंबाई परिमाप नहीं है।Sector ke perimeter mein dono radii bhi jodiye; akeli arc length perimeter nahi hai.

• Two equal circles of radius r, each passing through the other's centre: the outer boundary is two arcs of 240° each, total 2 × (2/3) × 2πr = 8πr/3.
• Reason: the centres and an intersection point form an equilateral triangle, so each inner arc is 120° (1/3 of a circle) and each outer arc is 240° (2/3).
• Semicircle paradox: a big semicircle on PQ has the same length as several small semicircles whose diameters together make up PQ (π × half of PQ in both cases).
• Perimeter and area are independent: shapes with the same perimeter can have different areas (a 5 × 5 square and a 9 × 1 rectangle both have perimeter 20, areas 25 and 9).
• Among rectangles with a fixed perimeter, the square has the largest area.

• r त्रिज्या के दो बराबर वृत्त, हर एक दूसरे के केंद्र से होकर: बाहरी सीमा 240° के दो चाप हैं, कुल 2 × (2/3) × 2πr = 8πr/3।
• कारण: दोनों केंद्र और एक प्रतिच्छेद बिंदु समबाहु त्रिभुज बनाते हैं, अतः हर अंदर वाला चाप 120° (वृत्त का 1/3) और हर बाहरी चाप 240° (2/3) है।
• अर्धवृत्त विरोधाभास: PQ पर बड़ा अर्धवृत्त उतना ही लंबा है जितने वे कई छोटे अर्धवृत्त जिनके व्यास मिलकर PQ बनाते हैं (दोनों में π × PQ का आधा)।
• परिमाप और क्षेत्रफल स्वतंत्र हैं: समान परिमाप वाली आकृतियों के क्षेत्रफल अलग हो सकते हैं (5 × 5 वर्ग और 9 × 1 आयत दोनों का परिमाप 20, क्षेत्रफल 25 और 9)।
• निश्चित परिमाप वाले आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल सबसे अधिक होता है।

• r radius ke do barabar circles, har ek doosre ke centre se ho kar: bahar ki boundary 240° ke do arcs hain, total 2 × (2/3) × 2πr = 8πr/3.
• Reason: dono centres aur ek intersection point equilateral triangle banate hain, isliye har andar wala arc 120° (circle ka 1/3) aur har bahar wala arc 240° (2/3) hai.
• Semicircle paradox: PQ par bada semicircle utna hi lamba hai jitne woh kai chhote semicircles jinke diameters milkar PQ banate hain (dono mein π × PQ ka half).
• Perimeter aur area independent hain: same perimeter wali shapes ke area alag ho sakte hain (5 × 5 square aur 9 × 1 rectangle dono ka perimeter 20, area 25 aur 9).
• Fixed perimeter wale rectangles mein square ka area sabse zyada hota hai.

💡 In arc puzzles, first find the central angle of each arc using equilateral or isosceles triangles.चाप वाली पहेलियों में पहले समबाहु या समद्विबाहु त्रिभुज से हर चाप का केंद्रीय कोण निकालिए।Arc wale puzzles mein pehle equilateral ya isosceles triangle se har arc ka central angle nikaliye.

• Area = amount of surface inside a shape, measured in square units (cm², m²).
• Rectangle: area = length × breadth. Square: side².
• Parallelogram: cut off a triangle from one side and attach it to the other; it becomes a rectangle with the same base and height.
• So area of parallelogram = base × height (b × h), where h is the perpendicular distance between the base and its opposite side.
• The slant side is NOT the height. The same works for a 'thin' parallelogram by repeating the cut.
• Knowing only the sides of a parallelogram does not fix its area: tilting it keeps the sides but changes the height.

• क्षेत्रफल = आकृति के अंदर की सतह की मात्रा, वर्ग मात्रकों में (cm², m²)।
• आयत: क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई। वर्ग: भुजा²।
• समांतर चतुर्भुज: एक ओर से त्रिभुज काटकर दूसरी ओर जोड़िए; यह उसी आधार और ऊँचाई वाला आयत बन जाता है।
• अतः समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई (b × h), जहाँ h आधार और सम्मुख भुजा के बीच की लंबवत दूरी है।
• तिरछी भुजा ऊँचाई नहीं है। 'पतले' समांतर चतुर्भुज में यही कटाई बार-बार करने से भी यही परिणाम मिलता है।
• केवल भुजाएँ जानने से समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल तय नहीं होता: उसे झुकाने पर भुजाएँ वही रहती हैं पर ऊँचाई बदल जाती है।

• Area = shape ke andar ki surface ki maatra, square units mein (cm², m²).
• Rectangle: area = length × breadth. Square: side².
• Parallelogram: ek taraf se triangle kaat kar doosri taraf jodiye; yeh same base aur height wala rectangle ban jaata hai.
• Isliye parallelogram ka area = base × height (b × h), jahan h base aur opposite side ke beech ki perpendicular doori hai.
• Tirchhi side height nahi hai. 'Patle' parallelogram mein yahi cut baar-baar karne se bhi yahi result milta hai.
• Sirf sides jaanne se parallelogram ka area fix nahi hota: use jhukane par sides wahi rehti hain par height badal jaati hai.

💡 Check your answer: a height can never be longer than the slant side it sits next to.उत्तर जाँचिए: ऊँचाई अपने पास की तिरछी भुजा से कभी लंबी नहीं हो सकती।Answer check kijiye: height apne paas ki tirchhi side se kabhi lambi nahi ho sakti.

• A diagonal splits a parallelogram into two congruent triangles, so area of a triangle = ½ × base × height.
• Any side can be the base; the height is the perpendicular from the opposite vertex to it.
• Heron's formula (Heron of Alexandria) gives the area from the three sides a, b, c alone.
• Semi-perimeter s = (a + b + c)/2; area = √(s(s − a)(s − b)(s − c)).
• Equilateral triangle of side a: area = (√3/4)a².
• Right triangle: area = ½ × (product of the two legs).
• Brahmagupta's formula: a cyclic quadrilateral with sides a, b, c, d and s = (a + b + c + d)/2 has area √((s − a)(s − b)(s − c)(s − d)). Put d = 0 and you get Heron's formula.

• विकर्ण समांतर चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटता है, अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई।
• कोई भी भुजा आधार हो सकती है; ऊँचाई सम्मुख शीर्ष से उस पर डाला गया लंब है।
• हीरोन का सूत्र (अलेक्ज़ेंड्रिया के हीरोन) केवल तीन भुजाओं a, b, c से क्षेत्रफल देता है।
• अर्धपरिमाप s = (a + b + c)/2; क्षेत्रफल = √(s(s − a)(s − b)(s − c))।
• भुजा a वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4)a²।
• समकोण त्रिभुज: क्षेत्रफल = ½ × (दोनों पादों का गुणनफल)।
• ब्रह्मगुप्त का सूत्र: भुजाओं a, b, c, d और s = (a + b + c + d)/2 वाले चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल √((s − a)(s − b)(s − c)(s − d)) है। d = 0 रखने पर हीरोन का सूत्र मिलता है।

• Diagonal parallelogram ko do congruent triangles mein baantta hai, isliye triangle ka area = ½ × base × height.
• Koi bhi side base ho sakti hai; height opposite vertex se us par dala gaya perpendicular hai.
• Heron's formula (Alexandria ke Heron) sirf teen sides a, b, c se area deta hai.
• Semi-perimeter s = (a + b + c)/2; area = √(s(s − a)(s − b)(s − c)).
• Side a wale equilateral triangle ka area = (√3/4)a².
• Right triangle: area = ½ × (dono legs ka product).
• Brahmagupta's formula: sides a, b, c, d aur s = (a + b + c + d)/2 wale cyclic quadrilateral ka area √((s − a)(s − b)(s − c)(s − d)) hai. d = 0 rakhne par Heron's formula milta hai.

💡 Write s − a, s − b, s − c on separate lines before multiplying: most mistakes happen there.गुणा करने से पहले s − a, s − b, s − c अलग-अलग लिखिए: अधिकतर गलतियाँ वहीं होती हैं।Multiply karne se pehle s − a, s − b, s − c alag-alag likhiye: zyaadatar galtiyan wahin hoti hain.

• 'Squaring' a shape means constructing a square with the same area.
• Baudhāyana's Śulbasūtra (about 800 BCE) gives a construction to square a rectangle with sides a and b (a > b).
• Idea: cut the rectangle and rearrange it as a big square of side (a + b)/2 with a small square of side (a − b)/2 missing.
• Identity behind it: ((a + b)/2)² − ((a − b)/2)² = ab.
• Using Baudhāyana–Pythagoras, a right triangle with hypotenuse (a + b)/2 and one leg (a − b)/2 has the other leg √(ab): that is the side of the required square.
• Example: rectangle 9 cm × 4 cm (area 36 cm²) → square of side √36 = 6 cm.

• किसी आकृति का 'वर्गीकरण' यानी उसी क्षेत्रफल का वर्ग बनाना।
• बौधायन के शुल्बसूत्र (लगभग 800 ई.पू.) में भुजाओं a और b (a > b) वाले आयत को वर्ग में बदलने की रचना है।
• विचार: आयत को काटकर (a + b)/2 भुजा वाले बड़े वर्ग के रूप में जमाइए, जिसमें से (a − b)/2 भुजा का छोटा वर्ग कम हो।
• इसके पीछे सर्वसमिका: ((a + b)/2)² − ((a − b)/2)² = ab।
• बौधायन–पाइथागोरस से, कर्ण (a + b)/2 और एक पाद (a − b)/2 वाले समकोण त्रिभुज का दूसरा पाद √(ab) है: यही अभीष्ट वर्ग की भुजा है।
• उदाहरण: 9 cm × 4 cm का आयत (क्षेत्रफल 36 cm²) → √36 = 6 cm भुजा का वर्ग।

• Kisi shape ka 'squaring' yaani usi area ka square banana.
• Baudhāyana ke Śulbasūtra (lagbhag 800 BCE) mein sides a aur b (a > b) wale rectangle ko square mein badalne ki construction hai.
• Idea: rectangle ko kaat kar (a + b)/2 side wale bade square ke roop mein jamaiye, jismein se (a − b)/2 side ka chhota square kam ho.
• Iske peeche identity: ((a + b)/2)² − ((a − b)/2)² = ab.
• Baudhāyana–Pythagoras se, hypotenuse (a + b)/2 aur ek leg (a − b)/2 wale right triangle ka doosra leg √(ab) hai: yahi required square ki side hai.
• Example: 9 cm × 4 cm ka rectangle (area 36 cm²) → √36 = 6 cm side ka square.

💡 The side of the equal square is the geometric mean √(ab), not the average (a + b)/2.बराबर वर्ग की भुजा गुणोत्तर माध्य √(ab) है, औसत (a + b)/2 नहीं।Barabar square ki side geometric mean √(ab) hai, average (a + b)/2 nahi.

• Area of a circle = πr².
• Idea: cut the circle into many thin sectors and arrange them alternately; they form almost a rectangle of length πr (half the circumference) and height r, so area = πr × r.
• Archimedes showed the constant in this formula is the same π as in C = 2πr (using regular polygons with more and more sides).
• Area of a sector with angle θ° = πr² × θ/360°.
• Segment of a circle = region between a chord and its arc; minor segment area = sector area − area of the triangle formed by the two radii and the chord.
• Major sector = circle − minor sector.

• वृत्त का क्षेत्रफल = πr²।
• विचार: वृत्त को बहुत से पतले त्रिज्यखंडों में काटकर बारी-बारी से जमाइए; लगभग πr लंबाई (आधी परिधि) और r ऊँचाई का आयत बनता है, अतः क्षेत्रफल = πr × r।
• आर्किमिडीज़ ने दिखाया कि इस सूत्र का अचर वही π है जो C = 2πr में है (अधिक से अधिक भुजाओं वाले सम बहुभुजों से)।
• θ° कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr² × θ/360°।
• वृत्तखंड = जीवा और उसके चाप के बीच का क्षेत्र; लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल − दो त्रिज्याओं और जीवा से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल।
• दीर्घ त्रिज्यखंड = वृत्त − लघु त्रिज्यखंड।

• Circle ka area = πr².
• Idea: circle ko bahut se patle sectors mein kaat kar baari-baari se jamaiye; lagbhag πr length (half circumference) aur r height ka rectangle banta hai, isliye area = πr × r.
• Archimedes ne dikhaya ki is formula ka constant wahi π hai jo C = 2πr mein hai (zyada se zyada sides wale regular polygons se).
• θ° angle wale sector ka area = πr² × θ/360°.
• Segment = chord aur uske arc ke beech ka region; minor segment ka area = sector ka area − do radii aur chord se bane triangle ka area.
• Major sector = circle − minor sector.

💡 Area uses r², circumference uses r: a squared unit (cm²) in the answer tells you it is an area.क्षेत्रफल में r², परिधि में r: उत्तर में वर्ग मात्रक (cm²) बताता है कि यह क्षेत्रफल है।Area mein r², circumference mein r: answer mein square unit (cm²) batata hai ki yeh area hai.