I'm Up and Down, and Round and Roundमैं ऊपर-नीचे और गोल-गोल घूमता हूँ (वृत्त)I'm Up and Down, and Round and Round

• A circle is made of every point of a plane lying at one fixed distance r (the radius) from one fixed point O (the centre).
• Radius: a segment from the centre to any point on the circle; all radii of a circle are equal.
• Chord: a segment joining any two points on the circle. Diameter: a chord through the centre; diameter = 2r.
• The diameter is the longest chord of a circle (for a circle of radius 5 cm, no chord is longer than 10 cm).
• Arc: a connected piece of the circle between two points. The smaller piece is the minor arc, the bigger one the major arc; a diameter cuts the circle into two semicircles.
• An arc whose angle at the centre is less than 180° is minor; more than 180° is major.
• Segment: region between a chord and its arc. Sector: region between two radii and the arc they cut off.
• Circles with the same centre but different radii are called concentric circles.

• वृत्त किसी तल के उन सभी बिंदुओं का समूह है जो एक स्थिर बिंदु (केंद्र O) से एक निश्चित दूरी (त्रिज्या r) पर हों।
• त्रिज्या: केंद्र से वृत्त के किसी बिंदु तक का रेखाखंड; एक वृत्त की सभी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।
• जीवा: वृत्त के किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड। व्यास: केंद्र से होकर जाने वाली जीवा; व्यास = 2r।
• व्यास वृत्त की सबसे लंबी जीवा है (5 cm त्रिज्या वाले वृत्त में कोई जीवा 10 cm से लंबी नहीं होती)।
• चाप: दो बिंदुओं के बीच वृत्त का एक जुड़ा हुआ भाग। छोटा भाग लघु चाप, बड़ा भाग दीर्घ चाप; व्यास वृत्त को दो अर्धवृत्तों में बाँटता है।
• जिस चाप का केंद्र पर कोण 180° से कम हो वह लघु चाप है; 180° से अधिक हो तो दीर्घ चाप।
• वृत्तखंड: जीवा और उसके चाप के बीच का क्षेत्र। त्रिज्यखंड: दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से घिरा क्षेत्र।
• एक ही केंद्र और अलग-अलग त्रिज्या वाले वृत्त संकेंद्रीय वृत्त कहलाते हैं।

• Circle plane ke un saare points ka set hai jo ek fixed point (centre O) se ek fixed doori (radius r) par hon.
• Radius: centre se circle ke kisi point tak ka segment; ek circle ke saare radii barabar hote hain.
• Chord: circle ke kinhi do points ko jodne wala segment. Diameter: centre se guzarne wali chord; diameter = 2r.
• Diameter circle ki sabse lambi chord hai (5 cm radius wale circle mein koi chord 10 cm se lambi nahi hoti).
• Arc: do points ke beech circle ka ek juda hua hissa. Chhota hissa minor arc, bada hissa major arc; diameter circle ko do semicircles mein baantta hai.
• Jis arc ka centre par angle 180° se kam ho woh minor arc hai; 180° se zyada ho to major arc.
• Segment: chord aur uske arc ke beech ka region. Sector: do radii aur unke beech ke arc se ghira region.
• Same centre aur alag radius wale circles concentric circles kehlate hain.

💡 In every figure, mark all radii as equal first: they give isosceles triangles and congruent triangles.हर आकृति में सबसे पहले सभी त्रिज्याओं को बराबर चिह्नित कीजिए: इनसे समद्विबाहु और सर्वांगसम त्रिभुज मिलते हैं।Har figure mein sabse pehle saare radii ko barabar mark kijiye: inse isosceles aur congruent triangles milte hain.

• A circle has rotational symmetry about its centre through ANY angle: turn it by 1°, 37° or 200° and it looks exactly the same.
• Every diameter is a line of reflection symmetry, so a circle has infinitely many lines of symmetry.
• Every line of symmetry of a circle passes through its centre.
• Compare: a square has 4 lines of symmetry and looks the same after turns of 90°, 180°, 270°, 360°.
• A regular pentagon has 5 lines of symmetry and a regular hexagon has 6; a circle beats them all.
• This perfect symmetry is why wheels are circular: every point of the rim is the same distance from the axle.

• वृत्त में केंद्र के परितः किसी भी कोण से घूर्णन सममिति होती है: इसे 1°, 37° या 200° घुमाइए, यह बिल्कुल वैसा ही दिखता है।
• हर व्यास परावर्तन सममिति की रेखा है, अतः वृत्त की सममिति रेखाएँ अनगिनत (अपरिमित) होती हैं।
• वृत्त की हर सममिति रेखा उसके केंद्र से होकर जाती है।
• तुलना: वर्ग की 4 सममिति रेखाएँ होती हैं और यह 90°, 180°, 270°, 360° घुमाने पर वैसा ही दिखता है।
• सम पंचभुज की 5 और सम षड्भुज की 6 सममिति रेखाएँ होती हैं; वृत्त इन सबसे आगे है।
• इसी पूर्ण सममिति के कारण पहिए गोल होते हैं: रिम का हर बिंदु धुरी से बराबर दूरी पर होता है।

• Circle mein centre ke around KISI BHI angle se rotational symmetry hoti hai: ise 1°, 37° ya 200° ghumaiye, yeh bilkul waisa hi dikhta hai.
• Har diameter reflection symmetry ki line hai, isliye circle ki lines of symmetry infinite hoti hain.
• Circle ki har line of symmetry uske centre se guzarti hai.
• Compare: square ki 4 lines of symmetry hoti hain aur yeh 90°, 180°, 270°, 360° ghumane par waisa hi dikhta hai.
• Regular pentagon ki 5 aur regular hexagon ki 6 lines of symmetry hoti hain; circle in sabse aage hai.
• Isi perfect symmetry ki wajah se wheels gol hote hain: rim ka har point axle se barabar doori par hota hai.

💡 If asked 'order of rotational symmetry of a circle', say it is infinite (any angle works).यदि 'वृत्त की घूर्णन सममिति का क्रम' पूछा जाए तो कहिए अनंत (कोई भी कोण चलता है)।Agar 'circle ki rotational symmetry ka order' poocha jaaye to kahiye infinite (koi bhi angle chalta hai).

• Through one point: infinitely many circles.
• Through two points A and B: infinitely many circles; all their centres lie on the perpendicular bisector of AB.
• Every point P on the perpendicular bisector of AB has PA = PB, and no other point does; so this line is the locus of all points at equal distance from A and B.
• The smallest circle through A and B has AB as its diameter (radius = AB/2); there is no largest one.
• Through three collinear points: no circle at all.
• Theorem 1: through three non-collinear points there is exactly one circle.
• Its centre is where the perpendicular bisectors of AB and BC meet; this point is the circumcentre and the circle is the circumcircle of triangle ABC.
• The circumcentre is inside an acute triangle, at the midpoint of the hypotenuse in a right triangle, and outside an obtuse triangle.

• एक बिंदु से: अनगिनत वृत्त।
• दो बिंदुओं A और B से: अनगिनत वृत्त; इन सबके केंद्र AB के लंब समद्विभाजक पर होते हैं।
• AB का लंब समद्विभाजक A और B से समदूरस्थ बिंदुओं का बिंदुपथ है (इस पर हर बिंदु के लिए PA = PB, और केवल इन्हीं के लिए)।
• A और B से गुज़रने वाले सबसे छोटे वृत्त का व्यास AB होता है (त्रिज्या = AB/2); सबसे बड़ा कोई नहीं।
• तीन संरेख बिंदुओं से: कोई वृत्त नहीं।
• प्रमेय 1: तीन असंरेख बिंदुओं से होकर ठीक एक ही वृत्त जाता है।
• इसका केंद्र AB और BC के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु है; यह परिकेंद्र है और वृत्त त्रिभुज ABC का परिवृत्त है।
• परिकेंद्र न्यूनकोण त्रिभुज में अंदर, समकोण त्रिभुज में कर्ण के मध्यबिंदु पर और अधिककोण त्रिभुज में बाहर होता है।

• Ek point se: infinite circles.
• Do points A aur B se: infinite circles; in sabke centres AB ke perpendicular bisector par hote hain.
• AB ka perpendicular bisector A aur B se equidistant points ka locus hai (is par har point ke liye PA = PB, aur sirf inhi ke liye).
• A aur B se guzarne wale sabse chhote circle ka diameter AB hota hai (radius = AB/2); sabse bada koi nahi.
• Teen collinear points se: koi circle nahi.
• Theorem 1: teen non-collinear points se ho kar theek ek hi circle jaata hai.
• Iska centre AB aur BC ke perpendicular bisectors ka intersection point hai; yeh circumcentre hai aur circle triangle ABC ka circumcircle hai.
• Circumcentre acute triangle mein andar, right triangle mein hypotenuse ke midpoint par aur obtuse triangle mein bahar hota hai.

💡 To find the centre of any circle (or of a broken bangle!), draw two chords and their perpendicular bisectors: they meet at the centre.किसी वृत्त (या टूटी चूड़ी!) का केंद्र खोजने के लिए दो जीवाएँ और उनके लंब समद्विभाजक खींचिए: वे केंद्र पर मिलते हैं।Kisi circle (ya tooti choodi!) ka centre dhundhne ke liye do chords aur unke perpendicular bisectors kheenchiye: woh centre par milte hain.

• The angle subtended by chord AB at the centre O is ∠AOB.
• Theorem 2: if two chords of a circle have equal length, the angles they make at the centre are also equal.
• Proof idea: if AB = DE, then in △AOB and △DOE, OA = OD, OB = OE (radii) and AB = DE, so the triangles are congruent (SSS) and ∠AOB = ∠DOE.
• Theorem 3 (converse): chords that subtend equal angles at the centre are equal.
• Proof idea: OA = OD, OB = OE and ∠AOB = ∠DOE, so the triangles are congruent (SAS) and AB = DE.
• The same two results hold for chords of two circles with equal radii (congruent circles).

• जीवा AB द्वारा केंद्र O पर अंतरित कोण ∠AOB है।
• प्रमेय 2: वृत्त की बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।
• उपपत्ति का विचार: यदि AB = DE, तो △AOB और △DOE में OA = OD, OB = OE (त्रिज्याएँ) और AB = DE, अतः त्रिभुज सर्वांगसम (SSS) और ∠AOB = ∠DOE।
• प्रमेय 3 (विलोम): जो जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करें वे बराबर होती हैं।
• उपपत्ति का विचार: OA = OD, OB = OE और ∠AOB = ∠DOE, अतः त्रिभुज सर्वांगसम (SAS) और AB = DE।
• यही दोनों परिणाम बराबर त्रिज्या वाले दो वृत्तों (सर्वांगसम वृत्तों) की जीवाओं पर भी लागू होते हैं।

• Chord AB dwara centre O par subtended angle ∠AOB hai.
• Theorem 2: circle ki barabar chords centre par barabar angles subtend karti hain.
• Proof idea: agar AB = DE, to △AOB aur △DOE mein OA = OD, OB = OE (radii) aur AB = DE, isliye triangles congruent (SSS) aur ∠AOB = ∠DOE.
• Theorem 3 (converse): jo chords centre par barabar angles subtend karein woh barabar hoti hain.
• Proof idea: OA = OD, OB = OE aur ∠AOB = ∠DOE, isliye triangles congruent (SAS) aur AB = DE.
• Yahi dono results barabar radius wale do circles (congruent circles) ki chords par bhi lagte hain.

💡 Chord-equal ⇒ use SSS; angle-equal ⇒ use SAS. The two radii are always your two equal sides.जीवा बराबर ⇒ SSS; कोण बराबर ⇒ SAS। दो त्रिज्याएँ सदा आपकी दो बराबर भुजाएँ हैं।Chord barabar ⇒ SSS; angle barabar ⇒ SAS. Do radii hamesha aapki do barabar sides hain.

• Theorem 4: the line joining the centre to the midpoint of a chord is perpendicular to the chord.
• Proof idea: M is the midpoint of AB; △OAM ≅ △OBM (SSS: OA = OB, AM = BM, OM common), so ∠OMA = ∠OMB; they form a linear pair, so each is 90°.
• Theorem 5 (converse): the perpendicular from the centre to a chord bisects the chord.
• Proof idea: OM ⟂ AB; △OMA ≅ △OMB (RHS: hypotenuse OA = OB, OM common), so AM = BM.
• Pythagoras in △OMB: r² = d² + (AB/2)², where d = OM is the distance of the chord from the centre.
• Chord length formula: AB = 2√(r² − d²).
• Example: r = 13 cm, d = 5 cm → AB/2 = √(169 − 25) = 12 cm, so AB = 24 cm.
• The perpendicular bisector of every chord passes through the centre.

• प्रमेय 4: केंद्र को जीवा के मध्यबिंदु से मिलाने वाली रेखा जीवा पर लंब होती है।
• उपपत्ति का विचार: M, AB का मध्यबिंदु है; △OAM ≅ △OBM (SSS: OA = OB, AM = BM, OM उभयनिष्ठ), अतः ∠OMA = ∠OMB; ये रैखिक युग्म हैं, अतः प्रत्येक 90° है।
• प्रमेय 5 (विलोम): केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
• उपपत्ति का विचार: OM ⟂ AB; △OMA ≅ △OMB (RHS: कर्ण OA = OB, OM उभयनिष्ठ), अतः AM = BM।
• △OMB में पाइथागोरस: r² = d² + (AB/2)², जहाँ d = OM जीवा की केंद्र से दूरी है।
• जीवा की लंबाई का सूत्र: AB = 2√(r² − d²)।
• उदाहरण: r = 13 cm, d = 5 cm → AB/2 = √(169 − 25) = 12 cm, अतः AB = 24 cm।
• हर जीवा का लंब समद्विभाजक केंद्र से होकर जाता है।

• Theorem 4: centre ko chord ke midpoint se jodne wali line chord par perpendicular hoti hai.
• Proof idea: M, AB ka midpoint hai; △OAM ≅ △OBM (SSS: OA = OB, AM = BM, OM common), isliye ∠OMA = ∠OMB; yeh linear pair hain, isliye har ek 90° hai.
• Theorem 5 (converse): centre se chord par dala gaya perpendicular chord ko bisect karta hai.
• Proof idea: OM ⟂ AB; △OMA ≅ △OMB (RHS: hypotenuse OA = OB, OM common), isliye AM = BM.
• △OMB mein Pythagoras: r² = d² + (AB/2)², jahan d = OM chord ki centre se doori hai.
• Chord length formula: AB = 2√(r² − d²).
• Example: r = 13 cm, d = 5 cm → AB/2 = √(169 − 25) = 12 cm, isliye AB = 24 cm.
• Har chord ka perpendicular bisector centre se guzarta hai.

💡 Always use HALF the chord in Pythagoras, then double it at the end.पाइथागोरस में सदा जीवा का आधा लीजिए, अंत में दुगुना कीजिए।Pythagoras mein hamesha chord ka half lijiye, end mein double kijiye.

• Theorem 6: equal chords are at equal distance from the centre.
• Theorem 7 (converse): chords at equal distance from the centre are equal.
• Both follow from AB = 2√(r² − d²): same r and same d give the same chord, and vice versa.
• Theorem 8: of two unequal chords, the longer chord is nearer to the centre.
• The diameter (d = 0) is the longest chord; chords get shorter as they move away from the centre.
• Careful: distance and length are NOT in simple proportion. Doubling the distance does not halve the chord.
• Example: r = 10 cm. A chord 3 cm from the centre has length 2√91 ≈ 19.08 cm; a chord 6 cm away has length 16 cm, not about 9.5 cm.

• प्रमेय 6: बराबर जीवाएँ केंद्र से बराबर दूरी पर होती हैं।
• प्रमेय 7 (विलोम): केंद्र से बराबर दूरी पर स्थित जीवाएँ बराबर होती हैं।
• दोनों AB = 2√(r² − d²) से निकलते हैं: समान r और समान d से समान जीवा, और इसका उलटा भी।
• प्रमेय 8: दो असमान जीवाओं में से बड़ी जीवा केंद्र के अधिक निकट होती है।
• व्यास (d = 0) सबसे लंबी जीवा है; केंद्र से दूर जाने पर जीवाएँ छोटी होती जाती हैं।
• सावधान: दूरी और लंबाई सरल अनुपात में नहीं हैं। दूरी दुगुनी करने से जीवा आधी नहीं होती।
• उदाहरण: r = 10 cm। केंद्र से 3 cm दूर जीवा की लंबाई 2√91 ≈ 19.08 cm है; 6 cm दूर जीवा 16 cm है, लगभग 9.5 cm नहीं।

• Theorem 6: barabar chords centre se barabar doori par hoti hain.
• Theorem 7 (converse): centre se barabar doori par padi chords barabar hoti hain.
• Dono AB = 2√(r² − d²) se nikalte hain: same r aur same d se same chord, aur iska ulta bhi.
• Theorem 8: do unequal chords mein se badi chord centre ke zyada paas hoti hai.
• Diameter (d = 0) sabse lambi chord hai; centre se door jaane par chords chhoti hoti jaati hain.
• Dhyaan: distance aur length simple proportion mein nahi hain. Doori double karne se chord half nahi hoti.
• Example: r = 10 cm. Centre se 3 cm door chord ki length 2√91 ≈ 19.08 cm hai; 6 cm door chord 16 cm hai, lagbhag 9.5 cm nahi.

💡 For parallel chords always answer both cases (same side and opposite sides) unless the figure fixes one.समांतर जीवाओं में दोनों स्थितियाँ (एक ओर और विपरीत ओर) लिखिए, जब तक आकृति एक तय न करे।Parallel chords mein dono cases (ek taraf aur opposite taraf) likhiye, jab tak figure ek fix na kare.

• The angle subtended by arc AB at the centre is ∠AOB, measured by sweeping from OA to OB along that arc (for a major arc this angle is more than 180°).
• The angle subtended by arc AXB at a point P on the circle outside the arc is ∠APB.
• Theorem 9: the angle at the centre is double the angle at any point on the remaining part of the circle: ∠AOB = 2∠APB.
• Proof idea: join PO and extend it to E. △OAP and △OBP are isosceles (radii), and an exterior angle equals the sum of the two opposite interior angles: ∠AOE = 2∠APO and ∠BOE = 2∠BPO; add them.
• Angles in the same segment are equal: every point P on the same arc gives the same ∠APB (each is half of ∠AOB).
• Corollary: the angle in a semicircle is 90° (the diameter subtends 180° at the centre, so half of it is 90°).
• A chord with central angle 60° equals the radius, because △AOB becomes equilateral.
• Example: ∠AOB = 140°. For P on the major arc, ∠APB = 70°.

• चाप AB द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण ∠AOB है, जिसे उस चाप के साथ OA से OB तक घूमकर मापते हैं (दीर्घ चाप के लिए यह कोण 180° से अधिक होता है)।
• चाप AXB द्वारा चाप के बाहर वृत्त के किसी बिंदु P पर अंतरित कोण ∠APB है।
• प्रमेय 9: केंद्र पर बना कोण वृत्त के शेष भाग के किसी भी बिंदु पर बने कोण का दुगुना होता है: ∠AOB = 2∠APB।
• उपपत्ति का विचार: PO मिलाकर E तक बढ़ाइए। △OAP और △OBP समद्विबाहु हैं (त्रिज्याएँ), और बहिष्कोण दोनों अंतःसम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है: ∠AOE = 2∠APO और ∠BOE = 2∠BPO; दोनों को जोड़िए।
• एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं: उसी चाप पर हर बिंदु P पर ∠APB समान होता है (प्रत्येक ∠AOB का आधा है)।
• उपप्रमेय: अर्धवृत्त में बना कोण 90° होता है (व्यास केंद्र पर 180° अंतरित करता है, उसका आधा 90°)।
• जिस जीवा का केंद्रीय कोण 60° हो वह त्रिज्या के बराबर होती है, क्योंकि △AOB समबाहु बन जाता है।
• उदाहरण: ∠AOB = 140°। दीर्घ चाप पर बिंदु P के लिए ∠APB = 70°।

• Arc AB dwara centre par subtended angle ∠AOB hai, jise us arc ke saath OA se OB tak ghoom kar naapte hain (major arc ke liye yeh angle 180° se zyada hota hai).
• Arc AXB dwara arc ke bahar circle ke kisi point P par subtended angle ∠APB hai.
• Theorem 9: centre par bana angle circle ke baaki hisse ke kisi bhi point par bane angle ka double hota hai: ∠AOB = 2∠APB.
• Proof idea: PO jodkar E tak badhaiye. △OAP aur △OBP isosceles hain (radii), aur exterior angle dono opposite interior angles ke sum ke barabar hota hai: ∠AOE = 2∠APO aur ∠BOE = 2∠BPO; dono ko jodiye.
• Ek hi segment ke angles barabar hote hain: usi arc par har point P par ∠APB same hota hai (har ek ∠AOB ka half hai).
• Corollary: semicircle mein bana angle 90° hota hai (diameter centre par 180° subtend karta hai, uska half 90°).
• Jis chord ka central angle 60° ho woh radius ke barabar hoti hai, kyonki △AOB equilateral ban jaata hai.
• Example: ∠AOB = 140°. Major arc par point P ke liye ∠APB = 70°.

💡 Before halving, check which arc the angle stands on: the point must be on the OTHER part of the circle.आधा करने से पहले देखिए कोण किस चाप पर बना है: बिंदु वृत्त के दूसरे भाग पर होना चाहिए।Half karne se pehle dekhiye angle kis arc par bana hai: point circle ke doosre hisse par hona chahiye.

• Points that lie on one circle are called concyclic.
• Any 3 non-collinear points are concyclic; 4 points may or may not be.
• Theorem 10: if segment AB subtends equal angles at two points C and D on the same side of AB, then A, B, C, D are concyclic.
• A quadrilateral whose four vertices lie on a circle is a cyclic quadrilateral.
• Theorem 11: the opposite angles of a cyclic quadrilateral add up to 180°.
• Proof idea: ∠A and ∠C stand on the two arcs BD; their central angles add to 360°, so ∠A + ∠C = ½ × 360° = 180°.
• Theorem 12 (converse): if one pair of opposite angles of a quadrilateral adds to 180°, the quadrilateral is cyclic.
• Every rectangle (and square) is cyclic; a parallelogram that is not a rectangle is not cyclic.

• जो बिंदु एक ही वृत्त पर हों वे चक्रीय (concyclic) बिंदु कहलाते हैं।
• कोई भी 3 असंरेख बिंदु चक्रीय होते हैं; 4 बिंदु हो भी सकते हैं और नहीं भी।
• प्रमेय 10: यदि रेखाखंड AB, AB के एक ही ओर स्थित दो बिंदुओं C और D पर बराबर कोण अंतरित करे, तो A, B, C, D चक्रीय होते हैं।
• जिस चतुर्भुज के चारों शीर्ष एक वृत्त पर हों वह चक्रीय चतुर्भुज है।
• प्रमेय 11: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
• उपपत्ति का विचार: ∠A और ∠C दोनों चापों BD पर बने हैं; उनके केंद्रीय कोणों का योग 360° है, अतः ∠A + ∠C = ½ × 360° = 180°।
• प्रमेय 12 (विलोम): यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग 180° हो, तो वह चक्रीय है।
• हर आयत (और वर्ग) चक्रीय है; जो समांतर चतुर्भुज आयत नहीं है वह चक्रीय नहीं होता।

• Jo points ek hi circle par hon woh concyclic points kehlate hain.
• Koi bhi 3 non-collinear points concyclic hote hain; 4 points ho bhi sakte hain aur nahi bhi.
• Theorem 10: agar segment AB, AB ke ek hi taraf pade do points C aur D par barabar angles subtend kare, to A, B, C, D concyclic hote hain.
• Jis quadrilateral ke chaaron vertices ek circle par hon woh cyclic quadrilateral hai.
• Theorem 11: cyclic quadrilateral ke opposite angles ka sum 180° hota hai.
• Proof idea: ∠A aur ∠C dono arcs BD par bane hain; unke central angles ka sum 360° hai, isliye ∠A + ∠C = ½ × 360° = 180°.
• Theorem 12 (converse): agar kisi quadrilateral ke opposite angles ke ek pair ka sum 180° ho, to woh cyclic hai.
• Har rectangle (aur square) cyclic hai; jo parallelogram rectangle nahi hai woh cyclic nahi hota.

💡 'Opposite' means ∠A with ∠C and ∠B with ∠D, never two neighbouring angles.'सम्मुख' का अर्थ ∠A के साथ ∠C और ∠B के साथ ∠D, कभी दो पड़ोसी कोण नहीं।'Opposite' ka matlab ∠A ke saath ∠C aur ∠B ke saath ∠D, kabhi do padosi angles nahi.