Exploring Algebraic Identitiesबीजीय सर्वसमिकाओं की खोजExploring Algebraic Identities
Class 9 Maths · Chapter 4 · Exam notesकक्षा 9 गणित · अध्याय 4 · परीक्षा नोट्सClass 9 Maths · Chapter 4 · Exam notes
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- Identities and the area model of (a + b)² and (a − b)²सर्वसमिकाएँ और (a + b)², (a − b)² का क्षेत्रफल मॉडलIdentities aur (a + b)², (a − b)² ka area model
- Products and factors with algebra tilesबीजीय टाइलों से गुणनफल और गुणनखंडAlgebra tiles se products aur factors
- More identities: (a + b + c)² and a² − b²और सर्वसमिकाएँ: (a + b + c)² और a² − b²More identities: (a + b + c)² aur a² − b²
- Factorisation using identities and splitting the middle termसर्वसमिकाओं और मध्य पद विभक्त करके गुणनखंडनIdentities aur middle term split karke factorisation
- Cube identities and x³ + y³ + z³ − 3xyzघन सर्वसमिकाएँ और x³ + y³ + z³ − 3xyzCube identities aur x³ + y³ + z³ − 3xyz
- Simplifying rational expressionsपरिमेय व्यंजकों का सरलीकरणRational expressions simplify karna
Start here: the must-know basics of this chapter.यहाँ से शुरू करें: इस अध्याय की ज़रूरी बेसिक बातें।Yahan se shuru kijiye: is chapter ki zaroori basic baatein.
An identity is an equation that is true for every value of its variables. This chapter shows the identities as areas (squares, rectangles, tiles) and volumes (cubes), then uses them three ways: quick squares and products of numbers, factorising expressions, and simplifying algebraic fractions. Learn the identity list by heart: almost every question uses one.सर्वसमिका वह समीकरण है जो अपने चरों के हर मान के लिए सत्य हो। यह अध्याय सर्वसमिकाओं को क्षेत्रफल (वर्ग, आयत, टाइलें) और आयतन (घन) के रूप में दिखाता है, फिर उनका तीन तरह उपयोग करता है: संख्याओं के जल्दी वर्ग और गुणनफल, व्यंजकों का गुणनखंडन, और बीजीय भिन्नों का सरलीकरण। सर्वसमिकाओं की सूची कंठस्थ कीजिए: लगभग हर प्रश्न में कोई एक लगती है।Identity woh equation hai jo apne variables ki har value ke liye sahi ho. Yeh chapter identities ko area (squares, rectangles, tiles) aur volume (cubes) ki tarah dikhata hai, phir unka teen tarah use karta hai: numbers ke jaldi squares aur products, expressions ka factorisation, aur algebraic fractions ko simplify karna. Identity list ratt lijiye: lagbhag har sawaal mein koi ek lagti hai.
- See it as an area or volume modelइसे क्षेत्रफल या आयतन मॉडल के रूप में देखिएIse area ya volume model ki tarah dekhiye
- Prove it for all values with the distributive lawवितरण नियम से इसे सभी मानों के लिए सिद्ध कीजिएDistributive law se ise saari values ke liye prove kijiye
- Expand: (a + b)² → a² + 2ab + b²प्रसार: (a + b)² → a² + 2ab + b²Expand: (a + b)² → a² + 2ab + b²
- Factorise: read the identity right to leftगुणनखंडन: सर्वसमिका को दाएँ से बाएँ पढ़िएFactorise: identity ko right se left padhiye
- Use it for quick squares and products, and to simplify fractionsजल्दी वर्ग, गुणनफल और भिन्नों के सरलीकरण में उपयोग कीजिएJaldi squares, products aur fractions simplify karne mein use kijiye
🏅 Must-know minimumज़रूरी न्यूनतमZaroori minimum
- Learn the identity list: (a ± b)², a² − b², (x + a)(x + b), (a + b + c)², (a ± b)³, x³ ± y³.
- Use identities for quick squares and products (52², 98², 103 × 97).
- Factorise: common factor → identity → split the middle term.
- Know x³ + y³ + z³ = 3xyz when x + y + z = 0.
- Simplify algebraic fractions by factorising and cancelling common factors.
- सर्वसमिकाओं की सूची याद कीजिए: (a ± b)², a² − b², (x + a)(x + b), (a + b + c)², (a ± b)³, x³ ± y³।
- जल्दी वर्ग और गुणनफल के लिए सर्वसमिकाएँ (52², 98², 103 × 97)।
- गुणनखंडन: उभयनिष्ठ गुणनखंड → सर्वसमिका → मध्य पद विभक्त करना।
- x + y + z = 0 हो तो x³ + y³ + z³ = 3xyz।
- गुणनखंड करके और उभयनिष्ठ गुणनखंड काटकर बीजीय भिन्न सरल कीजिए।
- Identity list yaad kijiye: (a ± b)², a² − b², (x + a)(x + b), (a + b + c)², (a ± b)³, x³ ± y³.
- Jaldi squares aur products ke liye identities (52², 98², 103 × 97).
- Factorisation: common factor → identity → middle term split.
- x + y + z = 0 ho to x³ + y³ + z³ = 3xyz.
- Factorise karke aur common factors cancel karke algebraic fractions simplify kijiye.
🎯 Quick 1-mark facts1 अंक वाले ज़रूरी तथ्य1 mark wale zaroori facts
- (a + b)² − (a − b)² = 4ab.
- (a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²).
- x² − 1 = 24 is an equation, not an identity.
- If x + y + z = 0, x³ + y³ + z³ = 3xyz.
- x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
- (a + b)² − (a − b)² = 4ab।
- (a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²)।
- x² − 1 = 24 समीकरण है, सर्वसमिका नहीं।
- यदि x + y + z = 0, तो x³ + y³ + z³ = 3xyz।
- x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)।
- (a + b)² − (a − b)² = 4ab.
- (a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²).
- x² − 1 = 24 equation hai, identity nahi.
- Agar x + y + z = 0, to x³ + y³ + z³ = 3xyz.
- x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
Full chapter notes: key points, definitions, diagrams and important questions with model answers.पूरे अध्याय के नोट्स: मुख्य बातें, परिभाषाएँ, चित्र और आदर्श उत्तरों के साथ महत्वपूर्ण प्रश्न।Poore chapter ke notes: key points, definitions, diagrams aur model answers ke saath important sawaal.
Identities and the area model of (a + b)² and (a − b)²सर्वसमिकाएँ और (a + b)², (a − b)² का क्षेत्रफल मॉडलIdentities aur (a + b)², (a − b)² ka area model
- An identity is true for all values of its variables; an equation may be true only for some values. Example: x² − 1 = 24 holds only for x = 5 or x = −5, so it is an equation, not an identity.
- A square of side (a + b) splits into a², two rectangles ab, and b²: (a + b)² = a² + 2ab + b².
- Algebraic proof (works for all numbers, also negative and fractional): (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b².
- Putting −b for b gives (a − b)² = a² − 2ab + b².
- (a + b)² ≠ a² + b²: the difference is 2ab. If a and b have the same sign, (a + b)² > a² + b².
- Quick squares: 52² = (50 + 2)² = 2500 + 200 + 4 = 2704; 98² = (100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604.
- Pattern: for three consecutive squares, smallest + largest − 2 × middle = 2, because (n − 1)² + (n + 1)² − 2n² = 2.
- सर्वसमिका अपने चरों के सभी मानों के लिए सत्य होती है; समीकरण केवल कुछ मानों के लिए सत्य हो सकता है। उदाहरण: x² − 1 = 24 केवल x = 5 या x = −5 पर सत्य है, अतः यह समीकरण है, सर्वसमिका नहीं।
- भुजा (a + b) वाला वर्ग a², दो आयत ab, और b² में बँटता है: (a + b)² = a² + 2ab + b²।
- बीजीय उपपत्ति (सभी संख्याओं के लिए, ऋणात्मक और भिन्न सहित): (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²।
- b की जगह −b रखने पर (a − b)² = a² − 2ab + b² मिलता है।
- (a + b)² ≠ a² + b²: अंतर 2ab है। यदि a और b के चिह्न समान हों तो (a + b)² > a² + b²।
- जल्दी वर्ग: 52² = (50 + 2)² = 2500 + 200 + 4 = 2704; 98² = (100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604।
- पैटर्न: तीन क्रमागत वर्गों में, सबसे छोटा + सबसे बड़ा − 2 × बीच वाला = 2, क्योंकि (n − 1)² + (n + 1)² − 2n² = 2।
- Identity apne variables ki saari values ke liye sahi hoti hai; equation sirf kuch values ke liye sahi ho sakti hai. Example: x² − 1 = 24 sirf x = 5 ya x = −5 par sahi hai, isliye yeh equation hai, identity nahi.
- Side (a + b) wala square a², do rectangles ab, aur b² mein bant-ta hai: (a + b)² = a² + 2ab + b².
- Algebraic proof (saare numbers ke liye, negative aur fraction bhi): (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b².
- b ki jagah −b rakhne par (a − b)² = a² − 2ab + b² milta hai.
- (a + b)² ≠ a² + b²: difference 2ab hai. Agar a aur b ke signs same hon to (a + b)² > a² + b².
- Jaldi squares: 52² = (50 + 2)² = 2500 + 200 + 4 = 2704; 98² = (100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604.
- Pattern: teen consecutive squares mein, sabse chhota + sabse bada − 2 × beech wala = 2, kyonki (n − 1)² + (n + 1)² − 2n² = 2.
- Algebraic identityबीजीय सर्वसमिकाAlgebraic identity
- An equation that is true for all values of the variables in it.ऐसा समीकरण जो उसमें आए चरों के सभी मानों के लिए सत्य हो।Aisi equation jo usme aaye variables ki saari values ke liye sahi ho.
A big square of side a + b is cut into four pieces: one a-square, one b-square and two same-size rectangles. Add the pieces and you get the whole.भुजा a + b वाले बड़े वर्ग को चार टुकड़ों में काटा: एक a-वर्ग, एक b-वर्ग और दो समान आयत। टुकड़े जोड़ो तो पूरा वर्ग मिलता है।Side a + b wale bade square ko chaar tukdon mein kaata: ek a-square, ek b-square aur do same rectangles. Tukde jodo to poora square milta hai.
The area picture proves the identity only for positive lengths a and b; the algebraic expansion (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b² uses only the distributive and commutative laws, so it holds for every real number, including negatives and fractions (check: a = −2, b = −3 gives 25 on both sides). The 2ab term is exactly the gap between (a + b)² and a² + b², which explains the sign test: if ab > 0 the square of the sum is bigger, if ab < 0 it is smaller, and if ab = 0 they are equal. The same picture with three strips gives (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca, and a cube cut the same way gives (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.क्षेत्रफल चित्र सर्वसमिका को केवल धनात्मक लंबाइयों a और b के लिए सिद्ध करता है; बीजीय प्रसार (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b² केवल वितरण और क्रमविनिमेय नियम प्रयोग करता है, अतः यह हर वास्तविक संख्या के लिए सत्य है, ऋणात्मक और भिन्न सहित (जाँच: a = −2, b = −3 पर दोनों ओर 25)। 2ab पद ठीक (a + b)² और a² + b² का अंतर है, जिससे चिह्न जाँच समझ आती है: ab > 0 हो तो योग का वर्ग बड़ा, ab < 0 हो तो छोटा, और ab = 0 हो तो बराबर। तीन पट्टियों वाला यही चित्र (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca देता है, और इसी तरह काटा गया घन (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ देता है।Area picture identity ko sirf positive lengths a aur b ke liye prove karta hai; algebraic expansion (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b² sirf distributive aur commutative laws use karta hai, isliye yeh har real number ke liye sahi hai, negative aur fractions bhi (check: a = −2, b = −3 par dono taraf 25). 2ab term theek (a + b)² aur a² + b² ka difference hai, jisse sign test samajh aata hai: ab > 0 ho to sum ka square bada, ab < 0 ho to chhota, aur ab = 0 ho to barabar. Teen strips wala yahi picture (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca deta hai, aur isi tarah kaata gaya cube (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ deta hai.
Take a square of side (a + b). Divide each side into parts a and b. The square splits into a square of area a², a square of area b², and two rectangles each of area ab. Total area: (a + b)² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².भुजा (a + b) का वर्ग लीजिए। हर भुजा को a और b भागों में बाँटिए। वर्ग, क्षेत्रफल a² के वर्ग, क्षेत्रफल b² के वर्ग, और क्षेत्रफल ab वाले दो आयतों में बँट जाता है। कुल क्षेत्रफल: (a + b)² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²।Side (a + b) ka square lijiye. Har side ko a aur b parts mein baantiye. Square, area a² ke square, area b² ke square, aur area ab wale do rectangles mein bant jaata hai. Total area: (a + b)² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².
- a
- What it isक्या हैKya hai: Length of the longer part of each side.हर भुजा के बड़े भाग की लंबाई।Har side ke bade part ki length.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Sets the size of the a² square.a² वर्ग का आकार तय करती है।a² square ka size tay karti hai. - b
- What it isक्या हैKya hai: Length of the shorter part of each side.हर भुजा के छोटे भाग की लंबाई।Har side ke chhote part ki length.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Sets the size of the b² square.b² वर्ग का आकार तय करती है।b² square ka size tay karti hai. - a²
- What it isक्या हैKya hai: Square of side a.भुजा a का वर्ग।Side a ka square.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Gives the a² term.a² पद देता है।a² term deta hai. - ab
- What it isक्या हैKya hai: Rectangle of sides a and b (there are two).भुजाओं a और b का आयत (दो हैं)।Sides a aur b ka rectangle (do hain).
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Together give the middle term 2ab.मिलकर बीच का पद 2ab देते हैं।Milkar beech ka term 2ab dete hain. - b²
- What it isक्या हैKya hai: Square of side b.भुजा b का वर्ग।Side b ka square.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Gives the b² term.b² पद देता है।b² term deta hai. - (a + b)² = a² + 2ab + b²
- What it isक्या हैKya hai: The identity shown by the picture.चित्र द्वारा दिखाई गई सर्वसमिका।Picture se dikhayi gayi identity.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Whole square = sum of the four pieces.पूरा वर्ग = चारों टुकड़ों का योग।Poora square = chaaron tukdon ka sum.
A pizza cut into a big square slice, a small square slice and two equal rectangle slices: eat all four and you've eaten the whole (a + b)² pizza. Skip the two rectangles and you're short by 2ab.एक पिज़्ज़ा जो एक बड़े वर्ग, एक छोटे वर्ग और दो बराबर आयत स्लाइसों में कटा है: चारों खाओ तो पूरा (a + b)² पिज़्ज़ा खा लिया। दो आयत छोड़ दिए तो 2ab कम पड़ गया।Ek pizza jo ek bade square, ek chhote square aur do barabar rectangle slices mein kata hai: chaaron khao to poora (a + b)² pizza kha liya. Do rectangles chhod diye to 2ab kam pad gaya.
Expand (i) (5x + 2y)² (ii) (3p − 4q)².प्रसार कीजिए (i) (5x + 2y)² (ii) (3p − 4q)²।Expand kijiye (i) (5x + 2y)² (ii) (3p − 4q)².
- (i) (5x)² + 2(5x)(2y) + (2y)² = 25x² + 20xy + 4y².
- (ii) (3p)² − 2(3p)(4q) + (4q)² = 9p² − 24pq + 16q².
- (i) (5x)² + 2(5x)(2y) + (2y)² = 25x² + 20xy + 4y²।
- (ii) (3p)² − 2(3p)(4q) + (4q)² = 9p² − 24pq + 16q²।
- (i) (5x)² + 2(5x)(2y) + (2y)² = 25x² + 20xy + 4y².
- (ii) (3p)² − 2(3p)(4q) + (4q)² = 9p² − 24pq + 16q².
Using identities, find 52² and 98².सर्वसमिकाओं से 52² और 98² ज्ञात कीजिए।Identities se 52² aur 98² nikaaliye.
- 52² = (50 + 2)² = 50² + 2 × 50 × 2 + 2² = 2500 + 200 + 4 = 2704.
- 98² = (100 − 2)² = 100² − 2 × 100 × 2 + 2² = 10000 − 400 + 4 = 9604.
- 52² = (50 + 2)² = 50² + 2 × 50 × 2 + 2² = 2500 + 200 + 4 = 2704।
- 98² = (100 − 2)² = 100² − 2 × 100 × 2 + 2² = 10000 − 400 + 4 = 9604।
- 52² = (50 + 2)² = 50² + 2 × 50 × 2 + 2² = 2500 + 200 + 4 = 2704.
- 98² = (100 − 2)² = 100² − 2 × 100 × 2 + 2² = 10000 − 400 + 4 = 9604.
Is x² − 1 = 24 an identity? Give a reason.क्या x² − 1 = 24 एक सर्वसमिका है? कारण दीजिए।Kya x² − 1 = 24 ek identity hai? Reason dijiye.
- No. It is true only for x = 5 and x = −5 (e.g. x = 1 gives 0 ≠ 24), so it is an equation, not an identity.
- नहीं। यह केवल x = 5 और x = −5 पर सत्य है (जैसे x = 1 पर 0 ≠ 24), अतः यह समीकरण है, सर्वसमिका नहीं।
- Nahi. Yeh sirf x = 5 aur x = −5 par sahi hai (jaise x = 1 par 0 ≠ 24), isliye yeh equation hai, identity nahi.
💡 Middle term check: the middle term is always 2 × first × second, with the sign of the bracket.बीच के पद की जाँच: बीच का पद हमेशा 2 × पहला × दूसरा होता है, कोष्ठक के चिह्न के साथ।Middle term check: beech ka term hamesha 2 × pehla × doosra hota hai, bracket ke sign ke saath.
Products and factors with algebra tilesबीजीय टाइलों से गुणनफल और गुणनखंडAlgebra tiles se products aur factors
- Algebra tiles: a big square = x², a long strip = x (size x × 1), a small square = 1.
- To multiply (x + 2)(x + 3), build a rectangle with sides x + 2 and x + 3: it holds 1 x² tile, 5 x tiles and 6 unit tiles.
- So (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6; read backwards, x² + 5x + 6 factorises as (x + 2)(x + 3).
- Factorising with tiles = arranging the given tiles into one complete rectangle; its two sides are the factors.
- The x tiles split as 2x + 3x: the two numbers add to 5 and multiply to 6.
- General result: (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab.
- With coefficients: (px + a)(qx + b) = pqx² + (pb + qa)x + ab.
- बीजीय टाइलें: बड़ा वर्ग = x², लंबी पट्टी = x (माप x × 1), छोटा वर्ग = 1।
- (x + 2)(x + 3) गुणा करने के लिए भुजाओं x + 2 और x + 3 वाला आयत बनाइए: इसमें 1 x² टाइल, 5 x टाइलें और 6 इकाई टाइलें आती हैं।
- अतः (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6; उल्टा पढ़ें तो x² + 5x + 6 के गुणनखंड (x + 2)(x + 3) हैं।
- टाइलों से गुणनखंडन = दी गई टाइलों को एक पूरे आयत में सजाना; उसकी दो भुजाएँ गुणनखंड हैं।
- x टाइलें 2x + 3x में बँटती हैं: दोनों संख्याओं का योग 5 और गुणनफल 6 है।
- व्यापक परिणाम: (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab।
- गुणांकों सहित: (px + a)(qx + b) = pqx² + (pb + qa)x + ab।
- Algebra tiles: bada square = x², lambi strip = x (size x × 1), chhota square = 1.
- (x + 2)(x + 3) multiply karne ke liye sides x + 2 aur x + 3 wala rectangle banaiye: isme 1 x² tile, 5 x tiles aur 6 unit tiles aati hain.
- Isliye (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6; ulta padhein to x² + 5x + 6 ke factors (x + 2)(x + 3) hain.
- Tiles se factorisation = di gayi tiles ko ek poore rectangle mein sajaana; uski do sides factors hain.
- x tiles 2x + 3x mein bant-ti hain: dono numbers ka sum 5 aur product 6 hai.
- General result: (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab.
- Coefficients ke saath: (px + a)(qx + b) = pqx² + (pb + qa)x + ab.
- FactorisationगुणनखंडनFactorisation
- Writing an expression as a product of simpler expressions (its factors).किसी व्यंजक को सरल व्यंजकों (गुणनखंडों) के गुणनफल के रूप में लिखना।Kisi expression ko simple expressions (factors) ke product ki tarah likhna.
- Algebra tilesबीजीय टाइलेंAlgebra tiles
- Area pieces for x², x and 1 used to show products and factors.x², x और 1 के क्षेत्रफल वाले टुकड़े जिनसे गुणनफल और गुणनखंड दिखाए जाते हैं।x², x aur 1 ke area wale tukde jinse products aur factors dikhaye jaate hain.
Got 1 big tile, 5 strips and 6 small squares? Arrange them into one neat rectangle. Its length and width are the two factors.1 बड़ी टाइल, 5 पट्टियाँ और 6 छोटे वर्ग मिले? इन्हें एक साफ़ आयत में जमाइए। उसकी लंबाई और चौड़ाई ही दो गुणनखंड हैं।1 badi tile, 5 strips aur 6 chhote squares mile? Inhe ek neat rectangle mein jamaaiye. Uski length aur width hi do factors hain.
The rectangle's area x² + 5x + 6 equals the product of its sides (x + 2)(x + 3), so the arrangement is a picture of the identity. The 6 unit tiles must form a 2 × 3 block, and the x-strips must line up along the sides as 3 on one side and 2 on the other; that is why we need two numbers with sum 5 and product 6 (the 'splitting the middle term' rule). Other splits such as 1 + 4 cannot complete a rectangle, because 1 × 4 ≠ 6. Tiles can also show negative terms with a second colour, and they extend to (px + a)(qx + b), where the x² tiles form a p × q block. The same reasoning without tiles is the method x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b).आयत का क्षेत्रफल x² + 5x + 6 उसकी भुजाओं के गुणनफल (x + 2)(x + 3) के बराबर है, अतः यह व्यवस्था सर्वसमिका का चित्र है। 6 इकाई टाइलें 2 × 3 खंड बनाती हैं, और x-पट्टियाँ भुजाओं के साथ एक ओर 3 और दूसरी ओर 2 लगती हैं; इसीलिए हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 5 और गुणनफल 6 हो ('मध्य पद को विभक्त करना')। 1 + 4 जैसा विभाजन आयत पूरा नहीं कर सकता, क्योंकि 1 × 4 ≠ 6। दूसरे रंग से ऋणात्मक पद भी दिखाए जा सकते हैं, और यह (px + a)(qx + b) तक बढ़ता है, जहाँ x² टाइलें p × q खंड बनाती हैं। बिना टाइलों के यही तर्क x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) विधि है।Rectangle ka area x² + 5x + 6 uski sides ke product (x + 2)(x + 3) ke barabar hai, isliye yeh arrangement identity ki picture hai. 6 unit tiles 2 × 3 block banati hain, aur x-strips sides ke saath ek taraf 3 aur doosri taraf 2 lagti hain; isiliye hume aise do numbers chahiye jinka sum 5 aur product 6 ho ('middle term split karna'). 1 + 4 jaisa split rectangle poora nahi kar sakta, kyonki 1 × 4 ≠ 6. Doosre colour se negative terms bhi dikha sakte hain, aur yeh (px + a)(qx + b) tak badhta hai, jahan x² tiles p × q block banati hain. Bina tiles ke yahi logic x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) method hai.
The rectangle has sides x + 3 and x + 2. Inside: one x² tile, 3 + 2 = 5 x-tiles and 3 × 2 = 6 unit tiles. Hence (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6, and conversely x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).आयत की भुजाएँ x + 3 और x + 2 हैं। अंदर: एक x² टाइल, 3 + 2 = 5 x-टाइलें और 3 × 2 = 6 इकाई टाइलें। अतः (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6, और विलोमतः x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)।Rectangle ki sides x + 3 aur x + 2 hain. Andar: ek x² tile, 3 + 2 = 5 x-tiles aur 3 × 2 = 6 unit tiles. Isliye (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6, aur ulta x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
- x²
- What it isक्या हैKya hai: Big square tile, side x.बड़ी वर्गाकार टाइल, भुजा x।Badi square tile, side x.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Gives the x² term.x² पद देती है।x² term deti hai. - x
- What it isक्या हैKya hai: Strip tile, x by 1.पट्टी टाइल, x × 1।Strip tile, x × 1.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Each one adds x; five of them give 5x.हर एक x जोड़ती है; पाँच मिलकर 5x।Har ek x jodti hai; paanch milkar 5x. - 1
- What it isक्या हैKya hai: Unit square tile, 1 by 1.इकाई वर्ग टाइल, 1 × 1।Unit square tile, 1 × 1.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Six of them give the constant 6.छह मिलकर अचर 6 देती हैं।Chhe milkar constant 6 deti hain. - x + 3
- What it isक्या हैKya hai: Length of the rectangle.आयत की लंबाई।Rectangle ki length.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: One factor.एक गुणनखंड।Ek factor. - x + 2
- What it isक्या हैKya hai: Breadth of the rectangle.आयत की चौड़ाई।Rectangle ki breadth.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: The other factor.दूसरा गुणनखंड।Doosra factor. - 1 x² tile + 5 x tiles + 6 unit tiles
- What it isक्या हैKya hai: Count of all tiles used.प्रयुक्त सभी टाइलों की गिनती।Saari tiles ki ginti.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Matches x² + 5x + 6.x² + 5x + 6 से मेल खाती है।x² + 5x + 6 se match karti hai. - (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6
- What it isक्या हैKya hai: The identity shown.दिखाई गई सर्वसमिका।Dikhayi gayi identity.
What it doesक्या करता हैKya karta hai: Product of sides = total area.भुजाओं का गुणनफल = कुल क्षेत्रफल।Sides ka product = total area.
Like arranging phone app icons into a perfect grid with no empty spots: only certain row-column combos work, and those are your factors.जैसे फ़ोन के ऐप आइकन बिना खाली जगह के एक परफ़ेक्ट ग्रिड में जमाना: कुछ ही पंक्ति-स्तंभ जोड़े काम करते हैं, और वही आपके गुणनखंड हैं।Jaise phone ke app icons bina khaali jagah ke ek perfect grid mein jamaana: kuch hi row-column combos kaam karte hain, aur wahi aapke factors hain.
Using (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab, find (x + 6)(x + 7) and (2x + 3)(3x + 1).(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab से (x + 6)(x + 7) और (2x + 3)(3x + 1) ज्ञात कीजिए।(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab se (x + 6)(x + 7) aur (2x + 3)(3x + 1) nikaaliye.
- (x + 6)(x + 7) = x² + 13x + 42.
- (2x + 3)(3x + 1) = 6x² + 2x + 9x + 3 = 6x² + 11x + 3.
- (x + 6)(x + 7) = x² + 13x + 42।
- (2x + 3)(3x + 1) = 6x² + 2x + 9x + 3 = 6x² + 11x + 3।
- (x + 6)(x + 7) = x² + 13x + 42.
- (2x + 3)(3x + 1) = 6x² + 2x + 9x + 3 = 6x² + 11x + 3.
A rectangle is made from 1 x² tile, 8 x-tiles and 15 unit tiles. Find its sides.एक आयत 1 x² टाइल, 8 x-टाइलों और 15 इकाई टाइलों से बना है। उसकी भुजाएँ ज्ञात कीजिए।Ek rectangle 1 x² tile, 8 x-tiles aur 15 unit tiles se bana hai. Uski sides nikaaliye.
- Area = x² + 8x + 15. Need two numbers with sum 8 and product 15: 3 and 5.
- x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5): sides are (x + 5) and (x + 3) units.
- क्षेत्रफल = x² + 8x + 15। योग 8 और गुणनफल 15 वाली दो संख्याएँ: 3 और 5।
- x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5): भुजाएँ (x + 5) और (x + 3) इकाई।
- Area = x² + 8x + 15. Sum 8 aur product 15 wale do numbers: 3 aur 5.
- x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5): sides (x + 5) aur (x + 3) unit.
💡 Check a factorisation by multiplying back: it takes 10 seconds and catches sign slips.गुणनखंडन जाँचने के लिए वापस गुणा कीजिए: 10 सेकंड लगते हैं और चिह्न की गलती पकड़ में आती है।Factorisation check karne ke liye wapas multiply kijiye: 10 second lagte hain aur sign ki galti pakad mein aati hai.
More identities: (a + b + c)² and a² − b²और सर्वसमिकाएँ: (a + b + c)² और a² − b²More identities: (a + b + c)² aur a² − b²
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca (put d = b + c in (a + d)² and expand).
- Picture: a square of side a + b + c splits into 3 squares and 6 rectangles (two each of ab, bc, ca).
- Quick square: 112² = (100 + 10 + 2)² = 10000 + 100 + 4 + 2000 + 400 + 40 = 12544.
- Difference of squares: a² − b² = (a + b)(a − b). Quick product: 103 × 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 10000 − 9 = 9991.
- Śrīdharāchārya (c. 750 CE) used a² = (a + b)(a − b) + b² to square numbers fast: 65² = 70 × 60 + 5² = 4200 + 25 = 4225.
- With signs, put −b or −c inside: (x − 2y + 3z)² = x² + 4y² + 9z² − 4xy − 12yz + 6xz.
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca ((a + d)² में d = b + c रखकर प्रसार कीजिए)।
- चित्र: भुजा a + b + c वाला वर्ग 3 वर्गों और 6 आयतों (ab, bc, ca के दो-दो) में बँटता है।
- जल्दी वर्ग: 112² = (100 + 10 + 2)² = 10000 + 100 + 4 + 2000 + 400 + 40 = 12544।
- वर्गों का अंतर: a² − b² = (a + b)(a − b)। जल्दी गुणनफल: 103 × 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 10000 − 9 = 9991।
- श्रीधराचार्य (लगभग 750 ई.) ने वर्ग जल्दी निकालने के लिए a² = (a + b)(a − b) + b² प्रयोग किया: 65² = 70 × 60 + 5² = 4200 + 25 = 4225।
- चिह्न सहित, −b या −c अंदर रखिए: (x − 2y + 3z)² = x² + 4y² + 9z² − 4xy − 12yz + 6xz।
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca ((a + d)² mein d = b + c rakh kar expand kijiye).
- Picture: side a + b + c wala square 3 squares aur 6 rectangles (ab, bc, ca ke do-do) mein bant-ta hai.
- Jaldi square: 112² = (100 + 10 + 2)² = 10000 + 100 + 4 + 2000 + 400 + 40 = 12544.
- Difference of squares: a² − b² = (a + b)(a − b). Jaldi product: 103 × 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 10000 − 9 = 9991.
- Śrīdharāchārya (lagbhag 750 CE) ne squares jaldi nikaalne ke liye a² = (a + b)(a − b) + b² use kiya: 65² = 70 × 60 + 5² = 4200 + 25 = 4225.
- Signs ke saath, −b ya −c andar rakhiye: (x − 2y + 3z)² = x² + 4y² + 9z² − 4xy − 12yz + 6xz.
Expand (x − 2y + 3z)².(x − 2y + 3z)² का प्रसार कीजिए।(x − 2y + 3z)² expand kijiye.
- Take a = x, b = −2y, c = 3z.
- a² + b² + c² = x² + 4y² + 9z².
- 2ab = −4xy; 2bc = 2(−2y)(3z) = −12yz; 2ca = 2(3z)(x) = 6xz.
- So (x − 2y + 3z)² = x² + 4y² + 9z² − 4xy − 12yz + 6xz.
- a = x, b = −2y, c = 3z लीजिए।
- a² + b² + c² = x² + 4y² + 9z²।
- 2ab = −4xy; 2bc = 2(−2y)(3z) = −12yz; 2ca = 2(3z)(x) = 6xz।
- अतः (x − 2y + 3z)² = x² + 4y² + 9z² − 4xy − 12yz + 6xz।
- a = x, b = −2y, c = 3z lijiye.
- a² + b² + c² = x² + 4y² + 9z².
- 2ab = −4xy; 2bc = 2(−2y)(3z) = −12yz; 2ca = 2(3z)(x) = 6xz.
- Isliye (x − 2y + 3z)² = x² + 4y² + 9z² − 4xy − 12yz + 6xz.
Find 103 × 97 and 65² using identities.सर्वसमिकाओं से 103 × 97 और 65² ज्ञात कीजिए।Identities se 103 × 97 aur 65² nikaaliye.
- 103 × 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 100² − 3² = 10000 − 9 = 9991.
- 65² = (65 + 5)(65 − 5) + 5² = 70 × 60 + 25 = 4225.
- 103 × 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 100² − 3² = 10000 − 9 = 9991।
- 65² = (65 + 5)(65 − 5) + 5² = 70 × 60 + 25 = 4225।
- 103 × 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 100² − 3² = 10000 − 9 = 9991.
- 65² = (65 + 5)(65 − 5) + 5² = 70 × 60 + 25 = 4225.
💡 For numbers ending in 5: n5² = n(n + 1) followed by 25, e.g. 65² → 6 × 7 = 42 → 4225. It is the same identity.5 पर खत्म होने वाली संख्याएँ: n5² = n(n + 1) के बाद 25, जैसे 65² → 6 × 7 = 42 → 4225। यह वही सर्वसमिका है।5 par khatam hone wale numbers: n5² = n(n + 1) ke baad 25, jaise 65² → 6 × 7 = 42 → 4225. Yeh wahi identity hai.
Factorisation using identities and splitting the middle termसर्वसमिकाओं और मध्य पद विभक्त करके गुणनखंडनIdentities aur middle term split karke factorisation
- Step 1: take out any common factor first, e.g. 50p² + 60pq + 18q² = 2(25p² + 30pq + 9q²).
- Step 2: look for a perfect square: 9x² + 12x + 4 = (3x)² + 2(3x)(2) + 2² = (3x + 2)².
- Also a² − 2ab + b²: 25p² − 40pq + 16q² = (5p − 4q)².
- Difference of squares: 49m² − 81n² = (7m)² − (9n)² = (7m + 9n)(7m − 9n).
- x² + Bx + C: find two numbers with sum B and product C. x² + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5).
- Signs: C > 0 and B < 0 → both numbers negative (x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)); C < 0 → one positive, one negative (x² − 3x − 28 = (x − 7)(x + 4)).
- Ax² + Bx + C: find two numbers with product A × C and sum B, split and group. 6x² + 7x + 2: A × C = 12 = 3 × 4, so 6x² + 3x + 4x + 2 = 3x(2x + 1) + 2(2x + 1) = (2x + 1)(3x + 2).
- Use: solving word problems, e.g. x(x + 3) = 70 ⇒ x² + 3x − 70 = (x + 10)(x − 7) = 0 ⇒ x = 7 (length cannot be negative).
- चरण 1: पहले कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालिए, जैसे 50p² + 60pq + 18q² = 2(25p² + 30pq + 9q²)।
- चरण 2: पूर्ण वर्ग देखिए: 9x² + 12x + 4 = (3x)² + 2(3x)(2) + 2² = (3x + 2)²।
- a² − 2ab + b² भी: 25p² − 40pq + 16q² = (5p − 4q)²।
- वर्गों का अंतर: 49m² − 81n² = (7m)² − (9n)² = (7m + 9n)(7m − 9n)।
- x² + Bx + C: ऐसी दो संख्याएँ ढूँढिए जिनका योग B और गुणनफल C हो। x² + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)।
- चिह्न: C > 0 और B < 0 → दोनों संख्याएँ ऋणात्मक (x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)); C < 0 → एक धनात्मक, एक ऋणात्मक (x² − 3x − 28 = (x − 7)(x + 4))।
- Ax² + Bx + C: गुणनफल A × C और योग B वाली दो संख्याएँ ढूँढकर विभक्त कीजिए और समूह बनाइए। 6x² + 7x + 2: A × C = 12 = 3 × 4, अतः 6x² + 3x + 4x + 2 = 3x(2x + 1) + 2(2x + 1) = (2x + 1)(3x + 2)।
- उपयोग: शाब्दिक प्रश्न, जैसे x(x + 3) = 70 ⇒ x² + 3x − 70 = (x + 10)(x − 7) = 0 ⇒ x = 7 (लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)।
- Step 1: pehle koi common factor nikaaliye, jaise 50p² + 60pq + 18q² = 2(25p² + 30pq + 9q²).
- Step 2: perfect square dekhiye: 9x² + 12x + 4 = (3x)² + 2(3x)(2) + 2² = (3x + 2)².
- a² − 2ab + b² bhi: 25p² − 40pq + 16q² = (5p − 4q)².
- Difference of squares: 49m² − 81n² = (7m)² − (9n)² = (7m + 9n)(7m − 9n).
- x² + Bx + C: aise do numbers dhoondhiye jinka sum B aur product C ho. x² + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5).
- Signs: C > 0 aur B < 0 → dono numbers negative (x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)); C < 0 → ek positive, ek negative (x² − 3x − 28 = (x − 7)(x + 4)).
- Ax² + Bx + C: product A × C aur sum B wale do numbers dhoondh kar split kijiye aur group banaiye. 6x² + 7x + 2: A × C = 12 = 3 × 4, isliye 6x² + 3x + 4x + 2 = 3x(2x + 1) + 2(2x + 1) = (2x + 1)(3x + 2).
- Use: word problems, jaise x(x + 3) = 70 ⇒ x² + 3x − 70 = (x + 10)(x − 7) = 0 ⇒ x = 7 (length negative nahi ho sakti).
Factorise: (i) 9x² + 12x + 4 (ii) 49m² − 81n² (iii) x² − 3x − 28 (iv) 6x² + 7x + 2.गुणनखंड कीजिए: (i) 9x² + 12x + 4 (ii) 49m² − 81n² (iii) x² − 3x − 28 (iv) 6x² + 7x + 2।Factorise kijiye: (i) 9x² + 12x + 4 (ii) 49m² − 81n² (iii) x² − 3x − 28 (iv) 6x² + 7x + 2.
- (i) (3x)² + 2(3x)(2) + 2² = (3x + 2)².
- (ii) (7m)² − (9n)² = (7m + 9n)(7m − 9n).
- (iii) sum −3, product −28: −7 and 4 → (x − 7)(x + 4).
- (iv) product 12, sum 7: 3 and 4 → 6x² + 3x + 4x + 2 = 3x(2x + 1) + 2(2x + 1) = (2x + 1)(3x + 2).
- (i) (3x)² + 2(3x)(2) + 2² = (3x + 2)²।
- (ii) (7m)² − (9n)² = (7m + 9n)(7m − 9n)।
- (iii) योग −3, गुणनफल −28: −7 और 4 → (x − 7)(x + 4)।
- (iv) गुणनफल 12, योग 7: 3 और 4 → 6x² + 3x + 4x + 2 = 3x(2x + 1) + 2(2x + 1) = (2x + 1)(3x + 2)।
- (i) (3x)² + 2(3x)(2) + 2² = (3x + 2)².
- (ii) (7m)² − (9n)² = (7m + 9n)(7m − 9n).
- (iii) sum −3, product −28: −7 aur 4 → (x − 7)(x + 4).
- (iv) product 12, sum 7: 3 aur 4 → 6x² + 3x + 4x + 2 = 3x(2x + 1) + 2(2x + 1) = (2x + 1)(3x + 2).
A rectangular plot is 3 m longer than it is wide and its area is 70 m². Find its length and breadth.एक आयताकार भूखंड की लंबाई चौड़ाई से 3 m अधिक है और क्षेत्रफल 70 m² है। लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।Ek rectangular plot ki length breadth se 3 m zyada hai aur area 70 m² hai. Length aur breadth nikaaliye.
- Let breadth = x m; length = (x + 3) m. Then x(x + 3) = 70 ⇒ x² + 3x − 70 = 0.
- Numbers with product −70 and sum 3: 10 and −7. So (x + 10)(x − 7) = 0.
- x = 7 or x = −10; a length cannot be negative, so x = 7.
- Breadth = 7 m, length = 10 m. Check: 7 × 10 = 70 ✓.
- माना चौड़ाई = x m; लंबाई = (x + 3) m। तब x(x + 3) = 70 ⇒ x² + 3x − 70 = 0।
- गुणनफल −70 और योग 3 वाली संख्याएँ: 10 और −7। अतः (x + 10)(x − 7) = 0।
- x = 7 या x = −10; लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः x = 7।
- चौड़ाई = 7 m, लंबाई = 10 m। जाँच: 7 × 10 = 70 ✓।
- Maana breadth = x m; length = (x + 3) m. Tab x(x + 3) = 70 ⇒ x² + 3x − 70 = 0.
- Product −70 aur sum 3 wale numbers: 10 aur −7. Isliye (x + 10)(x − 7) = 0.
- x = 7 ya x = −10; length negative nahi ho sakti, isliye x = 7.
- Breadth = 7 m, length = 10 m. Check: 7 × 10 = 70 ✓.
💡 Always try 'common factor' first; many 'hard' expressions become easy after it.हमेशा पहले 'उभयनिष्ठ गुणनखंड' आज़माइए; कई 'कठिन' व्यंजक उसके बाद आसान हो जाते हैं।Hamesha pehle 'common factor' try kijiye; kai 'mushkil' expressions uske baad aasaan ho jaate hain.
Cube identities and x³ + y³ + z³ − 3xyzघन सर्वसमिकाएँ और x³ + y³ + z³ − 3xyzCube identities aur x³ + y³ + z³ − 3xyz
- (a + b)³ = (a + b)(a² + 2ab + b²) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
- Model: a cube of edge a + b splits into cubes a³ and b³, three cuboids a × a × b and three cuboids a × b × b.
- Putting −b for b: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ (signs alternate +, −, +, −).
- Example: (2x + 3)³ = 8x³ + 3(4x²)(3) + 3(2x)(9) + 27 = 8x³ + 36x² + 54x + 27.
- Quick cubes: 101³ = (100 + 1)³ = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301; 99³ = (100 − 1)³ = 1000000 − 30000 + 300 − 1 = 970299.
- Sum and difference of cubes: x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²) and x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²).
- x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − yz − zx).
- Special case: if x + y + z = 0, then x³ + y³ + z³ = 3xyz. Check: 5 + (−3) + (−2) = 0, and 125 − 27 − 8 = 90 = 3 × 5 × (−3) × (−2).
- (a + b)³ = (a + b)(a² + 2ab + b²) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³।
- मॉडल: कोर a + b वाला घन, घनों a³ और b³, तीन घनाभों a × a × b और तीन घनाभों a × b × b में बँटता है।
- b की जगह −b रखने पर: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ (चिह्न बारी-बारी +, −, +, −)।
- उदाहरण: (2x + 3)³ = 8x³ + 3(4x²)(3) + 3(2x)(9) + 27 = 8x³ + 36x² + 54x + 27।
- जल्दी घन: 101³ = (100 + 1)³ = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301; 99³ = (100 − 1)³ = 1000000 − 30000 + 300 − 1 = 970299।
- घनों का योग और अंतर: x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²) और x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²)।
- x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − yz − zx)।
- विशेष स्थिति: यदि x + y + z = 0 हो, तो x³ + y³ + z³ = 3xyz। जाँच: 5 + (−3) + (−2) = 0, और 125 − 27 − 8 = 90 = 3 × 5 × (−3) × (−2)।
- (a + b)³ = (a + b)(a² + 2ab + b²) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
- Model: edge a + b wala cube, cubes a³ aur b³, teen cuboids a × a × b aur teen cuboids a × b × b mein bant-ta hai.
- b ki jagah −b rakhne par: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ (signs baari-baari +, −, +, −).
- Example: (2x + 3)³ = 8x³ + 3(4x²)(3) + 3(2x)(9) + 27 = 8x³ + 36x² + 54x + 27.
- Jaldi cubes: 101³ = (100 + 1)³ = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301; 99³ = (100 − 1)³ = 1000000 − 30000 + 300 − 1 = 970299.
- Cubes ka sum aur difference: x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²) aur x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²).
- x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − yz − zx).
- Special case: agar x + y + z = 0 ho, to x³ + y³ + z³ = 3xyz. Check: 5 + (−3) + (−2) = 0, aur 125 − 27 − 8 = 90 = 3 × 5 × (−3) × (−2).
Factorise 8x³ − 27y³.8x³ − 27y³ के गुणनखंड कीजिए।8x³ − 27y³ factorise kijiye.
- 8x³ − 27y³ = (2x)³ − (3y)³.
- = (2x − 3y)[(2x)² + (2x)(3y) + (3y)²] = (2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²).
- 8x³ − 27y³ = (2x)³ − (3y)³।
- = (2x − 3y)[(2x)² + (2x)(3y) + (3y)²] = (2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²)।
- 8x³ − 27y³ = (2x)³ − (3y)³.
- = (2x − 3y)[(2x)² + (2x)(3y) + (3y)²] = (2x − 3y)(4x² + 6xy + 9y²).
A cube has volume x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³. Find its edge.एक घन का आयतन x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³ है। उसकी कोर ज्ञात कीजिए।Ek cube ka volume x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³ hai. Uski edge nikaaliye.
- Write it as x³ + 3(x)²(2y) + 3(x)(2y)² + (2y)³.
- This is (a + b)³ with a = x, b = 2y, so the volume is (x + 2y)³ and the edge is (x + 2y) units.
- इसे x³ + 3(x)²(2y) + 3(x)(2y)² + (2y)³ लिखिए।
- यह a = x, b = 2y के साथ (a + b)³ है, अतः आयतन (x + 2y)³ और कोर (x + 2y) इकाई है।
- Ise x³ + 3(x)²(2y) + 3(x)(2y)² + (2y)³ likhiye.
- Yeh a = x, b = 2y ke saath (a + b)³ hai, isliye volume (x + 2y)³ aur edge (x + 2y) unit hai.
If a + b + c = 9 and a² + b² + c² = 35, find a³ + b³ + c³ − 3abc.यदि a + b + c = 9 और a² + b² + c² = 35, तो a³ + b³ + c³ − 3abc ज्ञात कीजिए।Agar a + b + c = 9 aur a² + b² + c² = 35, to a³ + b³ + c³ − 3abc nikaaliye.
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) ⇒ 81 = 35 + 2(ab + bc + ca) ⇒ ab + bc + ca = 23.
- a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)[a² + b² + c² − (ab + bc + ca)].
- = 9 × (35 − 23) = 9 × 12 = 108.
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) ⇒ 81 = 35 + 2(ab + bc + ca) ⇒ ab + bc + ca = 23।
- a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)[a² + b² + c² − (ab + bc + ca)]।
- = 9 × (35 − 23) = 9 × 12 = 108।
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) ⇒ 81 = 35 + 2(ab + bc + ca) ⇒ ab + bc + ca = 23.
- a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)[a² + b² + c² − (ab + bc + ca)].
- = 9 × (35 − 23) = 9 × 12 = 108.
💡 In x³ − y³ the bracket is x² + xy + y² (plus middle); in x³ + y³ it is x² − xy + y² (minus middle). The sign in the bracket is opposite to the sign between the cubes.x³ − y³ में कोष्ठक x² + xy + y² (बीच में धन); x³ + y³ में x² − xy + y² (बीच में ऋण)। कोष्ठक का चिह्न घनों के बीच के चिह्न का उल्टा होता है।x³ − y³ mein bracket x² + xy + y² (beech mein plus); x³ + y³ mein x² − xy + y² (beech mein minus). Bracket ka sign cubes ke beech ke sign ka ulta hota hai.
Simplifying rational expressionsपरिमेय व्यंजकों का सरलीकरणRational expressions simplify karna
- A rational expression is a fraction whose numerator and denominator are polynomials, with the denominator not zero.
- Method: factorise the numerator and the denominator fully, then cancel the common factors.
- Only a common factor can be cancelled, never a common term: in (x + 3)/(x + 5) nothing cancels.
- Cancelling is allowed only because the cancelled factor is not zero; state the values excluded.
- Example: (x² − 9)/(x² + 5x + 6) = (x − 3)(x + 3)/[(x + 2)(x + 3)] = (x − 3)/(x + 2), for x ≠ −2, −3.
- Example: (4x² − 1)/(2x² + x − 1) = (2x − 1)(2x + 1)/[(2x − 1)(x + 1)] = (2x + 1)/(x + 1), for x ≠ 1/2, −1.
- परिमेय व्यंजक ऐसी भिन्न है जिसके अंश और हर बहुपद हों, और हर शून्य न हो।
- विधि: अंश और हर दोनों के पूरे गुणनखंड कीजिए, फिर उभयनिष्ठ गुणनखंड काटिए।
- केवल उभयनिष्ठ गुणनखंड कट सकता है, उभयनिष्ठ पद कभी नहीं: (x + 3)/(x + 5) में कुछ नहीं कटता।
- काटना इसलिए संभव है कि काटा गया गुणनखंड शून्य नहीं है; छोड़े गए मान बताइए।
- उदाहरण: (x² − 9)/(x² + 5x + 6) = (x − 3)(x + 3)/[(x + 2)(x + 3)] = (x − 3)/(x + 2), x ≠ −2, −3 के लिए।
- उदाहरण: (4x² − 1)/(2x² + x − 1) = (2x − 1)(2x + 1)/[(2x − 1)(x + 1)] = (2x + 1)/(x + 1), जहाँ x ≠ 1/2, −1।
- Rational expression aisa fraction hai jiske numerator aur denominator polynomials hon, aur denominator zero na ho.
- Method: numerator aur denominator dono ko poora factorise kijiye, phir common factors cancel kijiye.
- Sirf common factor cancel hota hai, common term kabhi nahi: (x + 3)/(x + 5) mein kuch cancel nahi hota.
- Cancel karna isliye allowed hai ki cancel hua factor zero nahi hai; excluded values bataiye.
- Example: (x² − 9)/(x² + 5x + 6) = (x − 3)(x + 3)/[(x + 2)(x + 3)] = (x − 3)/(x + 2), x ≠ −2, −3 ke liye.
- Example: (4x² − 1)/(2x² + x − 1) = (2x − 1)(2x + 1)/[(2x − 1)(x + 1)] = (2x + 1)/(x + 1), jahan x ≠ 1/2, −1.
- Rational expressionपरिमेय व्यंजकRational expression
- A quotient P/Q of two polynomials with Q ≠ 0.दो बहुपदों का भागफल P/Q, जहाँ Q ≠ 0।Do polynomials ka quotient P/Q, jahan Q ≠ 0.
Simplify (x² + 7x + 10)/(x² − 25), assuming the denominator is not zero.(x² + 7x + 10)/(x² − 25) को सरल कीजिए, मानते हुए कि हर शून्य नहीं है।(x² + 7x + 10)/(x² − 25) simplify kijiye, maante hue ki denominator zero nahi hai.
- Numerator: sum 7, product 10 → (x + 2)(x + 5).
- Denominator: x² − 5² = (x − 5)(x + 5).
- Cancel (x + 5) (it is not zero): answer (x + 2)/(x − 5).
- अंश: योग 7, गुणनफल 10 → (x + 2)(x + 5)।
- हर: x² − 5² = (x − 5)(x + 5)।
- (x + 5) काटिए (यह शून्य नहीं): उत्तर (x + 2)/(x − 5)।
- Numerator: sum 7, product 10 → (x + 2)(x + 5).
- Denominator: x² − 5² = (x − 5)(x + 5).
- (x + 5) cancel kijiye (yeh zero nahi): answer (x + 2)/(x − 5).
Simplify (x² − 9)/(x² + 5x + 6).(x² − 9)/(x² + 5x + 6) को सरल कीजिए।(x² − 9)/(x² + 5x + 6) simplify kijiye.
- x² − 9 = (x − 3)(x + 3); x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
- Cancel (x + 3): (x − 3)/(x + 2), with x ≠ −2, −3.
- x² − 9 = (x − 3)(x + 3); x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)।
- (x + 3) काटिए: (x − 3)/(x + 2), x ≠ −2, −3।
- x² − 9 = (x − 3)(x + 3); x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
- (x + 3) cancel kijiye: (x − 3)/(x + 2), x ≠ −2, −3.
💡 Factorise first, cancel second. Cancelling x² from x² + 3 over x² + 5 is a classic wrong move.पहले गुणनखंड, फिर काटना। (x² + 3)/(x² + 5) में x² काटना एक आम गलती है।Pehle factorise, phir cancel. (x² + 3)/(x² + 5) mein x² cancel karna ek common galti hai.
Full derivations, tricky questions, common mistakes and quick revision.पूरी व्युत्पत्तियाँ, कठिन प्रश्न, आम गलतियाँ और त्वरित पुनरावृत्ति।Poori derivations, tricky sawaal, aam galtiyan aur quick revision.
📐 Deriving x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²)x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²) की व्युत्पत्तिx³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²) derive karna
- Multiply term by term: x(x² + xy + y²) − y(x² + xy + y²).
- = x³ + x²y + xy² − x²y − xy² − y³.
- The middle terms cancel in pairs: x²y − x²y = 0 and xy² − xy² = 0.
- So (x − y)(x² + xy + y²) = x³ − y³. Replacing y by −y gives x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²).
- पद-दर-पद गुणा: x(x² + xy + y²) − y(x² + xy + y²)।
- = x³ + x²y + xy² − x²y − xy² − y³।
- बीच के पद जोड़ों में कट जाते हैं: x²y − x²y = 0 और xy² − xy² = 0।
- अतः (x − y)(x² + xy + y²) = x³ − y³। y की जगह −y रखने पर x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²)।
- Term by term multiply: x(x² + xy + y²) − y(x² + xy + y²).
- = x³ + x²y + xy² − x²y − xy² − y³.
- Beech ke terms jodon mein cancel: x²y − x²y = 0 aur xy² − xy² = 0.
- Isliye (x − y)(x² + xy + y²) = x³ − y³. y ki jagah −y rakhne par x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²).
Show that n³ − n is divisible by 6 for every natural number n.दिखाइए कि हर प्राकृत संख्या n के लिए n³ − n, 6 से विभाज्य है।Dikhaiye ki har natural number n ke liye n³ − n, 6 se divisible hai.
- n³ − n = n(n² − 1) = (n − 1)n(n + 1), a product of three consecutive integers.
- Among any two consecutive integers one is even, so the product is divisible by 2.
- Among any three consecutive integers one is a multiple of 3, so it is divisible by 3.
- Divisible by 2 and 3 ⇒ divisible by 6. (e.g. n = 4: 64 − 4 = 60 = 6 × 10.)
- n³ − n = n(n² − 1) = (n − 1)n(n + 1), तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल।
- किन्हीं दो क्रमागत पूर्णांकों में एक सम होता है, अतः गुणनफल 2 से विभाज्य।
- किन्हीं तीन क्रमागत पूर्णांकों में एक 3 का गुणज होता है, अतः 3 से विभाज्य।
- 2 और 3 से विभाज्य ⇒ 6 से विभाज्य। (जैसे n = 4: 64 − 4 = 60 = 6 × 10।)
- n³ − n = n(n² − 1) = (n − 1)n(n + 1), teen consecutive integers ka product.
- Kinhi do consecutive integers mein ek even hota hai, isliye product 2 se divisible.
- Kinhi teen consecutive integers mein ek 3 ka multiple hota hai, isliye 3 se divisible.
- 2 aur 3 se divisible ⇒ 6 se divisible. (Jaise n = 4: 64 − 4 = 60 = 6 × 10.)
If x + 1/x = 5, find x² + 1/x².यदि x + 1/x = 5, तो x² + 1/x² ज्ञात कीजिए।Agar x + 1/x = 5, to x² + 1/x² nikaaliye.
- (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x².
- 25 = x² + 1/x² + 2 ⇒ x² + 1/x² = 23.
- (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x²।
- 25 = x² + 1/x² + 2 ⇒ x² + 1/x² = 23।
- (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x².
- 25 = x² + 1/x² + 2 ⇒ x² + 1/x² = 23.
⚠️ Common mistakesआम गलतियाँAam galtiyan
- Writing (a + b)² = a² + b² → the 2ab term is missing.
- Writing (a − b)² = a² − b² → it is a² − 2ab + b².
- Cancelling terms instead of factors in a fraction.
- Wrong bracket sign in x³ + y³: it is x² − xy + y².
- (a + b)² = a² + b² लिखना → 2ab पद छूट गया।
- (a − b)² = a² − b² लिखना → यह a² − 2ab + b² है।
- भिन्न में गुणनखंड की जगह पद काटना।
- x³ + y³ में कोष्ठक का गलत चिह्न: यह x² − xy + y² है।
- (a + b)² = a² + b² likhna → 2ab term chhoot gaya.
- (a − b)² = a² − b² likhna → yeh a² − 2ab + b² hai.
- Fraction mein factor ki jagah terms cancel karna.
- x³ + y³ mein bracket ka galat sign: yeh x² − xy + y² hai.
💎 Less common but importantकम चर्चित पर ज़रूरीKam common par zaroori
- Śrīdharāchārya (c. 750 CE) squared numbers with a² = (a + b)(a − b) + b².
- Combining two three-term squares: (a + b − c)² + (a − b + c)² = 2a² + 2b² + 2c² − 4bc (the ab and ca terms cancel).
- श्रीधराचार्य (लगभग 750 ई.) ने a² = (a + b)(a − b) + b² से वर्ग निकाले।
- दो तीन-पद वर्गों को जोड़ना: (a + b − c)² + (a − b + c)² = 2a² + 2b² + 2c² − 4bc (ab और ca वाले पद कट जाते हैं)।
- Śrīdharāchārya (lagbhag 750 CE) ne a² = (a + b)(a − b) + b² se squares nikaale.
- Do teen-term squares ko jodna: (a + b − c)² + (a − b + c)² = 2a² + 2b² + 2c² − 4bc (ab aur ca wale terms cancel ho jaate hain).
⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision
- (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
- a² − b² = (a + b)(a − b)
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
- x³ ± y³ = (x ± y)(x² ∓ xy + y²)
- x + y + z = 0 ⇒ x³ + y³ + z³ = 3xyz
- (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
- a² − b² = (a + b)(a − b)
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
- x³ ± y³ = (x ± y)(x² ∓ xy + y²)
- x + y + z = 0 ⇒ x³ + y³ + z³ = 3xyz
- (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
- a² − b² = (a + b)(a − b)
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
- x³ ± y³ = (x ± y)(x² ∓ xy + y²)
- x + y + z = 0 ⇒ x³ + y³ + z³ = 3xyz
⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision
- An identity is true for all values; an equation only for some.
- (a + b)² = a² + 2ab + b² is seen as a square split into 4 pieces.
- (a − b)² = a² − 2ab + b²; (a + b)² − (a − b)² = 4ab.
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca.
- a² − b² = (a + b)(a − b) gives quick products like 103 × 97 = 9991.
- Algebra tiles: arrange x², x and 1 tiles into a rectangle; its sides are the factors.
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab: find two numbers with the right sum and product.
- For Ax² + Bx + C, split B using two numbers whose product is AC.
- (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³.
- x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²); x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²).
- x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − yz − zx).
- Rational expressions: factorise fully, cancel only common non-zero factors.
- सर्वसमिका सभी मानों के लिए सत्य; समीकरण केवल कुछ के लिए।
- (a + b)² = a² + 2ab + b² को 4 टुकड़ों में बँटे वर्ग से देखा जाता है।
- (a − b)² = a² − 2ab + b²; (a + b)² − (a − b)² = 4ab।
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca।
- a² − b² = (a + b)(a − b) से जल्दी गुणनफल, जैसे 103 × 97 = 9991।
- बीजीय टाइलें: x², x और 1 टाइलों को आयत में सजाइए; उसकी भुजाएँ गुणनखंड हैं।
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab: सही योग और गुणनफल वाली दो संख्याएँ ढूँढिए।
- Ax² + Bx + C के लिए B को ऐसी दो संख्याओं में बाँटिए जिनका गुणनफल AC हो।
- (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³।
- x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²); x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²)।
- x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − yz − zx)।
- परिमेय व्यंजक: पूरे गुणनखंड कीजिए, केवल उभयनिष्ठ शून्येतर गुणनखंड काटिए।
- Identity saari values ke liye sahi; equation sirf kuch ke liye.
- (a + b)² = a² + 2ab + b² ko 4 tukdon mein bante square se dekhte hain.
- (a − b)² = a² − 2ab + b²; (a + b)² − (a − b)² = 4ab.
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca.
- a² − b² = (a + b)(a − b) se jaldi products, jaise 103 × 97 = 9991.
- Algebra tiles: x², x aur 1 tiles ko rectangle mein sajaaiye; uski sides factors hain.
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab: sahi sum aur product wale do numbers dhoondhiye.
- Ax² + Bx + C ke liye B ko aise do numbers mein baantiye jinka product AC ho.
- (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³.
- x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²); x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²).
- x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − yz − zx).
- Rational expressions: poora factorise kijiye, sirf common non-zero factors cancel kijiye.
Notes written by Simple Learning Hub from the current NCERT syllabus.नोट्स Simple Learning Hub ने वर्तमान NCERT पाठ्यक्रम से लिखे हैं।Notes Simple Learning Hub ne current NCERT syllabus se likhe hain.