The World of Numbersसंख्याओं की दुनियाThe World of Numbers

• Counting began with one-to-one correspondence: matching each object with a pebble, notch or finger.
• Natural numbers are the counting numbers: N = {1, 2, 3, 4, …}.
• Very old tally bones (the Lebombo and Ishango bones from Africa) show people recording counts tens of thousands of years ago.
• One column of the Ishango bone has groups of 11, 13, 17 and 19 notches: the primes between 10 and 20.
• In India, the Vedas named powers of 10 up to 10¹² (parārdha); this place-value thinking led to our decimal system.
• Natural numbers are closed under addition and multiplication, but not under subtraction (3 − 5 is not a natural number).

• गिनती एकैकी संगतता से शुरू हुई: हर वस्तु को एक कंकड़, खाँच या उँगली से मिलाना।
• प्राकृत संख्याएँ गिनती की संख्याएँ हैं: N = {1, 2, 3, 4, …}।
• बहुत पुरानी मिलान-चिह्न वाली हड्डियाँ (अफ्रीका की लेबोम्बो और इशांगो हड्डियाँ) दिखाती हैं कि लोग हज़ारों वर्ष पहले गिनती दर्ज करते थे।
• इशांगो हड्डी के एक स्तंभ में 11, 13, 17 और 19 खाँचों के समूह हैं: 10 और 20 के बीच की अभाज्य संख्याएँ।
• भारत में वेदों ने 10 की घातों के नाम 10¹² (परार्ध) तक दिए; इसी स्थानीय मान की सोच से हमारी दशमलव पद्धति बनी।
• प्राकृत संख्याएँ योग और गुणन के अंतर्गत संवृत हैं, पर व्यवकलन के अंतर्गत नहीं (3 − 5 प्राकृत संख्या नहीं है)।

• Ginti one-to-one correspondence se shuru hui: har cheez ko ek kankad, notch ya ungli se match karna.
• Natural numbers counting numbers hain: N = {1, 2, 3, 4, …}.
• Bahut purani tally wali haddiyan (Africa ki Lebombo aur Ishango bones) dikhati hain ki log hazaaron saal pehle ginti record karte the.
• Ishango bone ke ek column mein 11, 13, 17 aur 19 notches ke groups hain: 10 aur 20 ke beech ke prime numbers.
• India mein Vedas ne 10 ki powers ke naam 10¹² (parārdha) tak diye; isi place-value soch se hamara decimal system bana.
• Natural numbers addition aur multiplication ke under closed hain, par subtraction ke under nahi (3 − 5 natural number nahi hai).

💡 To disprove 'closed', one counter-example is enough.'संवृत' को गलत सिद्ध करने के लिए एक प्रति-उदाहरण काफ़ी है।'Closed' ko galat prove karne ke liye ek counter-example kaafi hai.

• Older systems (Babylonian, Mayan) used a placeholder for an empty place but did not treat 'nothing' as a number.
• The Indian idea of śhūnyatā (emptiness) prepared the ground for zero as a number.
• The Bakhśhālī manuscript uses a bold dot (bindu) for zero.
• Brahmagupta, in the Brāhmasphuṭasiddhānta (628 CE), defined zero as a number minus itself: a − a = 0.
• His rules: a + 0 = a, a − 0 = a, a × 0 = 0.
• Division by zero is not defined: no number times 0 can give a non-zero number.
• Adding 0 to N gives the whole numbers W = {0, 1, 2, 3, …}.

• पुरानी पद्धतियाँ (बेबीलोनी, माया) खाली स्थान के लिए स्थान-धारक प्रयोग करती थीं, पर 'कुछ नहीं' को संख्या नहीं मानती थीं।
• शून्यता (रिक्तता) के भारतीय विचार ने शून्य को संख्या बनने की ज़मीन दी।
• बख़्शाली पांडुलिपि में शून्य के लिए मोटा बिंदु प्रयोग हुआ है।
• ब्रह्मगुप्त ने ब्राह्मस्फुटसिद्धांत (628 ई.) में शून्य को किसी संख्या में से वही संख्या घटाने का फल बताया: a − a = 0।
• उनके नियम: a + 0 = a, a − 0 = a, a × 0 = 0।
• शून्य से भाग परिभाषित नहीं है: 0 से गुणा करके कोई शून्येतर संख्या नहीं मिल सकती।
• N में 0 जोड़ने पर पूर्ण संख्याएँ W = {0, 1, 2, 3, …} मिलती हैं।

• Purane systems (Babylonian, Mayan) khaali jagah ke liye placeholder use karte the, par 'kuch nahi' ko number nahi maante the.
• Śhūnyatā (khaalipan) ke Indian idea ne zero ko number banne ki zameen di.
• Bakhśhālī manuscript mein zero ke liye mota dot (bindu) use hua hai.
• Brahmagupta ne Brāhmasphuṭasiddhānta (628 CE) mein zero ko kisi number mein se wahi number ghataane ka result bataya: a − a = 0.
• Unke rules: a + 0 = a, a − 0 = a, a × 0 = 0.
• Zero se divide defined nahi hai: 0 se multiply karke koi non-zero number nahi mil sakta.
• N mein 0 jodne par whole numbers W = {0, 1, 2, 3, …} milte hain.

💡 0 ÷ 5 = 0 is fine; 5 ÷ 0 is not defined. Don't mix them up.0 ÷ 5 = 0 ठीक है; 5 ÷ 0 परिभाषित नहीं। इन्हें मत उलझाइए।0 ÷ 5 = 0 theek hai; 5 ÷ 0 defined nahi. Inhe mat uljhaiye.

• Brahmagupta treated positive numbers as fortunes (dhana) and negative numbers as debts (ṛiṇa).
• Integers: Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}; on the number line, negatives lie to the left of 0.
• Fortune + fortune = fortune: 6 + 3 = 9. Debt + debt = debt: (−6) + (−3) = −9.
• Debt × fortune = debt: (−4) × 5 = −20. Debt × debt = fortune: (−4) × (−5) = 20.
• Subtracting a negative is adding: 10 − (−5) = 15 (removing a debt makes you richer).
• Division follows the same sign rule: (−24) ÷ 6 = −4, (−24) ÷ (−6) = 4.
• Every integer a has an additive inverse −a with a + (−a) = 0.

• ब्रह्मगुप्त ने धनात्मक संख्याओं को धन और ऋणात्मक संख्याओं को ऋण माना।
• पूर्णांक: Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}; संख्या रेखा पर ऋणात्मक संख्याएँ 0 के बाईं ओर होती हैं।
• धन + धन = धन: 6 + 3 = 9। ऋण + ऋण = ऋण: (−6) + (−3) = −9।
• ऋण × धन = ऋण: (−4) × 5 = −20। ऋण × ऋण = धन: (−4) × (−5) = 20।
• ऋणात्मक को घटाना जोड़ने के समान है: 10 − (−5) = 15 (कर्ज़ हटने से आप अमीर होते हैं)।
• भाग में भी यही चिह्न नियम: (−24) ÷ 6 = −4, (−24) ÷ (−6) = 4।
• हर पूर्णांक a का योज्य प्रतिलोम −a है, जहाँ a + (−a) = 0।

• Brahmagupta ne positive numbers ko fortunes (dhana) aur negative numbers ko debts (ṛiṇa) maana.
• Integers: Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}; number line par negatives 0 ke left mein hote hain.
• Fortune + fortune = fortune: 6 + 3 = 9. Debt + debt = debt: (−6) + (−3) = −9.
• Debt × fortune = debt: (−4) × 5 = −20. Debt × debt = fortune: (−4) × (−5) = 20.
• Negative ko subtract karna add karne jaisa hai: 10 − (−5) = 15 (karz hatne se aap ameer hote ho).
• Division mein bhi yahi sign rule: (−24) ÷ 6 = −4, (−24) ÷ (−6) = 4.
• Har integer a ka additive inverse −a hai, jahan a + (−a) = 0.

💡 Count the minus signs in a product: even number → answer positive, odd number → negative.गुणनफल में ऋण चिह्न गिनिए: सम संख्या → उत्तर धनात्मक, विषम → ऋणात्मक।Product mein minus signs giniye: even → answer positive, odd → negative.

• A rational number is any number that can be written as p/q, where p and q are integers and q ≠ 0. The set is written Q (for quotient).
• q ≠ 0 because division by zero is not defined.
• Every integer is rational: 5 = 5/1, −10 = −10/1. So N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q.
• The same rational number has many forms: 1/3 = 2/6 = 5/15 (equivalent fractions). We usually use lowest terms (p and q co-prime).
• a/b = c/d exactly when ad = bc.
• Rules: a/b + c/b = (a + c)/b; (a/b) × (c/d) = ac/bd; (a/b) ÷ (c/d) = ad/bc (c ≠ 0).
• Q is closed under +, −, × and under ÷ by a non-zero number. Addition and multiplication are commutative and associative, and multiplication distributes over addition.
• To mark p/q on the number line, cut each unit into q equal parts and move p parts (right if positive, left if negative).
• Absolute value |x| = distance of x from 0, so |x| ≥ 0; distance between a and b = |a − b|.
• Density: between any two rational numbers there is another one, e.g. their average (a + b)/2. So there are infinitely many.

• परिमेय संख्या वह है जिसे p/q रूप में लिखा जा सके, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। इस समुच्चय को Q लिखते हैं (भागफल से)।
• q ≠ 0 क्योंकि शून्य से भाग परिभाषित नहीं है।
• हर पूर्णांक परिमेय है: 5 = 5/1, −10 = −10/1। अतः N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q।
• एक ही परिमेय संख्या के अनेक रूप होते हैं: 1/3 = 2/6 = 5/15 (तुल्य भिन्न)। सामान्यतः न्यूनतम रूप (p और q सहअभाज्य) लेते हैं।
• a/b = c/d तभी जब ad = bc।
• नियम: a/b + c/b = (a + c)/b; (a/b) × (c/d) = ac/bd; (a/b) ÷ (c/d) = ad/bc (c ≠ 0)।
• Q, +, −, × के अंतर्गत और शून्येतर संख्या से ÷ के अंतर्गत संवृत है। योग और गुणन क्रमविनिमेय और साहचर्य हैं, और गुणन योग पर वितरित होता है।
• संख्या रेखा पर p/q दिखाने के लिए हर इकाई को q बराबर भागों में बाँटिए और p भाग चलिए (धनात्मक हो तो दाएँ, ऋणात्मक हो तो बाएँ)।
• निरपेक्ष मान |x| = 0 से x की दूरी, अतः |x| ≥ 0; a और b के बीच दूरी = |a − b|।
• सघनता: किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच एक और परिमेय संख्या होती है, जैसे उनका औसत (a + b)/2। अतः अनगिनत होती हैं।

• Rational number woh hai jise p/q form mein likha ja sake, jahan p aur q integers hain aur q ≠ 0. Is set ko Q likhte hain (quotient se).
• q ≠ 0 kyonki zero se divide defined nahi hai.
• Har integer rational hai: 5 = 5/1, −10 = −10/1. Isliye N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q.
• Ek hi rational number ke kai roop hote hain: 1/3 = 2/6 = 5/15 (equivalent fractions). Aam taur par lowest terms (p aur q co-prime) lete hain.
• a/b = c/d tabhi jab ad = bc.
• Rules: a/b + c/b = (a + c)/b; (a/b) × (c/d) = ac/bd; (a/b) ÷ (c/d) = ad/bc (c ≠ 0).
• Q, +, −, × ke under aur non-zero number se ÷ ke under closed hai. Addition aur multiplication commutative aur associative hain, aur multiplication addition par distribute hota hai.
• Number line par p/q dikhane ke liye har unit ko q barabar parts mein baantiye aur p parts chaliye (positive ho to right, negative ho to left).
• Absolute value |x| = 0 se x ki distance, isliye |x| ≥ 0; a aur b ke beech distance = |a − b|.
• Density: kinhi do rational numbers ke beech ek aur rational hota hai, jaise unka average (a + b)/2. Isliye anginat hote hain.

💡 For 'n rationals between', make the denominators equal and large (×10 or ×100), then pick numerators in between.'n परिमेय संख्याएँ बीच में' के लिए हर बराबर और बड़े बनाइए (×10 या ×100), फिर बीच के अंश चुनिए।'n rationals beech mein' ke liye denominators barabar aur bade banaiye (×10 ya ×100), phir beech ke numerators chuniye.

• The diagonal of a square of side 1 has length d with d² = 1² + 1² = 2, so d = √2.
• Baudhāyana's Śhulbasūtra (rules for building fire altars) already met such lengths that are not fractions.
• A number on the number line that cannot be written as p/q (p, q integers, q ≠ 0) is called irrational.
• Examples: √2, √3, √5, π. But √4 = 2 and √(9/16) = 3/4 are rational.
• √2 is irrational: proved by contradiction (credited to Hippasus of the Pythagorean school).
• Proof by contradiction: assume the opposite of what you want, and show that it leads to an impossible statement.
• Key fact used: if p² is even, then p is even (an odd number squared is odd).

• भुजा 1 वाले वर्ग के विकर्ण की लंबाई d के लिए d² = 1² + 1² = 2, अतः d = √2।
• बौधायन के शुल्बसूत्र (यज्ञ-वेदी बनाने के नियम) में ऐसी लंबाइयाँ पहले ही आ गई थीं जो भिन्न नहीं हैं।
• संख्या रेखा की वह संख्या जिसे p/q (p, q पूर्णांक, q ≠ 0) रूप में न लिखा जा सके, अपरिमेय कहलाती है।
• उदाहरण: √2, √3, √5, π। पर √4 = 2 और √(9/16) = 3/4 परिमेय हैं।
• √2 अपरिमेय है: विरोधाभास द्वारा सिद्ध (पाइथागोरस संप्रदाय के हिपेसस को श्रेय)।
• विरोधाभास द्वारा उपपत्ति: जो सिद्ध करना है उसका उल्टा मानिए, और दिखाइए कि इससे असंभव कथन बनता है।
• प्रयुक्त तथ्य: यदि p² सम है, तो p सम है (विषम संख्या का वर्ग विषम होता है)।

• Side 1 wale square ke diagonal ki length d ke liye d² = 1² + 1² = 2, isliye d = √2.
• Baudhāyana ke Śhulbasūtra (yagya-vedi banane ke rules) mein aisi lengths pehle hi aa gayi thin jo fraction nahi hain.
• Number line ka woh number jise p/q (p, q integers, q ≠ 0) form mein na likha ja sake, irrational kehlaata hai.
• Examples: √2, √3, √5, π. Par √4 = 2 aur √(9/16) = 3/4 rational hain.
• √2 irrational hai: contradiction se prove (Pythagorean school ke Hippasus ko credit).
• Proof by contradiction: jo prove karna hai uska ulta maaniye, aur dikhaiye ki usse impossible statement banta hai.
• Use hua fact: agar p² even hai, to p even hai (odd number ka square odd hota hai).

💡 In the √2 proof, write the line 'p and q have no common factor' clearly: the whole contradiction hangs on it.√2 की उपपत्ति में 'p और q में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं' स्पष्ट लिखिए: पूरा विरोधाभास इसी पर टिका है।√2 proof mein 'p aur q mein koi common factor nahi' saaf likhiye: poora contradiction isi par tika hai.

• Mark O at 0 and A at 1 on the number line, so OA = 1 unit.
• At A draw a perpendicular and mark B on it with AB = 1 unit. Join OB.
• By Baudhāyana–Pythagoras, OB = √(1² + 1²) = √2.
• With centre O and radius OB, draw an arc to cut the number line at P. Then OP = √2, so P represents √2.
• Repeat: at P draw a perpendicular PC = 1; OC = √(2 + 1) = √3; an arc with centre O gives √3 on the line.
• Repeating the step gives √4 = 2, √5, √6, …: any √n for a positive integer n can be constructed this way.
• So irrational numbers also have exact points on the number line.

• संख्या रेखा पर 0 पर O और 1 पर A अंकित कीजिए, अतः OA = 1 इकाई।
• A पर लंब खींचिए और उस पर B अंकित कीजिए जहाँ AB = 1 इकाई। OB मिलाइए।
• बौधायन–पाइथागोरस से OB = √(1² + 1²) = √2।
• O केंद्र और OB त्रिज्या लेकर चाप खींचिए जो संख्या रेखा को P पर काटे। तब OP = √2, अतः P, √2 को दर्शाता है।
• दोहराइए: P पर लंब PC = 1; OC = √(2 + 1) = √3; O केंद्र वाला चाप रेखा पर √3 देता है।
• चरण दोहराने से √4 = 2, √5, √6, … मिलते हैं: किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए √n ऐसे बनाया जा सकता है।
• अतः अपरिमेय संख्याओं के भी संख्या रेखा पर निश्चित बिंदु होते हैं।

• Number line par 0 par O aur 1 par A mark kijiye, isliye OA = 1 unit.
• A par perpendicular kheenchiye aur us par B mark kijiye jahan AB = 1 unit. OB jodiye.
• Baudhāyana–Pythagoras se OB = √(1² + 1²) = √2.
• O centre aur OB radius lekar arc kheenchiye jo number line ko P par kaate. Tab OP = √2, isliye P √2 ko represent karta hai.
• Repeat kijiye: P par perpendicular PC = 1; OC = √(2 + 1) = √3; O centre wala arc line par √3 deta hai.
• Step repeat karne se √4 = 2, √5, √6, … milte hain: kisi bhi positive integer n ke liye √n aise ban sakta hai.
• Isliye irrational numbers ke bhi number line par exact points hote hain.

💡 Always mark the right angle and write the Baudhāyana–Pythagoras step: it carries marks.समकोण का चिह्न लगाइए और बौधायन–पाइथागोरस वाला चरण लिखिए: इसी के अंक मिलते हैं।Right angle mark lagaiye aur Baudhāyana–Pythagoras wala step likhiye: isi ke marks milte hain.

• π = circumference ÷ diameter of any circle; it is the same for every circle.
• Āryabhaṭa (499 CE) gave π ≈ 3927/1250 = 3.1416 and called it āsanna (an approximation).
• π is irrational (proved by Johann Lambert in 1761), so no fraction is exactly equal to π; 22/7 and 3.14 are only approximations.
• Mādhava of Sangamagrāma (14th century, Kerala School) gave an exact formula as an infinite sum: π = 4 × (1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + …).
• An infinite sum means the value that the partial sums get closer and closer to as more terms are added.

• π = किसी भी वृत्त की परिधि ÷ व्यास; यह हर वृत्त के लिए समान है।
• आर्यभट (499 ई.) ने π ≈ 3927/1250 = 3.1416 दिया और इसे आसन्न (सन्निकट मान) कहा।
• π अपरिमेय है (योहान लैम्बर्ट ने 1761 में सिद्ध किया), अतः कोई भिन्न π के ठीक बराबर नहीं; 22/7 और 3.14 केवल सन्निकट मान हैं।
• संगमग्राम के माधव (14वीं शताब्दी, केरल स्कूल) ने अनंत योग के रूप में सटीक सूत्र दिया: π = 4 × (1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + …)।
• अनंत योग का अर्थ है वह मान जिसके अधिकाधिक पद जोड़ने पर आंशिक योग उसके निकट और निकट पहुँचते जाते हैं।

• π = kisi bhi circle ki circumference ÷ diameter; yeh har circle ke liye same hai.
• Āryabhaṭa (499 CE) ne π ≈ 3927/1250 = 3.1416 diya aur ise āsanna (approximation) kaha.
• π irrational hai (Johann Lambert ne 1761 mein prove kiya), isliye koi fraction π ke exactly barabar nahi; 22/7 aur 3.14 sirf approximations hain.
• Sangamagrāma ke Mādhava (14th century, Kerala School) ne infinite sum ke roop mein exact formula diya: π = 4 × (1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + …).
• Infinite sum ka matlab woh value jiske zyada se zyada terms jodne par partial sums uske kareeb aur kareeb pahunchte jaate hain.

💡 Write 'π ≈ 22/7' with the approximately-equal sign, never 'π = 22/7'.'π ≈ 22/7' लगभग-बराबर चिह्न के साथ लिखिए, कभी 'π = 22/7' नहीं।'π ≈ 22/7' approximately-equal sign ke saath likhiye, kabhi 'π = 22/7' nahi.

• Rational and irrational numbers together form the real numbers R: a continuous number line with no gaps.
• Chain of sets: N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; irrational numbers are the real numbers that are not in Q.
• Decimal of a rational number either terminates (3/8 = 0.375) or repeats forever (5/11 = 0.454545… = 0.45 with a bar on 45).
• Why it repeats: in long division by q only the remainders 1, 2, …, q − 1 are possible, so a remainder must come back.
• Test without dividing: write p/q in lowest terms. The decimal terminates exactly when q has no prime factors other than 2 and 5.
• Irrational numbers have decimals that never end and never repeat: √2 = 1.41421356…, π = 3.14159265…
• Pure repeating to p/q: x = 0.2727…; 100x = 27.2727…; subtract: 99x = 27; x = 27/99 = 3/11.
• Mixed repeating: x = 1.2333…; 10x = 12.333…; 100x = 123.333…; 90x = 111; x = 111/90 = 37/30.
• 0.999… = 1 exactly (let x = 0.999…, 10x = 9.999…, 9x = 9, x = 1). So a terminating decimal also has a form ending in repeating 9s.

• परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ मिलकर वास्तविक संख्याएँ R बनाती हैं: बिना रिक्त स्थान वाली सतत संख्या रेखा।
• समुच्चयों की श्रृंखला: N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; अपरिमेय संख्याएँ वे वास्तविक संख्याएँ हैं जो Q में नहीं हैं।
• परिमेय संख्या का दशमलव या तो सांत होता है (3/8 = 0.375) या हमेशा दोहराता है (5/11 = 0.454545…, 45 पर रेखा)।
• क्यों दोहराता है: q से लंबी विभाजन में केवल 1, 2, …, q − 1 शेषफल संभव हैं, इसलिए कोई शेषफल लौटकर आता ही है।
• बिना भाग दिए जाँच: p/q को न्यूनतम रूप में लिखिए। दशमलव ठीक तब सांत होगा जब q के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों।
• अपरिमेय संख्याओं के दशमलव न कभी खत्म होते हैं, न दोहराते हैं: √2 = 1.41421356…, π = 3.14159265…
• शुद्ध आवर्ती से p/q: x = 0.2727…; 100x = 27.2727…; घटाइए: 99x = 27; x = 27/99 = 3/11।
• मिश्रित आवर्ती: x = 1.2333…; 10x = 12.333…; 100x = 123.333…; 90x = 111; x = 111/90 = 37/30।
• 0.999… = 1 ठीक-ठीक (x = 0.999…, 10x = 9.999…, 9x = 9, x = 1)। अतः सांत दशमलव का भी एक रूप दोहराते 9 वाला होता है।

• Rational aur irrational numbers milkar real numbers R banate hain: bina gap wali continuous number line.
• Sets ki chain: N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; irrational numbers woh real numbers hain jo Q mein nahi hain.
• Rational number ka decimal ya to terminate hota hai (3/8 = 0.375) ya hamesha repeat karta hai (5/11 = 0.454545…, 45 par bar).
• Repeat kyon: q se long division mein sirf 1, 2, …, q − 1 remainders possible hain, isliye koi remainder wapas aata hi hai.
• Bina divide kiye test: p/q ko lowest terms mein likhiye. Decimal tabhi terminate hoga jab q ke prime factors sirf 2 aur 5 hon.
• Irrational numbers ke decimals na kabhi khatam hote hain, na repeat karte hain: √2 = 1.41421356…, π = 3.14159265…
• Pure repeating se p/q: x = 0.2727…; 100x = 27.2727…; subtract: 99x = 27; x = 27/99 = 3/11.
• Mixed repeating: x = 1.2333…; 10x = 12.333…; 100x = 123.333…; 90x = 111; x = 111/90 = 37/30.
• 0.999… = 1 exactly (x = 0.999…, 10x = 9.999…, 9x = 9, x = 1). Isliye terminating decimal ka bhi ek roop repeating 9 wala hota hai.

💡 Reduce p/q to lowest terms before testing the denominator: 6/15 = 2/5 terminates even though 15 has a 3.हर जाँचने से पहले p/q को न्यूनतम रूप में लाइए: 6/15 = 2/5 सांत है, जबकि 15 में 3 है।Denominator check karne se pehle p/q ko lowest terms mein laaiye: 6/15 = 2/5 terminate karta hai, bhale 15 mein 3 hai.

• 1/7 = 0.142857142857…; the repeating block 142857 has 6 digits.
• 142857 × 1, 2, 3, 4, 5, 6 gives 142857, 285714, 428571, 571428, 714285, 857142: the same digits rotated.
• A number with this property is called a cyclic number.
• So 2/7 = 0.285714…, 3/7 = 0.428571…, and so on: every k/7 (k = 1 to 6) uses the same cycle starting at a different place.
• 142857 × 7 = 999999, which links the cycle to the repeating decimal of 1/7.

• 1/7 = 0.142857142857…; दोहराने वाले समूह 142857 में 6 अंक हैं।
• 142857 × 1, 2, 3, 4, 5, 6 से 142857, 285714, 428571, 571428, 714285, 857142 मिलते हैं: वही अंक घूमकर।
• इस गुण वाली संख्या चक्रीय संख्या कहलाती है।
• अतः 2/7 = 0.285714…, 3/7 = 0.428571…, इत्यादि: हर k/7 (k = 1 से 6) वही चक्र अलग स्थान से शुरू करता है।
• 142857 × 7 = 999999, जो इस चक्र को 1/7 के आवर्ती दशमलव से जोड़ता है।

• 1/7 = 0.142857142857…; repeating block 142857 mein 6 digits hain.
• 142857 × 1, 2, 3, 4, 5, 6 se 142857, 285714, 428571, 571428, 714285, 857142 milte hain: wahi digits ghoom kar.
• Is property wala number cyclic number kehlaata hai.
• Isliye 2/7 = 0.285714…, 3/7 = 0.428571…, waghaira: har k/7 (k = 1 se 6) wahi cycle alag jagah se shuru karta hai.
• 142857 × 7 = 999999, jo is cycle ko 1/7 ke repeating decimal se jodta hai.

💡 Remember 1/7 = 0.142857 with a bar on all six digits.याद रखें 1/7 = 0.142857, छहों अंकों पर रेखा।Yaad rakhiye 1/7 = 0.142857, chhe digits par bar.