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Introduction to Linear Polynomialsरैखिक बहुपदों का परिचयIntroduction to Linear Polynomials

Class 9 Maths · Chapter 2 · Exam notesकक्षा 9 गणित · अध्याय 2 · परीक्षा नोट्सClass 9 Maths · Chapter 2 · Exam notes

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  1. Polynomials, degree and linear polynomialsबहुपद, घात और रैखिक बहुपदPolynomials, degree aur linear polynomials
  2. Linear patterns: constant differenceरैखिक पैटर्न: अचर अंतरLinear patterns: constant difference
  3. Linear growth and linear decayरैखिक वृद्धि और रैखिक ह्रासLinear growth aur linear decay
  4. Linear relationships y = ax + bरैखिक संबंध y = ax + bLinear relationships y = ax + b
  5. Graphs of linear relationships: straight linesरैखिक संबंधों के आलेख: सीधी रेखाएँLinear relationships ke graph: seedhi lines
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Start here: the must-know basics of this chapter.यहाँ से शुरू करें: इस अध्याय की ज़रूरी बेसिक बातें।Yahan se shuru kijiye: is chapter ki zaroori basic baatein.

👉 Read this firstसबसे पहले यह पढ़ेंSabse pehle yeh padhiye

A linear polynomial is the simplest polynomial: ax + b, with power of x equal to 1. Learn degree and coefficients, how linear patterns grow by a fixed amount each step (linear growth) or shrink by a fixed amount (linear decay), how to find y = ax + b from two given facts, and how every such equation draws a straight line.रैखिक बहुपद सबसे सरल बहुपद है: ax + b, जिसमें x की घात 1 है। घात और गुणांक, रैखिक पैटर्न हर चरण में निश्चित मात्रा से कैसे बढ़ते हैं (रैखिक वृद्धि) या घटते हैं (रैखिक ह्रास), दो दी गई जानकारियों से y = ax + b कैसे निकालें, और ऐसा हर समीकरण सीधी रेखा क्यों बनाता है, यह सीखिए।Linear polynomial sabse simple polynomial hai: ax + b, jisme x ki power 1 hai. Degree aur coefficients, linear patterns har step mein fixed amount se kaise badhte hain (linear growth) ya ghat-te hain (linear decay), do di gayi baaton se y = ax + b kaise nikaalein, aur aisi har equation seedhi line kyon banati hai, yeh seekhiye.

🔀 From a pattern to a straight lineपैटर्न से सीधी रेखा तकPattern se seedhi line tak
  1. Notice a fixed change at every stepहर चरण पर निश्चित परिवर्तन देखिएHar step par fixed change dekhiye
  2. Write the rule as a linear polynomial ax + bनियम को रैखिक बहुपद ax + b के रूप में लिखिएRule ko linear polynomial ax + b ki tarah likhiye
  3. a > 0: linear growth; a < 0: linear decaya > 0: रैखिक वृद्धि; a < 0: रैखिक ह्रासa > 0: linear growth; a < 0: linear decay
  4. Two data points give a and b in y = ax + bदो आँकड़े y = ax + b में a और b देते हैंDo data points y = ax + b mein a aur b dete hain
  5. Plot two points and join: a straight lineदो बिंदु आलेखित कर मिलाइए: सीधी रेखाDo points plot karke jodiye: seedhi line

🏅 Must-know minimumज़रूरी न्यूनतमZaroori minimum

  • Find the degree: highest power of the variable; degree 1 = linear.
  • Substitute to find a value: p(3) means put x = 3.
  • Linear pattern: same difference each step; nth term = d·n + (first term − d).
  • Growth (+ rate) vs decay (− rate), with one example each.
  • Draw y = ax + b with two points; b is where it cuts the y-axis.
  • घात ज्ञात कीजिए: चर की सबसे बड़ी घात; घात 1 = रैखिक।
  • मान निकालने के लिए रखिए: p(3) मतलब x = 3 रखें।
  • रैखिक पैटर्न: हर चरण समान अंतर; nवाँ पद = d·n + (पहला पद − d)।
  • वृद्धि (+ दर) बनाम ह्रास (− दर), दोनों का एक-एक उदाहरण।
  • y = ax + b दो बिंदुओं से खींचिए; b वह जगह है जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है।
  • Degree nikaaliye: variable ki sabse badi power; degree 1 = linear.
  • Value ke liye rakhiye: p(3) matlab x = 3 rakhiye.
  • Linear pattern: har step same difference; nth term = d·n + (pehla term − d).
  • Growth (+ rate) vs decay (− rate), dono ka ek-ek example.
  • y = ax + b do points se draw kijiye; b woh jagah hai jahan line y-axis ko kaatti hai.

🎯 Quick 1-mark facts1 अंक वाले ज़रूरी तथ्य1 mark wale zaroori facts

  • Degree of a constant = 0.
  • Degree of 3x − 7 = 1.
  • y = 2x + 5 cuts the y-axis at (0, 5).
  • y = 4x and y = 4x − 1 are parallel.
  • Decay: the rate (coefficient) is negative.
  • अचर की घात = 0।
  • 3x − 7 की घात = 1।
  • y = 2x + 5, y-अक्ष को (0, 5) पर काटती है।
  • y = 4x और y = 4x − 1 समांतर हैं।
  • ह्रास: दर (गुणांक) ऋणात्मक है।
  • Constant ki degree = 0.
  • 3x − 7 ki degree = 1.
  • y = 2x + 5, y-axis ko (0, 5) par kaatti hai.
  • y = 4x aur y = 4x − 1 parallel hain.
  • Decay: rate (coefficient) negative hai.
🟡 SCOREस्कोरSCORE

Full chapter notes: key points, definitions, diagrams and important questions with model answers.पूरे अध्याय के नोट्स: मुख्य बातें, परिभाषाएँ, चित्र और आदर्श उत्तरों के साथ महत्वपूर्ण प्रश्न।Poore chapter ke notes: key points, definitions, diagrams aur model answers ke saath important sawaal.

Polynomials, degree and linear polynomialsबहुपद, घात और रैखिक बहुपदPolynomials, degree aur linear polynomials

  • An algebraic expression is made of terms; in 6x + 5, 6 is the coefficient of x, x is the variable and 5 is the constant term.
  • An expression in one variable with whole-number powers, like 4y³ − y + 2, is a one-variable (univariate) polynomial.
  • Degree = the highest power of the variable. 4y³ − y + 2 has degree 3.
  • Names by degree: 0 → constant, 1 → linear, 2 → quadratic, 3 → cubic.
  • A constant like 9 has degree 0 because 9 = 9x⁰.
  • Linear polynomial: ax + b with a ≠ 0 (degree exactly 1). Examples: 3x − 4, 200 + 50m, 7 − 2t.
  • To find the value of a polynomial, substitute the given value of the variable. This works like an input-output machine (a function).
  • Setting a linear polynomial equal to a number gives a linear equation, e.g. 2x + 10 = 64 ⇒ x = 27.
  • बीजीय व्यंजक पदों से बनता है; 6x + 5 में 6, x का गुणांक है, x चर है और 5 अचर पद है।
  • एक चर और पूर्ण संख्या घातों वाला व्यंजक, जैसे 4y³ − y + 2, एक चर वाला बहुपद कहलाता है।
  • घात = चर की सबसे बड़ी घात। 4y³ − y + 2 की घात 3 है।
  • घात के अनुसार नाम: 0 → अचर, 1 → रैखिक, 2 → द्विघात, 3 → त्रिघात।
  • 9 जैसे अचर की घात 0 है क्योंकि 9 = 9x⁰।
  • रैखिक बहुपद: ax + b जहाँ a ≠ 0 (घात ठीक 1)। उदाहरण: 3x − 4, 200 + 50m, 7 − 2t।
  • बहुपद का मान निकालने के लिए चर का दिया गया मान रखिए। यह एक निवेश-निर्गत मशीन (फलन) की तरह काम करता है।
  • रैखिक बहुपद को किसी संख्या के बराबर रखने पर रैखिक समीकरण मिलता है, जैसे 2x + 10 = 64 ⇒ x = 27।
  • Algebraic expression terms se banta hai; 6x + 5 mein 6, x ka coefficient hai, x variable hai aur 5 constant term hai.
  • Ek variable aur whole-number powers wala expression, jaise 4y³ − y + 2, one-variable (univariate) polynomial kehlaata hai.
  • Degree = variable ki sabse badi power. 4y³ − y + 2 ki degree 3 hai.
  • Degree ke hisaab se naam: 0 → constant, 1 → linear, 2 → quadratic, 3 → cubic.
  • 9 jaise constant ki degree 0 hai kyonki 9 = 9x⁰.
  • Linear polynomial: ax + b jahan a ≠ 0 (degree exactly 1). Examples: 3x − 4, 200 + 50m, 7 − 2t.
  • Polynomial ki value nikaalne ke liye variable ki di gayi value rakhiye. Yeh input-output machine (function) ki tarah kaam karta hai.
  • Linear polynomial ko kisi number ke barabar rakhne par linear equation milti hai, jaise 2x + 10 = 64 ⇒ x = 27.
📖 DefinitionsपरिभाषाएँDefinitions
Polynomial in one variableएक चर वाला बहुपदOne-variable polynomial
An algebraic expression in one variable in which every power of the variable is a whole number.एक चर वाला बीजीय व्यंजक जिसमें चर की हर घात पूर्ण संख्या हो।Ek variable wala algebraic expression jisme variable ki har power whole number ho.
DegreeघातDegree
The highest power of the variable in the polynomial.बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात।Polynomial mein variable ki sabse badi power.
Linear polynomialरैखिक बहुपदLinear polynomial
A polynomial of degree 1, of the form ax + b where a ≠ 0.घात 1 वाला बहुपद, रूप ax + b जहाँ a ≠ 0।Degree 1 wala polynomial, form ax + b jahan a ≠ 0.
Linear equationरैखिक समीकरणLinear equation
A linear polynomial set equal to a constant, e.g. 3x − 4 = 11.किसी अचर के बराबर रखा गया रैखिक बहुपद, जैसे 3x − 4 = 11।Kisi constant ke barabar rakha gaya linear polynomial, jaise 3x − 4 = 11.
✏️ Formulas to rememberयाद रखने वाले सूत्रYaad rakhne wale formulas
Linear polynomial: p(x) = ax + b, a ≠ 0
Constant: degree 0 · linear: 1 · quadratic: 2 · cubic: 3
Value at x = k: p(k) = ak + b
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

Write the degree and the type: (i) 7x³ − 2x + 9 (ii) 5 − 4y (iii) −6 (iv) x² + 3x.घात और प्रकार लिखिए: (i) 7x³ − 2x + 9 (ii) 5 − 4y (iii) −6 (iv) x² + 3x।Degree aur type likhiye: (i) 7x³ − 2x + 9 (ii) 5 − 4y (iii) −6 (iv) x² + 3x.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • (i) Highest power 3 → degree 3, cubic.
  • (ii) Highest power 1 → degree 1, linear.
  • (iii) −6 = −6x⁰ → degree 0, constant.
  • (iv) Highest power 2 → degree 2, quadratic.
  • (i) सबसे बड़ी घात 3 → घात 3, त्रिघात।
  • (ii) सबसे बड़ी घात 1 → घात 1, रैखिक।
  • (iii) −6 = −6x⁰ → घात 0, अचर।
  • (iv) सबसे बड़ी घात 2 → घात 2, द्विघात।
  • (i) Sabse badi power 3 → degree 3, cubic.
  • (ii) Sabse badi power 1 → degree 1, linear.
  • (iii) −6 = −6x⁰ → degree 0, constant.
  • (iv) Sabse badi power 2 → degree 2, quadratic.
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

Find the value of 4x − 7 at x = 3 and at x = −2.4x − 7 का मान x = 3 और x = −2 पर ज्ञात कीजिए।4x − 7 ki value x = 3 aur x = −2 par nikaaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • x = 3: 4 × 3 − 7 = 12 − 7 = 5.
  • x = −2: 4 × (−2) − 7 = −8 − 7 = −15.
  • x = 3: 4 × 3 − 7 = 12 − 7 = 5।
  • x = −2: 4 × (−2) − 7 = −8 − 7 = −15।
  • x = 3: 4 × 3 − 7 = 12 − 7 = 5.
  • x = −2: 4 × (−2) − 7 = −8 − 7 = −15.
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 3 marks3 अंक3 marks

The sum of two numbers is 50 and one of them is 8 more than the other. Find the numbers.दो संख्याओं का योग 50 है और उनमें से एक दूसरी से 8 अधिक है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।Do numbers ka sum 50 hai aur ek doosre se 8 zyada hai. Numbers nikaaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • Let the smaller number be x; the larger is x + 8.
  • x + (x + 8) = 50 ⇒ 2x + 8 = 50 ⇒ 2x = 42 ⇒ x = 21.
  • The numbers are 21 and 29. Check: 21 + 29 = 50 ✓.
  • माना छोटी संख्या x है; बड़ी x + 8 है।
  • x + (x + 8) = 50 ⇒ 2x + 8 = 50 ⇒ 2x = 42 ⇒ x = 21।
  • संख्याएँ 21 और 29 हैं। जाँच: 21 + 29 = 50 ✓।
  • Maana chhota number x hai; bada x + 8 hai.
  • x + (x + 8) = 50 ⇒ 2x + 8 = 50 ⇒ 2x = 42 ⇒ x = 21.
  • Numbers 21 aur 29 hain. Check: 21 + 29 = 50 ✓.

💡 Before naming the degree, simplify: (x + 1)² − x² = 2x + 1 is linear, not quadratic.घात बताने से पहले सरल कीजिए: (x + 1)² − x² = 2x + 1 रैखिक है, द्विघात नहीं।Degree batane se pehle simplify kijiye: (x + 1)² − x² = 2x + 1 linear hai, quadratic nahi.

Linear patterns: constant differenceरैखिक पैटर्न: अचर अंतरLinear patterns: constant difference

  • A linear pattern is a list of numbers in which the difference between consecutive terms is always the same.
  • Its general (nth) term is a linear expression in n, like 2n − 1 or 3n + 1.
  • Rule of thumb: if each step adds d, the nth term = d × n + (first term − d).
  • Example: tiles 1, 3, 5, 7, … add 2 each time, so tiles at stage n = 2n − 1.
  • Example: squares made of matchsticks in a row: 4, 7, 10, … add 3, so sticks = 3n + 1.
  • To find which stage has a given value, set the nth-term expression equal to it and solve the linear equation.
  • Fixed charge + rate × quantity (e.g. ₹200 + ₹50 per match) is a linear pattern too.
  • रैखिक पैटर्न संख्याओं की वह सूची है जिसमें क्रमागत पदों का अंतर हमेशा समान रहता है।
  • इसका व्यापक (nवाँ) पद n में एक रैखिक व्यंजक होता है, जैसे 2n − 1 या 3n + 1।
  • सरल नियम: यदि हर चरण में d जुड़ता है, तो nवाँ पद = d × n + (पहला पद − d)।
  • उदाहरण: टाइलें 1, 3, 5, 7, … हर बार 2 बढ़ती हैं, अतः चरण n पर टाइलें = 2n − 1।
  • उदाहरण: तीलियों से एक पंक्ति में बने वर्ग: 4, 7, 10, … में 3 जुड़ता है, अतः तीलियाँ = 3n + 1।
  • किसी दिए गए मान वाला चरण ज्ञात करने के लिए nवें पद के व्यंजक को उसके बराबर रखकर रैखिक समीकरण हल कीजिए।
  • निश्चित शुल्क + दर × मात्रा (जैसे ₹200 + ₹50 प्रति मैच) भी रैखिक पैटर्न है।
  • Linear pattern numbers ki woh list hai jisme consecutive terms ka difference hamesha same rehta hai.
  • Iska general (nth) term n mein ek linear expression hota hai, jaise 2n − 1 ya 3n + 1.
  • Simple rule: agar har step mein d judta hai, to nth term = d × n + (pehla term − d).
  • Example: tiles 1, 3, 5, 7, … har baar 2 badhti hain, isliye stage n par tiles = 2n − 1.
  • Example: matchsticks se ek row mein bane squares: 4, 7, 10, … mein 3 judta hai, isliye sticks = 3n + 1.
  • Kisi di gayi value wala stage nikaalne ke liye nth term ke expression ko uske barabar rakh kar linear equation solve kijiye.
  • Fixed charge + rate × quantity (jaise ₹200 + ₹50 per match) bhi linear pattern hai.
📖 DefinitionsपरिभाषाएँDefinitions
Linear patternरैखिक पैटर्नLinear pattern
A sequence of numbers in which consecutive terms differ by a constant amount.संख्याओं का अनुक्रम जिसमें क्रमागत पदों में अचर अंतर हो।Numbers ka sequence jisme consecutive terms mein constant difference ho.
✏️ Formulas to rememberयाद रखने वाले सूत्रYaad rakhne wale formulas
nth term of a linear pattern = d·n + (first term − d)
Tiles: 1, 3, 5, … → 2n − 1
Matchstick squares: 4, 7, 10, … → 3n + 1
Growing pattern of tiles: 1, 3, 5, 7Stage 11 tileStage 23 tilesStage 35 tilesStage 47 tiles+2 tiles at every stageTiles at stage n = 2n − 1
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 3 marks3 अंक3 marks

Matchstick squares in a row need 4, 7, 10, … sticks. Find the rule, the sticks for 20 squares, and how many squares 100 sticks make.एक पंक्ति में तीलियों के वर्गों के लिए 4, 7, 10, … तीलियाँ लगती हैं। नियम, 20 वर्गों के लिए तीलियाँ, और 100 तीलियों से कितने वर्ग बनेंगे, ज्ञात कीजिए।Ek row mein matchstick squares ke liye 4, 7, 10, … sticks lagti hain. Rule, 20 squares ke liye sticks, aur 100 sticks se kitne squares banenge, nikaaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • Difference = 3 each time, so sticks = 3n + (4 − 3) = 3n + 1.
  • For n = 20: 3 × 20 + 1 = 61 sticks.
  • 3n + 1 = 100 ⇒ 3n = 99 ⇒ n = 33 squares.
  • हर बार अंतर = 3, अतः तीलियाँ = 3n + (4 − 3) = 3n + 1।
  • n = 20 के लिए: 3 × 20 + 1 = 61 तीलियाँ।
  • 3n + 1 = 100 ⇒ 3n = 99 ⇒ n = 33 वर्ग।
  • Har baar difference = 3, isliye sticks = 3n + (4 − 3) = 3n + 1.
  • n = 20 ke liye: 3 × 20 + 1 = 61 sticks.
  • 3n + 1 = 100 ⇒ 3n = 99 ⇒ n = 33 squares.
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

Is 2, 5, 10, 17, … a linear pattern? Give a reason.क्या 2, 5, 10, 17, … रैखिक पैटर्न है? कारण दीजिए।Kya 2, 5, 10, 17, … linear pattern hai? Reason dijiye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • Differences: 5 − 2 = 3, 10 − 5 = 5, 17 − 10 = 7.
  • The differences are not constant, so it is not a linear pattern (its rule is n² + 1).
  • अंतर: 5 − 2 = 3, 10 − 5 = 5, 17 − 10 = 7।
  • अंतर अचर नहीं हैं, अतः यह रैखिक पैटर्न नहीं है (इसका नियम n² + 1 है)।
  • Differences: 5 − 2 = 3, 10 − 5 = 5, 17 − 10 = 7.
  • Differences constant nahi hain, isliye yeh linear pattern nahi hai (iska rule n² + 1 hai).

💡 Always check the rule on the first two terms before using it.नियम उपयोग करने से पहले पहले दो पदों पर जाँच लीजिए।Rule use karne se pehle pehle do terms par check kar lijiye.

Linear growth and linear decayरैखिक वृद्धि और रैखिक ह्रासLinear growth aur linear decay

  • Linear growth: a quantity increases by the same amount in every equal interval (each km, each month, each day).
  • Linear decay: a quantity decreases by the same amount in every equal interval.
  • Model form: value = starting value + (change per step) × (number of steps). Growth: + ; decay: −.
  • Example of growth: taxi cost C(d) = 50 + 12d (₹50 fixed, ₹12 per km).
  • Example of decay: water in a tank W(t) = 2400 − 150t litres (150 L used per day).
  • The starting value is the value at step 0; the change per step is the coefficient of the variable.
  • For decay, the quantity becomes zero when starting value = rate × steps (tank empties after 2400 ÷ 150 = 16 days).
  • A table of values helps: the gap between successive outputs is always the same.
  • रैखिक वृद्धि: कोई राशि हर बराबर अंतराल (हर km, हर महीना, हर दिन) में समान मात्रा से बढ़ती है।
  • रैखिक ह्रास: कोई राशि हर बराबर अंतराल में समान मात्रा से घटती है।
  • मॉडल: मान = प्रारंभिक मान + (प्रति चरण परिवर्तन) × (चरणों की संख्या)। वृद्धि में +, ह्रास में −।
  • वृद्धि का उदाहरण: टैक्सी किराया C(d) = 50 + 12d (₹50 निश्चित, ₹12 प्रति km)।
  • ह्रास का उदाहरण: टंकी में पानी W(t) = 2400 − 150t लीटर (प्रतिदिन 150 L खर्च)।
  • प्रारंभिक मान चरण 0 पर मान है; प्रति चरण परिवर्तन चर का गुणांक है।
  • ह्रास में राशि तब शून्य होती है जब प्रारंभिक मान = दर × चरण (टंकी 2400 ÷ 150 = 16 दिन में खाली)।
  • मानों की तालिका मदद करती है: क्रमागत परिणामों का अंतर हमेशा समान रहता है।
  • Linear growth: koi quantity har barabar interval (har km, har mahina, har din) mein same amount se badhti hai.
  • Linear decay: koi quantity har barabar interval mein same amount se ghatti hai.
  • Model: value = starting value + (har step ka change) × (steps ki sankhya). Growth mein +, decay mein −.
  • Growth ka example: taxi cost C(d) = 50 + 12d (₹50 fixed, ₹12 per km).
  • Decay ka example: tank mein paani W(t) = 2400 − 150t litre (roz 150 L kharch).
  • Starting value step 0 par value hai; har step ka change variable ka coefficient hai.
  • Decay mein quantity tab zero hoti hai jab starting value = rate × steps (tank 2400 ÷ 150 = 16 din mein khaali).
  • Values ki table madad karti hai: consecutive outputs ka gap hamesha same rehta hai.
📖 DefinitionsपरिभाषाएँDefinitions
Linear growthरैखिक वृद्धिLinear growth
Increase by a constant amount over equal intervals.बराबर अंतरालों में अचर मात्रा से वृद्धि।Barabar intervals mein constant amount se badhna.
Linear decayरैखिक ह्रासLinear decay
Decrease by a constant amount over equal intervals.बराबर अंतरालों में अचर मात्रा से कमी।Barabar intervals mein constant amount se ghatna.
✏️ Formulas to rememberयाद रखने वाले सूत्रYaad rakhne wale formulas
Growth: y = b + a·t (a > 0)
Decay: y = b − a·t (a > 0)
Decay reaches 0 at t = b ÷ a
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 3 marks3 अंक3 marks

A taxi charges C(d) = 50 + 12d rupees for d km. Find the fare for 15 km and the distance for a fare of ₹410.एक टैक्सी d km के लिए C(d) = 50 + 12d रुपये लेती है। 15 km का किराया और ₹410 किराए की दूरी ज्ञात कीजिए।Ek taxi d km ke liye C(d) = 50 + 12d rupaye leti hai. 15 km ka kiraya aur ₹410 kiraye ki distance nikaaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • C(15) = 50 + 12 × 15 = 50 + 180 = ₹230.
  • 50 + 12d = 410 ⇒ 12d = 360 ⇒ d = 30 km.
  • Each extra km adds ₹12, so this is linear growth.
  • C(15) = 50 + 12 × 15 = 50 + 180 = ₹230।
  • 50 + 12d = 410 ⇒ 12d = 360 ⇒ d = 30 km।
  • हर अतिरिक्त km ₹12 जोड़ता है, अतः यह रैखिक वृद्धि है।
  • C(15) = 50 + 12 × 15 = 50 + 180 = ₹230.
  • 50 + 12d = 410 ⇒ 12d = 360 ⇒ d = 30 km.
  • Har extra km ₹12 jodta hai, isliye yeh linear growth hai.
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 3 marks3 अंक3 marks

A prepaid balance of ₹450 drops by ₹15 every day. Write the balance after x days and find when it runs out.₹450 का प्रीपेड बैलेंस हर दिन ₹15 घटता है। x दिन बाद बैलेंस लिखिए और ज्ञात कीजिए कि यह कब खत्म होगा।₹450 ka prepaid balance har din ₹15 ghat-ta hai. x din baad balance likhiye aur nikaaliye ki yeh kab khatam hoga.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • b(x) = 450 − 15x.
  • It falls by the same ₹15 each day, so it is linear decay.
  • b(x) = 0 ⇒ 15x = 450 ⇒ x = 30 days.
  • Check: after 10 days, b = 450 − 150 = ₹300.
  • b(x) = 450 − 15x।
  • यह हर दिन समान ₹15 घटता है, अतः रैखिक ह्रास है।
  • b(x) = 0 ⇒ 15x = 450 ⇒ x = 30 दिन।
  • जाँच: 10 दिन बाद b = 450 − 150 = ₹300।
  • b(x) = 450 − 15x.
  • Yeh har din same ₹15 ghat-ta hai, isliye linear decay hai.
  • b(x) = 0 ⇒ 15x = 450 ⇒ x = 30 din.
  • Check: 10 din baad b = 450 − 150 = ₹300.

💡 Growth or decay? Look at the sign of the rate: + means growth, − means decay.वृद्धि या ह्रास? दर का चिह्न देखिए: + मतलब वृद्धि, − मतलब ह्रास।Growth ya decay? Rate ka sign dekhiye: + matlab growth, − matlab decay.

Linear relationships y = ax + bरैखिक संबंध y = ax + bLinear relationships y = ax + b

  • A linear relationship between two variables x and y has the form y = ax + b.
  • a = change in y for each unit increase in x (rate); b = value of y when x = 0 (fixed part).
  • In a bill: b is the fixed monthly fee, a is the charge per unit used.
  • To find a and b from two known pairs (x₁, y₁) and (x₂, y₂): write two equations and subtract to remove b.
  • a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁); then b = y₁ − a·x₁.
  • Always check by putting both given pairs back into the answer.
  • Temperature: F = (9/5)C + 32 is a linear relationship (0 °C = 32 °F, 100 °C = 212 °F).
  • दो चरों x और y के बीच रैखिक संबंध का रूप y = ax + b होता है।
  • a = x में हर इकाई वृद्धि पर y में परिवर्तन (दर); b = x = 0 पर y का मान (निश्चित भाग)।
  • बिल में: b निश्चित मासिक शुल्क और a प्रति इकाई उपयोग का शुल्क है।
  • दो ज्ञात युग्मों (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से a और b निकालने के लिए: दो समीकरण लिखकर घटाइए ताकि b हट जाए।
  • a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁); फिर b = y₁ − a·x₁।
  • दोनों दिए गए युग्मों को उत्तर में रखकर हमेशा जाँच कीजिए।
  • तापमान: F = (9/5)C + 32 एक रैखिक संबंध है (0 °C = 32 °F, 100 °C = 212 °F)।
  • Do variables x aur y ke beech linear relationship ka form y = ax + b hota hai.
  • a = x mein har unit badhne par y mein change (rate); b = x = 0 par y ki value (fixed part).
  • Bill mein: b fixed monthly fee hai, a har unit use ka charge hai.
  • Do known pairs (x₁, y₁) aur (x₂, y₂) se a aur b nikaalne ke liye: do equations likh kar subtract kijiye taaki b hat jaaye.
  • a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁); phir b = y₁ − a·x₁.
  • Dono diye gaye pairs ko answer mein rakh kar hamesha check kijiye.
  • Temperature: F = (9/5)C + 32 ek linear relationship hai (0 °C = 32 °F, 100 °C = 212 °F).
📖 DefinitionsपरिभाषाएँDefinitions
Linear relationshipरैखिक संबंधLinear relationship
A relation between two variables of the form y = ax + b.दो चरों के बीच y = ax + b रूप का संबंध।Do variables ke beech y = ax + b form ka relation.
✏️ Formulas to rememberयाद रखने वाले सूत्रYaad rakhne wale formulas
y = ax + b
a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
b = y₁ − a·x₁
F = (9/5)C + 32
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 4 marks4 अंक4 marks

A data plan has a fixed monthly fee plus a charge per GB. Using 8 GB costs ₹260 and 15 GB costs ₹400. Find y = ax + b and the bill for 12 GB.एक डेटा प्लान में निश्चित मासिक शुल्क और प्रति GB शुल्क है। 8 GB का बिल ₹260 और 15 GB का ₹400 है। y = ax + b और 12 GB का बिल ज्ञात कीजिए।Ek data plan mein fixed monthly fee aur per GB charge hai. 8 GB ka bill ₹260 aur 15 GB ka ₹400 hai. y = ax + b aur 12 GB ka bill nikaaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • 260 = 8a + b … (1) and 400 = 15a + b … (2).
  • (2) − (1): 140 = 7a ⇒ a = 20.
  • From (1): b = 260 − 8 × 20 = 260 − 160 = 100.
  • So y = 20x + 100: fixed fee ₹100, ₹20 per GB.
  • For 12 GB: y = 20 × 12 + 100 = ₹340.
  • 260 = 8a + b … (1) और 400 = 15a + b … (2)।
  • (2) − (1): 140 = 7a ⇒ a = 20।
  • (1) से: b = 260 − 8 × 20 = 260 − 160 = 100।
  • अतः y = 20x + 100: निश्चित शुल्क ₹100, प्रति GB ₹20।
  • 12 GB के लिए: y = 20 × 12 + 100 = ₹340।
  • 260 = 8a + b … (1) aur 400 = 15a + b … (2).
  • (2) − (1): 140 = 7a ⇒ a = 20.
  • (1) se: b = 260 − 8 × 20 = 260 − 160 = 100.
  • Isliye y = 20x + 100: fixed fee ₹100, ₹20 per GB.
  • 12 GB ke liye: y = 20 × 12 + 100 = ₹340.
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 1 mark1 अंक1 mark

Convert 25 °C into °F using F = (9/5)C + 32.F = (9/5)C + 32 से 25 °C को °F में बदलिए।F = (9/5)C + 32 se 25 °C ko °F mein badaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • F = (9/5) × 25 + 32 = 45 + 32 = 77 °F.
  • F = (9/5) × 25 + 32 = 45 + 32 = 77 °F।
  • F = (9/5) × 25 + 32 = 45 + 32 = 77 °F.

💡 Subtract the two equations first: the fixed part b cancels and a pops out.पहले दोनों समीकरण घटाइए: निश्चित भाग b कट जाता है और a मिल जाता है।Pehle dono equations subtract kijiye: fixed part b cancel ho jaata hai aur a mil jaata hai.

Graphs of linear relationships: straight linesरैखिक संबंधों के आलेख: सीधी रेखाएँLinear relationships ke graph: seedhi lines

  • The graph of y = ax + b is always a straight line; that is why it is called 'linear'.
  • Two points are enough to draw it: choose two values of x, find y, plot, join with a ruler and extend both ways.
  • A point lies on the line only if its coordinates satisfy the equation (put x and y in and both sides match).
  • b is where the line cuts the y-axis: the point (0, b).
  • a tells the steepness (slope): y changes by a for every 1 step right. a > 0: line rises; a < 0: line falls.
  • Lines with the same a are parallel, e.g. y = 2x + 1 and y = 2x − 2.
  • y = ax (b = 0) always passes through the origin, e.g. y = 3x through (1, 3), (2, 6).
  • A bigger |a| gives a steeper line: y = 2x is steeper than y = x, which is steeper than y = ½x.
  • y = ax + b का आलेख हमेशा एक सीधी रेखा होता है; इसीलिए इसे 'रैखिक' कहते हैं।
  • इसे खींचने के लिए दो बिंदु पर्याप्त हैं: x के दो मान चुनिए, y निकालिए, आलेखित कीजिए, रूलर से मिलाइए और दोनों ओर बढ़ाइए।
  • कोई बिंदु रेखा पर तभी है जब उसके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करें (x और y रखने पर दोनों पक्ष बराबर)।
  • b वह स्थान है जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है: बिंदु (0, b)।
  • a ढलान (प्रवणता) बताता है: हर 1 कदम दाएँ जाने पर y में a का परिवर्तन। a > 0: रेखा ऊपर चढ़ती है; a < 0: नीचे उतरती है।
  • समान a वाली रेखाएँ समांतर होती हैं, जैसे y = 2x + 1 और y = 2x − 2।
  • y = ax (b = 0) हमेशा मूल बिंदु से जाती है, जैसे y = 3x, (1, 3), (2, 6) से।
  • |a| बड़ा हो तो रेखा अधिक खड़ी: y = 2x, y = x से अधिक खड़ी है, और y = x, y = ½x से।
  • y = ax + b ka graph hamesha seedhi line hota hai; isiliye ise 'linear' kehte hain.
  • Ise kheenchne ke liye do points kaafi hain: x ki do values chuniye, y nikaaliye, plot kijiye, ruler se jodiye aur dono taraf badhaiye.
  • Koi point line par tabhi hai jab uske coordinates equation ko satisfy karein (x aur y rakhne par dono sides barabar).
  • b woh jagah hai jahan line y-axis ko kaatti hai: point (0, b).
  • a steepness (slope) batata hai: har 1 step right jaane par y mein a ka change. a > 0: line upar chadhti hai; a < 0: neeche utarti hai.
  • Same a wali lines parallel hoti hain, jaise y = 2x + 1 aur y = 2x − 2.
  • y = ax (b = 0) hamesha origin se jaati hai, jaise y = 3x, (1, 3), (2, 6) se.
  • |a| bada ho to line zyada steep: y = 2x, y = x se zyada steep hai, aur y = x, y = ½x se.
📖 DefinitionsपरिभाषाएँDefinitions
Slopeढाल (प्रवणता)Slope
The change in y for every 1 unit increase in x; it is a in y = ax + b.x में हर 1 इकाई वृद्धि पर y में परिवर्तन; y = ax + b में यह a है।x mein har 1 unit badhne par y mein change; y = ax + b mein yeh a hai.
y-intercepty-अंतःखंडy-intercept
The y-value where the line cuts the y-axis; it is b in y = ax + b.वह y-मान जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है; y = ax + b में यह b है।Woh y-value jahan line y-axis ko kaatti hai; y = ax + b mein yeh b hai.
✏️ Formulas to rememberयाद रखने वाले सूत्रYaad rakhne wale formulas
y = ax + b: slope a, cuts y-axis at (0, b)
Same slope ⇒ parallel lines
Cuts x-axis where y = 0: x = −b ÷ a
Graphs of y = 2x + 1, y = 2x − 2 and y = −x + 3xyO(0, 1)(0, −2)(0, 3)y = 2x + 1y = 2x − 2y = −x + 3
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 3 marks3 अंक3 marks

Draw y = 2x + 1. Does (7, 15) lie on it? Does (2, 4)?y = 2x + 1 खींचिए। क्या (7, 15) उस पर है? क्या (2, 4) है?y = 2x + 1 draw kijiye. Kya (7, 15) us par hai? Kya (2, 4) hai?

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • x = 0 ⇒ y = 1: point (0, 1). x = 3 ⇒ y = 7: point (3, 7). Plot both, join and extend.
  • (7, 15): 2 × 7 + 1 = 15 ✓, so it lies on the line.
  • (2, 4): 2 × 2 + 1 = 5 ≠ 4, so it does not lie on the line.
  • x = 0 ⇒ y = 1: बिंदु (0, 1)। x = 3 ⇒ y = 7: बिंदु (3, 7)। दोनों आलेखित कर मिलाइए और बढ़ाइए।
  • (7, 15): 2 × 7 + 1 = 15 ✓, अतः रेखा पर है।
  • (2, 4): 2 × 2 + 1 = 5 ≠ 4, अतः रेखा पर नहीं है।
  • x = 0 ⇒ y = 1: point (0, 1). x = 3 ⇒ y = 7: point (3, 7). Dono plot karke jodiye aur badhaiye.
  • (7, 15): 2 × 7 + 1 = 15 ✓, isliye line par hai.
  • (2, 4): 2 × 2 + 1 = 5 ≠ 4, isliye line par nahi hai.
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

Points (−2, 6), (−1, 3), (0, 0), (1, −3) lie on a line. Find its equation.बिंदु (−2, 6), (−1, 3), (0, 0), (1, −3) एक रेखा पर हैं। उसका समीकरण ज्ञात कीजिए।Points (−2, 6), (−1, 3), (0, 0), (1, −3) ek line par hain. Uski equation nikaaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • In every pair, y = −3 × x (e.g. −3 × (−2) = 6).
  • The line passes through the origin, so y = −3x.
  • हर युग्म में y = −3 × x (जैसे −3 × (−2) = 6)।
  • रेखा मूल बिंदु से जाती है, अतः y = −3x।
  • Har pair mein y = −3 × x (jaise −3 × (−2) = 6).
  • Line origin se jaati hai, isliye y = −3x.
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

Where does y = −x + 3 cut the x-axis and the y-axis?y = −x + 3 x-अक्ष और y-अक्ष को कहाँ काटती है?y = −x + 3 x-axis aur y-axis ko kahan kaatti hai?

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • y-axis: put x = 0 ⇒ y = 3, point (0, 3).
  • x-axis: put y = 0 ⇒ 0 = −x + 3 ⇒ x = 3, point (3, 0).
  • y-अक्ष: x = 0 रखें ⇒ y = 3, बिंदु (0, 3)।
  • x-अक्ष: y = 0 रखें ⇒ 0 = −x + 3 ⇒ x = 3, बिंदु (3, 0)।
  • y-axis: x = 0 rakhiye ⇒ y = 3, point (0, 3).
  • x-axis: y = 0 rakhiye ⇒ 0 = −x + 3 ⇒ x = 3, point (3, 0).

💡 Plot a third point as a check: if it is not on your line, one calculation is wrong.जाँच के लिए तीसरा बिंदु भी आलेखित करें: यदि वह रेखा पर नहीं है, तो कोई गणना गलत है।Check ke liye teesra point bhi plot kijiye: agar woh line par nahi hai, to koi calculation galat hai.

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📐 Finding a and b from two data pointsदो आँकड़ों से a और b निकालनाDo data points se a aur b nikaalna

  1. Given y₁ = ax₁ + b and y₂ = ax₂ + b.
  2. Subtract: y₂ − y₁ = a(x₂ − x₁).
  3. So a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) (x₂ ≠ x₁).
  4. Put back: b = y₁ − a·x₁.
  5. Example: (2, 7) and (5, 16): a = 9/3 = 3, b = 7 − 6 = 1, so y = 3x + 1.
  1. दिया है y₁ = ax₁ + b और y₂ = ax₂ + b।
  2. घटाइए: y₂ − y₁ = a(x₂ − x₁)।
  3. अतः a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) (x₂ ≠ x₁)।
  4. वापस रखिए: b = y₁ − a·x₁।
  5. उदाहरण: (2, 7) और (5, 16): a = 9/3 = 3, b = 7 − 6 = 1, अतः y = 3x + 1।
  1. Diya hai y₁ = ax₁ + b aur y₂ = ax₂ + b.
  2. Subtract kijiye: y₂ − y₁ = a(x₂ − x₁).
  3. Isliye a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) (x₂ ≠ x₁).
  4. Wapas rakhiye: b = y₁ − a·x₁.
  5. Example: (2, 7) aur (5, 16): a = 9/3 = 3, b = 7 − 6 = 1, isliye y = 3x + 1.
🧠 Tricky questionकठिन प्रश्नTricky sawaal · 3 marks3 अंक3 marks

An auto charges ₹30 for the first 2 km and ₹14 for every km after that. Write the fare for n km (n ≥ 2) and find the distance for ₹170.एक ऑटो पहले 2 km के ₹30 और उसके बाद हर km के ₹14 लेता है। n km (n ≥ 2) का किराया लिखिए और ₹170 के लिए दूरी ज्ञात कीजिए।Ek auto pehle 2 km ke ₹30 aur uske baad har km ke ₹14 leta hai. n km (n ≥ 2) ka kiraya likhiye aur ₹170 ke liye distance nikaaliye.

✅ Answerउत्तरJawab
  • Fare = 30 + 14(n − 2) = 14n + 2 for n ≥ 2.
  • 14n + 2 = 170 ⇒ 14n = 168 ⇒ n = 12 km.
  • Check: 30 + 14 × 10 = 170 ✓.
  • किराया = 30 + 14(n − 2) = 14n + 2, जहाँ n ≥ 2।
  • 14n + 2 = 170 ⇒ 14n = 168 ⇒ n = 12 km।
  • जाँच: 30 + 14 × 10 = 170 ✓।
  • Kiraya = 30 + 14(n − 2) = 14n + 2, jahan n ≥ 2.
  • 14n + 2 = 170 ⇒ 14n = 168 ⇒ n = 12 km.
  • Check: 30 + 14 × 10 = 170 ✓.
🧠 Tricky questionकठिन प्रश्नTricky sawaal · 3 marks3 अंक3 marks

Find a and b if °C = a·°F + b, given 0 °C = 32 °F and 100 °C = 212 °F.यदि °C = a·°F + b, और 0 °C = 32 °F तथा 100 °C = 212 °F, तो a और b ज्ञात कीजिए।Agar °C = a·°F + b, aur 0 °C = 32 °F tatha 100 °C = 212 °F, to a aur b nikaaliye.

✅ Answerउत्तरJawab
  • 0 = 32a + b and 100 = 212a + b.
  • Subtract: 100 = 180a ⇒ a = 5/9.
  • b = −32 × 5/9 = −160/9.
  • So °C = (5/9)°F − 160/9, i.e. °C = (5/9)(°F − 32).
  • 0 = 32a + b और 100 = 212a + b।
  • घटाइए: 100 = 180a ⇒ a = 5/9।
  • b = −32 × 5/9 = −160/9।
  • अतः °C = (5/9)°F − 160/9, अर्थात °C = (5/9)(°F − 32)।
  • 0 = 32a + b aur 100 = 212a + b.
  • Subtract: 100 = 180a ⇒ a = 5/9.
  • b = −32 × 5/9 = −160/9.
  • Isliye °C = (5/9)°F − 160/9, yaani °C = (5/9)(°F − 32).

⚠️ Common mistakesआम गलतियाँAam galtiyan

  • Calling x² + 3x linear → degree 2 means quadratic.
  • Using n instead of (n − 2) when the first 2 km have a fixed fare.
  • Mixing up a and b: b is the fixed part (value at x = 0), a is the rate.
  • Joining plotted points with a freehand curve → use a ruler; it must be straight.
  • x² + 3x को रैखिक कहना → घात 2 मतलब द्विघात।
  • पहले 2 km का किराया निश्चित हो तब (n − 2) की जगह n लेना।
  • a और b में गड़बड़: b निश्चित भाग (x = 0 पर मान), a दर है।
  • बिंदुओं को हाथ से वक्र बनाकर मिलाना → रूलर लें; रेखा सीधी होनी चाहिए।
  • x² + 3x ko linear kehna → degree 2 matlab quadratic.
  • Pehle 2 km ka kiraya fixed ho tab (n − 2) ki jagah n lena.
  • a aur b mein gadbad: b fixed part (x = 0 par value), a rate hai.
  • Points ko haath se curve bana kar jodna → ruler lijiye; line seedhi honi chahiye.

💎 Less common but importantकम चर्चित पर ज़रूरीKam common par zaroori

  • x = k (a vertical line) and y = k (a horizontal line) are also straight lines; y = k means slope 0.
  • An expression like 1/x + 2 is not a polynomial, because the power of x is −1.
  • x = k (ऊर्ध्वाधर रेखा) और y = k (क्षैतिज रेखा) भी सीधी रेखाएँ हैं; y = k की ढाल 0 है।
  • 1/x + 2 जैसा व्यंजक बहुपद नहीं है, क्योंकि x की घात −1 है।
  • x = k (vertical line) aur y = k (horizontal line) bhi seedhi lines hain; y = k ka slope 0 hai.
  • 1/x + 2 jaisa expression polynomial nahi hai, kyonki x ki power −1 hai.

⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision

  • Linear: ax + b, a ≠ 0
  • Degree 0/1/2/3: constant/linear/quadratic/cubic
  • Constant difference ⇒ linear pattern
  • a > 0 growth, a < 0 decay
  • a = Δy/Δx, b = y-intercept
  • Same slope ⇒ parallel
  • रैखिक: ax + b, a ≠ 0
  • घात 0/1/2/3: अचर/रैखिक/द्विघात/त्रिघात
  • अचर अंतर ⇒ रैखिक पैटर्न
  • a > 0 वृद्धि, a < 0 ह्रास
  • a = Δy/Δx, b = y-अंतःखंड
  • समान ढाल ⇒ समांतर
  • Linear: ax + b, a ≠ 0
  • Degree 0/1/2/3: constant/linear/quadratic/cubic
  • Constant difference ⇒ linear pattern
  • a > 0 growth, a < 0 decay
  • a = Δy/Δx, b = y-intercept
  • Same slope ⇒ parallel

⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision

  • A polynomial's degree is the highest power of its variable.
  • Linear polynomial: ax + b with a ≠ 0 (degree 1).
  • A constant like 7 has degree 0.
  • Linear pattern: consecutive terms differ by the same number.
  • nth term of a linear pattern = d·n + (first term − d).
  • Linear growth adds a fixed amount each step; linear decay subtracts a fixed amount.
  • Linear relationship: y = ax + b; a is the rate, b the value at x = 0.
  • From two data points: a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), b = y₁ − a·x₁.
  • The graph of y = ax + b is a straight line through (0, b).
  • Equal slopes mean parallel lines.
  • बहुपद की घात उसके चर की सबसे बड़ी घात है।
  • रैखिक बहुपद: ax + b जहाँ a ≠ 0 (घात 1)।
  • 7 जैसे अचर की घात 0 है।
  • रैखिक पैटर्न: क्रमागत पदों में समान अंतर।
  • रैखिक पैटर्न का nवाँ पद = d·n + (पहला पद − d)।
  • रैखिक वृद्धि में हर चरण निश्चित मात्रा जुड़ती है; रैखिक ह्रास में घटती है।
  • रैखिक संबंध: y = ax + b; a दर है, b, x = 0 पर मान।
  • दो आँकड़ों से: a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), b = y₁ − a·x₁।
  • y = ax + b का आलेख (0, b) से जाती सीधी रेखा है।
  • समान ढाल मतलब समांतर रेखाएँ।
  • Polynomial ki degree uske variable ki sabse badi power hai.
  • Linear polynomial: ax + b jahan a ≠ 0 (degree 1).
  • 7 jaise constant ki degree 0 hai.
  • Linear pattern: consecutive terms mein same difference.
  • Linear pattern ka nth term = d·n + (pehla term − d).
  • Linear growth mein har step fixed amount judta hai; linear decay mein ghat-ta hai.
  • Linear relationship: y = ax + b; a rate hai, b x = 0 par value.
  • Do data points se: a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), b = y₁ − a·x₁.
  • y = ax + b ka graph (0, b) se jaati seedhi line hai.
  • Same slope matlab parallel lines.
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Notes written by Simple Learning Hub from the current NCERT syllabus.नोट्स Simple Learning Hub ने वर्तमान NCERT पाठ्यक्रम से लिखे हैं।Notes Simple Learning Hub ne current NCERT syllabus se likhe hain.