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Orienting Yourself: The Use of Coordinatesनिर्देशांकों का उपयोग: स्वयं को दिशा देनाOrienting Yourself: The Use of Coordinates

Class 9 Maths · Chapter 1 · Exam notesकक्षा 9 गणित · अध्याय 1 · परीक्षा नोट्सClass 9 Maths · Chapter 1 · Exam notes

Simple exam notes for every chapter · school exams + a strong base for the Class 10 boardहर अध्याय के आसान परीक्षा नोट्स · स्कूल परीक्षा + कक्षा 10 बोर्ड की मज़बूत नींवHar chapter ke simple exam notes · school exams + Class 10 board ki strong base

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  1. Why we need coordinatesनिर्देशांकों की आवश्यकता क्योंCoordinates ki zaroorat kyon
  2. The Cartesian plane: axes, origin and quadrantsकार्तीय तल: अक्ष, मूल बिंदु और चतुर्थांशCartesian plane: axes, origin aur quadrants
  3. Coordinates of a point and plotting pointsकिसी बिंदु के निर्देशांक और बिंदु आलेखित करनाPoint ke coordinates aur points plot karna
  4. Distance between two pointsदो बिंदुओं के बीच की दूरीDo points ke beech ki distance
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Start here: the must-know basics of this chapter.यहाँ से शुरू करें: इस अध्याय की ज़रूरी बेसिक बातें।Yahan se shuru kijiye: is chapter ki zaroori basic baatein.

👉 Read this firstसबसे पहले यह पढ़ेंSabse pehle yeh padhiye

This chapter teaches you to fix the exact position of any point on a flat surface with just two numbers (x, y). Learn the axes, origin, the four quadrants with their signs, how to plot points, and the distance formula. Most questions are short and scoring if your signs are right.यह अध्याय सिखाता है कि किसी समतल पर किसी भी बिंदु की सटीक स्थिति केवल दो संख्याओं (x, y) से कैसे बताई जाती है। अक्ष, मूल बिंदु, चारों चतुर्थांश और उनके चिह्न, बिंदु आलेखित करना और दूरी सूत्र सीखिए। चिह्न सही हों तो ज़्यादातर प्रश्न छोटे और अंक दिलाने वाले हैं।Yeh chapter sikhata hai ki kisi flat surface par kisi bhi point ki exact position sirf do numbers (x, y) se kaise batate hain. Axes, origin, chaaron quadrants aur unke signs, points plot karna aur distance formula seekhiye. Signs sahi hon to zyaadatar sawaal chhote aur scoring hain.

🔀 From a grid to the distance formulaग्रिड से दूरी सूत्र तकGrid se distance formula tak
  1. Two perpendicular number lines: x-axis and y-axisदो लंबवत संख्या रेखाएँ: x-अक्ष और y-अक्षDo perpendicular number lines: x-axis aur y-axis
  2. They meet at the origin O (0, 0)ये मूल बिंदु O (0, 0) पर मिलती हैंYe origin O (0, 0) par milti hain
  3. The plane splits into 4 quadrantsतल 4 चतुर्थांशों में बँट जाता हैPlane 4 quadrants mein bant jaata hai
  4. Every point gets an ordered pair (x, y)हर बिंदु को एक क्रमित युग्म (x, y) मिलता हैHar point ko ek ordered pair (x, y) milta hai
  5. Horizontal shift and vertical shift form a right triangleक्षैतिज और ऊर्ध्वाधर खिसकाव एक समकोण त्रिभुज बनाते हैंHorizontal aur vertical shift ek right triangle banate hain
  6. Baudhāyana–Pythagoras gives the distanceबौधायन–पाइथागोरस प्रमेय से दूरी मिलती हैBaudhāyana–Pythagoras se distance milti hai

🏅 Must-know minimumज़रूरी न्यूनतमZaroori minimum

  • Know the terms: x-axis, y-axis, origin (0, 0), quadrant, x-coordinate, y-coordinate.
  • Quadrant signs: I (+, +), II (−, +), III (−, −), IV (+, −).
  • Points on axes: (x, 0) on the x-axis, (0, y) on the y-axis; they are in no quadrant.
  • Plot a point: x steps along the x-axis first, then y steps up/down.
  • Distance formula: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]; practise 3 sums.
  • शब्द याद रखें: x-अक्ष, y-अक्ष, मूल बिंदु (0, 0), चतुर्थांश, x-निर्देशांक, y-निर्देशांक।
  • चतुर्थांश चिह्न: I (+, +), II (−, +), III (−, −), IV (+, −)।
  • अक्षों पर बिंदु: x-अक्ष पर (x, 0), y-अक्ष पर (0, y); ये किसी चतुर्थांश में नहीं होते।
  • बिंदु आलेखित करना: पहले x-अक्ष के अनुदिश x कदम, फिर y कदम ऊपर/नीचे।
  • दूरी सूत्र: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]; 3 प्रश्न अभ्यास करें।
  • Terms yaad rakhiye: x-axis, y-axis, origin (0, 0), quadrant, x-coordinate, y-coordinate.
  • Quadrant signs: I (+, +), II (−, +), III (−, −), IV (+, −).
  • Axes par points: x-axis par (x, 0), y-axis par (0, y); ye kisi quadrant mein nahi hote.
  • Point plot karna: pehle x-axis ke along x steps, phir y steps upar/neeche.
  • Distance formula: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]; 3 sawaal practice kijiye.

🎯 Quick 1-mark facts1 अंक वाले ज़रूरी तथ्य1 mark wale zaroori facts

  • Origin = (0, 0).
  • (−3, 4) is in Quadrant II.
  • Any point on the y-axis has x = 0.
  • Distance of (3, 4) from the origin = 5.
  • (x, y) = (y, x) only if x = y.
  • मूल बिंदु = (0, 0)।
  • (−3, 4) चतुर्थांश II में है।
  • y-अक्ष के किसी भी बिंदु पर x = 0।
  • मूल बिंदु से (3, 4) की दूरी = 5।
  • (x, y) = (y, x) केवल तब जब x = y।
  • Origin = (0, 0).
  • (−3, 4) Quadrant II mein hai.
  • y-axis ke kisi bhi point par x = 0.
  • Origin se (3, 4) ki distance = 5.
  • (x, y) = (y, x) sirf tab jab x = y.
🟡 SCOREस्कोरSCORE

Full chapter notes: key points, definitions, diagrams and important questions with model answers.पूरे अध्याय के नोट्स: मुख्य बातें, परिभाषाएँ, चित्र और आदर्श उत्तरों के साथ महत्वपूर्ण प्रश्न।Poore chapter ke notes: key points, definitions, diagrams aur model answers ke saath important sawaal.

Why we need coordinatesनिर्देशांकों की आवश्यकता क्योंCoordinates ki zaroorat kyon

  • A coordinate system is a grid-like framework that lets us describe the exact location of a point using numbers.
  • On a straight line (number line) one number is enough; on a flat surface (2-D plane) we need two numbers.
  • Grid thinking is very old in India: planned cities of the Sindhu-Sarasvatī Civilisation had streets running North–South and East–West.
  • Brahmagupta (c. 628 CE) treated zero and negative numbers as numbers; the origin (zero) and negative axes of today's plane depend on this idea.
  • René Descartes (1637 CE) formalised the idea that any point in a plane can be fixed by two distances from two perpendicular axes; that is why the plane is called 'Cartesian'.
  • Coordinates join algebra and geometry: equations can be drawn as shapes and shapes can be described by equations.
  • Daily uses: maps and GPS, seat numbers in a hall, chess squares, screen pixels, room layouts.
  • निर्देशांक पद्धति ग्रिड जैसा एक ढाँचा है जिससे किसी बिंदु की सटीक स्थिति संख्याओं द्वारा बताई जाती है।
  • एक सीधी रेखा (संख्या रेखा) पर एक संख्या काफ़ी है; समतल (2-D तल) पर दो संख्याएँ चाहिए।
  • भारत में ग्रिड पर आधारित सोच बहुत पुरानी है: सिंधु-सरस्वती सभ्यता के नियोजित नगरों में सड़कें उत्तर–दक्षिण और पूर्व–पश्चिम दिशा में थीं।
  • ब्रह्मगुप्त (लगभग 628 ई.) ने शून्य और ऋणात्मक संख्याओं को संख्याओं की तरह प्रयोग किया; आज के तल का मूल बिंदु (शून्य) और ऋणात्मक अक्ष इसी विचार पर टिके हैं।
  • रेने देकार्त (1637 ई.) ने व्यवस्थित किया कि तल के किसी भी बिंदु को दो लंबवत अक्षों से दो दूरियों द्वारा तय किया जा सकता है; इसीलिए इसे 'कार्तीय' तल कहते हैं।
  • निर्देशांक बीजगणित और ज्यामिति को जोड़ते हैं: समीकरणों को आकृतियों के रूप में खींचा जा सकता है और आकृतियों को समीकरणों से बताया जा सकता है।
  • दैनिक उपयोग: नक्शे और GPS, हॉल में सीट नंबर, शतरंज के खाने, स्क्रीन के पिक्सेल, कमरे का नक्शा।
  • Coordinate system ek grid jaisa framework hai jisse kisi point ki exact location numbers se batayi jaati hai.
  • Seedhi line (number line) par ek number kaafi hai; flat surface (2-D plane) par do numbers chahiye.
  • India mein grid wali soch bahut purani hai: Sindhu-Sarasvatī Civilisation ke planned shehron mein sadkein North–South aur East–West chalti thin.
  • Brahmagupta (lagbhag 628 CE) ne zero aur negative numbers ko numbers ki tarah use kiya; aaj ke plane ka origin (zero) aur negative axes isi idea par tike hain.
  • René Descartes (1637 CE) ne formal roop diya ki plane ka koi bhi point do perpendicular axes se do distances dwara fix ho sakta hai; isiliye ise 'Cartesian' plane kehte hain.
  • Coordinates algebra aur geometry ko jodte hain: equations ko shapes ki tarah draw kar sakte hain aur shapes ko equations se describe kar sakte hain.
  • Daily use: maps aur GPS, hall mein seat number, chess ke khaane, screen ke pixels, room ka layout.
📖 DefinitionsपरिभाषाएँDefinitions
Coordinate systemनिर्देशांक पद्धतिCoordinate system
A framework of reference lines that uses numbers to give the exact position of points.संदर्भ रेखाओं का ढाँचा जो संख्याओं द्वारा बिंदुओं की सटीक स्थिति बताता है।Reference lines ka framework jo numbers se points ki exact position batata hai.
Coordinate geometryनिर्देशांक ज्यामितिCoordinate geometry
The branch of maths that studies geometric figures using coordinates and algebra.गणित की वह शाखा जो निर्देशांकों और बीजगणित की सहायता से ज्यामितीय आकृतियों का अध्ययन करती है।Maths ki woh branch jo coordinates aur algebra ki madad se geometric figures padhti hai.
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

Why is one number enough to locate a point on a number line, but two numbers are needed on a plane?संख्या रेखा पर बिंदु बताने के लिए एक संख्या क्यों काफ़ी है, पर तल पर दो संख्याएँ क्यों चाहिए?Number line par point batane ke liye ek number kyon kaafi hai, par plane par do numbers kyon chahiye?

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • A number line has only one direction (one dimension), so the distance from 0 with a sign fixes the point.
  • A plane has two independent directions (length and breadth), so we need one number for each: the x-coordinate and the y-coordinate.
  • संख्या रेखा में केवल एक दिशा (एक विमा) होती है, इसलिए 0 से चिह्न सहित दूरी बिंदु को तय कर देती है।
  • तल में दो स्वतंत्र दिशाएँ (लंबाई और चौड़ाई) होती हैं, इसलिए हर दिशा के लिए एक संख्या चाहिए: x-निर्देशांक और y-निर्देशांक।
  • Number line mein sirf ek direction (ek dimension) hoti hai, isliye 0 se sign ke saath distance point ko fix kar deti hai.
  • Plane mein do independent directions (length aur breadth) hoti hain, isliye har direction ke liye ek number chahiye: x-coordinate aur y-coordinate.

💡 If a question asks 'why two numbers?', answer with 'two dimensions = two independent directions'.यदि पूछा जाए 'दो संख्याएँ क्यों?', तो उत्तर दें 'दो विमाएँ = दो स्वतंत्र दिशाएँ'।Agar poocha jaaye 'do numbers kyon?', to likhiye 'do dimensions = do independent directions'.

The Cartesian plane: axes, origin and quadrantsकार्तीय तल: अक्ष, मूल बिंदु और चतुर्थांशCartesian plane: axes, origin aur quadrants

  • Two number lines are drawn at right angles: the horizontal one is the x-axis and the vertical one is the y-axis.
  • They cross at the origin O, whose coordinates are (0, 0).
  • Equal units are marked on both axes. Right of O and above O are positive; left of O and below O are negative.
  • The axes lie in a plane that has three names: Cartesian plane, coordinate plane or xy-plane.
  • The axes divide the plane into four quadrants, numbered I, II, III, IV anticlockwise starting from the top-right.
  • Signs: Quadrant I (+, +), Quadrant II (−, +), Quadrant III (−, −), Quadrant IV (+, −).
  • A point lying on an axis does not belong to any quadrant.
  • दो संख्या रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत खींची जाती हैं: क्षैतिज रेखा x-अक्ष और ऊर्ध्वाधर रेखा y-अक्ष कहलाती है।
  • ये मूल बिंदु O पर काटती हैं, जिसके निर्देशांक (0, 0) हैं।
  • दोनों अक्षों पर बराबर इकाइयाँ अंकित होती हैं। O के दाएँ और ऊपर धनात्मक; O के बाएँ और नीचे ऋणात्मक।
  • अक्षों वाले तल को कार्तीय तल, निर्देशांक तल या xy-तल कहते हैं।
  • अक्ष तल को चार चतुर्थांशों में बाँटते हैं, जिन्हें ऊपर-दाएँ से शुरू करके वामावर्त I, II, III, IV क्रम दिया जाता है।
  • चिह्न: चतुर्थांश I (+, +), चतुर्थांश II (−, +), चतुर्थांश III (−, −), चतुर्थांश IV (+, −)।
  • किसी अक्ष पर स्थित बिंदु किसी भी चतुर्थांश में नहीं होता।
  • Do number lines ek doosre ke perpendicular kheenchi jaati hain: horizontal line x-axis aur vertical line y-axis kehlaati hai.
  • Ye origin O par cross karti hain, jiske coordinates (0, 0) hain.
  • Dono axes par barabar units mark hote hain. O ke right aur upar positive; O ke left aur neeche negative.
  • Axes wale plane ko Cartesian plane, coordinate plane ya xy-plane kehte hain.
  • Axes plane ko chaar quadrants mein baant-te hain, jinhe top-right se shuru karke anticlockwise I, II, III, IV number dete hain.
  • Signs: Quadrant I (+, +), Quadrant II (−, +), Quadrant III (−, −), Quadrant IV (+, −).
  • Kisi axis par pada point kisi bhi quadrant mein nahi hota.
📖 DefinitionsपरिभाषाएँDefinitions
Originमूल बिंदुOrigin
The point where the x-axis and y-axis meet; its coordinates are (0, 0).वह बिंदु जहाँ x-अक्ष और y-अक्ष मिलते हैं; इसके निर्देशांक (0, 0) हैं।Woh point jahan x-axis aur y-axis milte hain; iske coordinates (0, 0) hain.
Quadrantचतुर्थांशQuadrant
Each of the four parts into which the two axes divide the plane.वे चार भाग जिनमें दोनों अक्ष तल को बाँटते हैं।Woh chaar hisse jinme dono axes plane ko baant-te hain.
Cartesian planeकार्तीय तलCartesian plane
The plane with two perpendicular coordinate axes, also called the coordinate plane or xy-plane.दो लंबवत निर्देशांक अक्षों वाला तल, जिसे निर्देशांक तल या xy-तल भी कहते हैं।Do perpendicular coordinate axes wala plane, jise coordinate plane ya xy-plane bhi kehte hain.
Cartesian plane with four quadrantsx-axisy-axisOQuadrant IQuadrant IIQuadrant IIIQuadrant IVA (3, 2)B (−4, 3)C (−2, −3)D (4, −2)3 right2 up
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

In which quadrant or on which axis do these points lie: (−5, 2), (3, −7), (0, −4), (−1, −6), (6, 0)?ये बिंदु किस चतुर्थांश में या किस अक्ष पर हैं: (−5, 2), (3, −7), (0, −4), (−1, −6), (6, 0)?Ye points kis quadrant mein ya kis axis par hain: (−5, 2), (3, −7), (0, −4), (−1, −6), (6, 0)?

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • (−5, 2): signs (−, +) → Quadrant II.
  • (3, −7): signs (+, −) → Quadrant IV.
  • (0, −4): x = 0 → on the y-axis (below O).
  • (−1, −6): signs (−, −) → Quadrant III.
  • (6, 0): y = 0 → on the x-axis (right of O).
  • (−5, 2): चिह्न (−, +) → चतुर्थांश II।
  • (3, −7): चिह्न (+, −) → चतुर्थांश IV।
  • (0, −4): x = 0 → y-अक्ष पर (O के नीचे)।
  • (−1, −6): चिह्न (−, −) → चतुर्थांश III।
  • (6, 0): y = 0 → x-अक्ष पर (O के दाएँ)।
  • (−5, 2): signs (−, +) → Quadrant II.
  • (3, −7): signs (+, −) → Quadrant IV.
  • (0, −4): x = 0 → y-axis par (O ke neeche).
  • (−1, −6): signs (−, −) → Quadrant III.
  • (6, 0): y = 0 → x-axis par (O ke right).
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 1 mark1 अंक1 mark

What are the coordinates of the origin? Does the origin lie in any quadrant?मूल बिंदु के निर्देशांक क्या हैं? क्या मूल बिंदु किसी चतुर्थांश में है?Origin ke coordinates kya hain? Kya origin kisi quadrant mein hai?

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • The origin is (0, 0).
  • It lies on both axes, so it is not in any quadrant.
  • मूल बिंदु (0, 0) है।
  • यह दोनों अक्षों पर है, इसलिए किसी चतुर्थांश में नहीं है।
  • Origin (0, 0) hai.
  • Yeh dono axes par hai, isliye kisi quadrant mein nahi hai.

💡 Remember the quadrant order with a clock running backwards: start top-right (I), move anticlockwise to II, III, IV.चतुर्थांश क्रम याद रखें: ऊपर-दाएँ (I) से शुरू कर वामावर्त II, III, IV।Quadrant order yaad rakhiye: top-right (I) se shuru karke anticlockwise II, III, IV.

Coordinates of a point and plotting pointsकिसी बिंदु के निर्देशांक और बिंदु आलेखित करनाPoint ke coordinates aur points plot karna

  • A point P is written as P (x, y): x first, then y. This is called an ordered pair.
  • x-coordinate = perpendicular distance of the point from the y-axis (with sign); y-coordinate = perpendicular distance from the x-axis (with sign).
  • To plot (x, y): start at O, move x units along the x-axis (right if +, left if −), then y units parallel to the y-axis (up if +, down if −).
  • Every point on the x-axis has the form (x, 0); every point on the y-axis has the form (0, y).
  • Order matters: (x, y) and (y, x) are the same point only when x = y. Example: (2, 5) and (5, 2) are different points.
  • All points with the same x-coordinate lie on a line parallel to the y-axis; all points with the same y-coordinate lie on a line parallel to the x-axis.
  • Distance between (x₁, y) and (x₂, y) on a horizontal line = |x₂ − x₁|; between (x, y₁) and (x, y₂) on a vertical line = |y₂ − y₁|.
  • Mirror images: reflecting (x, y) in the y-axis gives (−x, y); reflecting in the x-axis gives (x, −y). Reflection does not change lengths.
  • बिंदु P को P (x, y) लिखते हैं: पहले x, फिर y। इसे क्रमित युग्म कहते हैं।
  • x-निर्देशांक = y-अक्ष से बिंदु की लंबवत दूरी (चिह्न सहित); y-निर्देशांक = x-अक्ष से लंबवत दूरी (चिह्न सहित)।
  • (x, y) आलेखित करने के लिए: O से शुरू करें, x-अक्ष के अनुदिश x इकाई चलें (+ हो तो दाएँ, − हो तो बाएँ), फिर y-अक्ष के समांतर y इकाई (+ हो तो ऊपर, − हो तो नीचे)।
  • x-अक्ष के हर बिंदु का रूप (x, 0) और y-अक्ष के हर बिंदु का रूप (0, y) होता है।
  • क्रम महत्वपूर्ण है: (x, y) और (y, x) एक ही बिंदु तभी हैं जब x = y। उदाहरण: (2, 5) और (5, 2) अलग बिंदु हैं।
  • समान x-निर्देशांक वाले सभी बिंदु y-अक्ष के समांतर रेखा पर होते हैं; समान y-निर्देशांक वाले सभी बिंदु x-अक्ष के समांतर रेखा पर।
  • क्षैतिज रेखा पर (x₁, y) और (x₂, y) के बीच दूरी = |x₂ − x₁|; ऊर्ध्वाधर रेखा पर (x, y₁) और (x, y₂) के बीच = |y₂ − y₁|।
  • दर्पण प्रतिबिंब: y-अक्ष में (x, y) का प्रतिबिंब (−x, y); x-अक्ष में (x, −y)। परावर्तन से लंबाइयाँ नहीं बदलतीं।
  • Point P ko P (x, y) likhte hain: pehle x, phir y. Ise ordered pair kehte hain.
  • x-coordinate = y-axis se point ki perpendicular distance (sign ke saath); y-coordinate = x-axis se perpendicular distance (sign ke saath).
  • (x, y) plot karne ke liye: O se shuru kijiye, x-axis ke along x unit chaliye (+ ho to right, − ho to left), phir y-axis ke parallel y unit (+ ho to upar, − ho to neeche).
  • x-axis ke har point ka form (x, 0) aur y-axis ke har point ka form (0, y) hota hai.
  • Order matter karta hai: (x, y) aur (y, x) ek hi point tabhi hain jab x = y. Example: (2, 5) aur (5, 2) alag points hain.
  • Same x-coordinate wale saare points y-axis ke parallel line par hote hain; same y-coordinate wale saare points x-axis ke parallel line par.
  • Horizontal line par (x₁, y) aur (x₂, y) ke beech distance = |x₂ − x₁|; vertical line par (x, y₁) aur (x, y₂) ke beech = |y₂ − y₁|.
  • Mirror image: y-axis mein (x, y) ka image (−x, y); x-axis mein (x, −y). Reflection se lengths nahi badaltin.
📖 DefinitionsपरिभाषाएँDefinitions
Ordered pairक्रमित युग्मOrdered pair
A pair of numbers written in a fixed order (x, y); changing the order can change the point.निश्चित क्रम में लिखी दो संख्याएँ (x, y); क्रम बदलने से बिंदु बदल सकता है।Fixed order mein likhe do numbers (x, y); order badalne se point badal sakta hai.
x-coordinate (abscissa)x-निर्देशांक (भुज)x-coordinate (abscissa)
The signed distance of a point from the y-axis.y-अक्ष से बिंदु की चिह्न सहित दूरी।y-axis se point ki sign ke saath distance.
y-coordinate (ordinate)y-निर्देशांक (कोटि)y-coordinate (ordinate)
The signed distance of a point from the x-axis.x-अक्ष से बिंदु की चिह्न सहित दूरी।x-axis se point ki sign ke saath distance.
✏️ Formulas to rememberयाद रखने वाले सूत्रYaad rakhne wale formulas
Point on x-axis: (x, 0); point on y-axis: (0, y); origin: (0, 0)
Horizontal distance between (x₁, y) and (x₂, y) = |x₂ − x₁|
Vertical distance between (x, y₁) and (x, y₂) = |y₂ − y₁|
Reflection in y-axis: (x, y) → (−x, y); in x-axis: (x, y) → (x, −y)
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 3 marks3 अंक3 marks

Three corners of a rectangle are (2, 1), (8, 1) and (8, 5). Find the fourth corner, the length, the breadth and the area.एक आयत के तीन शीर्ष (2, 1), (8, 1) और (8, 5) हैं। चौथा शीर्ष, लंबाई, चौड़ाई और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।Ek rectangle ke teen corners (2, 1), (8, 1) aur (8, 5) hain. Chautha corner, length, breadth aur area nikaaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • (2, 1) and (8, 1) have the same y, so that side is horizontal; (8, 1) and (8, 5) have the same x, so that side is vertical.
  • The fourth corner must be directly above (2, 1) and level with (8, 5): (2, 5).
  • Length = |8 − 2| = 6 units; breadth = |5 − 1| = 4 units.
  • Area = 6 × 4 = 24 square units.
  • (2, 1) और (8, 1) का y समान है, अतः यह भुजा क्षैतिज है; (8, 1) और (8, 5) का x समान है, अतः यह भुजा ऊर्ध्वाधर है।
  • चौथा शीर्ष (2, 1) के ठीक ऊपर और (8, 5) की सीध में होगा: (2, 5)।
  • लंबाई = |8 − 2| = 6 इकाई; चौड़ाई = |5 − 1| = 4 इकाई।
  • क्षेत्रफल = 6 × 4 = 24 वर्ग इकाई।
  • (2, 1) aur (8, 1) ka y same hai, isliye yeh side horizontal hai; (8, 1) aur (8, 5) ka x same hai, isliye yeh side vertical hai.
  • Chautha corner (2, 1) ke theek upar aur (8, 5) ki seedh mein hoga: (2, 5).
  • Length = |8 − 2| = 6 unit; breadth = |5 − 1| = 4 unit.
  • Area = 6 × 4 = 24 square unit.
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

Write the mirror image of P (4, −3) in (i) the y-axis (ii) the x-axis.P (4, −3) का दर्पण प्रतिबिंब लिखिए (i) y-अक्ष में (ii) x-अक्ष में।P (4, −3) ka mirror image likhiye (i) y-axis mein (ii) x-axis mein.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • (i) In the y-axis the x-coordinate changes sign: (−4, −3).
  • (ii) In the x-axis the y-coordinate changes sign: (4, 3).
  • (i) y-अक्ष में x-निर्देशांक का चिह्न बदलता है: (−4, −3)।
  • (ii) x-अक्ष में y-निर्देशांक का चिह्न बदलता है: (4, 3)।
  • (i) y-axis mein x-coordinate ka sign badalta hai: (−4, −3).
  • (ii) x-axis mein y-coordinate ka sign badalta hai: (4, 3).
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

Point W has x-coordinate −5. Where can a point H on the line through W parallel to the y-axis lie?बिंदु W का x-निर्देशांक −5 है। W से होकर y-अक्ष के समांतर रेखा पर बिंदु H कहाँ हो सकता है?Point W ka x-coordinate −5 hai. W se hokar y-axis ke parallel line par point H kahan ho sakta hai?

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • Every point on a line parallel to the y-axis has the same x-coordinate, so H = (−5, y).
  • If y > 0, H is in Quadrant II; if y < 0, H is in Quadrant III; if y = 0, H is (−5, 0) on the x-axis.
  • y-अक्ष के समांतर रेखा के हर बिंदु का x-निर्देशांक समान होता है, अतः H = (−5, y)।
  • y > 0 हो तो H चतुर्थांश II में; y < 0 हो तो चतुर्थांश III में; y = 0 हो तो H = (−5, 0), x-अक्ष पर।
  • y-axis ke parallel line ke har point ka x-coordinate same hota hai, isliye H = (−5, y).
  • y > 0 ho to H Quadrant II mein; y < 0 ho to Quadrant III mein; y = 0 ho to H = (−5, 0), x-axis par.

💡 Always write x first. Say it in your head: 'run, then jump' (along x first, then up/down for y).हमेशा x पहले लिखें। मन में बोलें: 'पहले चलो, फिर कूदो' (पहले x के अनुदिश, फिर y के लिए ऊपर/नीचे)।Hamesha x pehle likhiye. Mann mein boliye: 'pehle chalo, phir koodo' (pehle x ke along, phir y ke liye upar/neeche).

Distance between two pointsदो बिंदुओं के बीच की दूरीDo points ke beech ki distance

  • If the segment joining two points is not parallel to an axis, draw a horizontal and a vertical line to make a right-angled triangle.
  • Horizontal leg = x₂ − x₁ (shift along x); vertical leg = y₂ − y₁ (shift along y).
  • By the Baudhāyana–Pythagoras theorem, hypotenuse² = leg² + leg², which gives the distance formula.
  • Distance formula: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]. Signs of the shifts do not matter because they are squared.
  • Distance of P (x, y) from the origin = √(x² + y²).
  • Collinearity test: three points A, B, C lie on one line if the two smaller distances add up to the largest (AB + BC = AC).
  • Shape tests: equal sides → isosceles/equilateral; sides satisfying a² + b² = c² → right-angled triangle.
  • Midpoint of the segment joining (x₁, y₁) and (x₂, y₂) = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
  • यदि दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड किसी अक्ष के समांतर नहीं है, तो एक क्षैतिज और एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचकर समकोण त्रिभुज बनाइए।
  • क्षैतिज भुजा = x₂ − x₁ (x के अनुदिश खिसकाव); ऊर्ध्वाधर भुजा = y₂ − y₁ (y के अनुदिश खिसकाव)।
  • बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय से, कर्ण² = भुजा² + भुजा², जिससे दूरी सूत्र मिलता है।
  • दूरी सूत्र: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]। खिसकाव के चिह्न से फ़र्क नहीं पड़ता क्योंकि उनका वर्ग होता है।
  • मूल बिंदु से P (x, y) की दूरी = √(x² + y²)।
  • संरेखता जाँच: तीन बिंदु A, B, C एक रेखा पर हैं यदि दो छोटी दूरियों का योग सबसे बड़ी दूरी के बराबर हो (AB + BC = AC)।
  • आकृति जाँच: बराबर भुजाएँ → समद्विबाहु/समबाहु; a² + b² = c² मानने वाली भुजाएँ → समकोण त्रिभुज।
  • (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)।
  • Agar do points ko jodne wala segment kisi axis ke parallel nahi hai, to ek horizontal aur ek vertical line kheench kar right-angled triangle banaiye.
  • Horizontal leg = x₂ − x₁ (x ke along shift); vertical leg = y₂ − y₁ (y ke along shift).
  • Baudhāyana–Pythagoras theorem se, hypotenuse² = leg² + leg², jisse distance formula milta hai.
  • Distance formula: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]. Shifts ke sign se farq nahi padta kyonki unka square hota hai.
  • Origin se P (x, y) ki distance = √(x² + y²).
  • Collinear test: teen points A, B, C ek line par hain agar do chhoti distances ka sum sabse badi distance ke barabar ho (AB + BC = AC).
  • Shape test: barabar sides → isosceles/equilateral; a² + b² = c² follow karne wali sides → right-angled triangle.
  • (x₁, y₁) aur (x₂, y₂) ko jodne wale segment ka midpoint = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
📖 DefinitionsपरिभाषाएँDefinitions
Distance formulaदूरी सूत्रDistance formula
d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²], the length of the segment joining (x₁, y₁) and (x₂, y₂).d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²], (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड की लंबाई।d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²], (x₁, y₁) aur (x₂, y₂) ko jodne wale segment ki length.
Collinear pointsसंरेख बिंदुCollinear points
Points that lie on the same straight line.वे बिंदु जो एक ही सीधी रेखा पर हों।Woh points jo ek hi seedhi line par hon.
✏️ Formulas to rememberयाद रखने वाले सूत्रYaad rakhne wale formulas
d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
Distance from origin: OP = √(x² + y²)
Midpoint M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
Collinear if AB + BC = AC (largest = sum of the other two)
Distance between two pointsxyOP (1, 2)R (7, 2)Q (7, 10)PR = 7 − 1 = 6QR = 10 − 2 = 8PQ = √(6² + 8²)= √100 = 10
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

Find the distance between A (−2, 3) and B (4, −5).A (−2, 3) और B (4, −5) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।A (−2, 3) aur B (4, −5) ke beech ki distance nikaaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • x₂ − x₁ = 4 − (−2) = 6; y₂ − y₁ = −5 − 3 = −8.
  • AB = √(6² + (−8)²) = √(36 + 64) = √100 = 10 units.
  • x₂ − x₁ = 4 − (−2) = 6; y₂ − y₁ = −5 − 3 = −8।
  • AB = √(6² + (−8)²) = √(36 + 64) = √100 = 10 इकाई।
  • x₂ − x₁ = 4 − (−2) = 6; y₂ − y₁ = −5 − 3 = −8.
  • AB = √(6² + (−8)²) = √(36 + 64) = √100 = 10 unit.
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 3 marks3 अंक3 marks

Show that A (2, 1), B (5, 5) and C (6, −2) are the vertices of an isosceles triangle.दिखाइए कि A (2, 1), B (5, 5) और C (6, −2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।Dikhaiye ki A (2, 1), B (5, 5) aur C (6, −2) ek isosceles triangle ke vertices hain.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • AB = √[(5 − 2)² + (5 − 1)²] = √(9 + 16) = 5.
  • AC = √[(6 − 2)² + (−2 − 1)²] = √(16 + 9) = 5.
  • BC = √[(6 − 5)² + (−2 − 5)²] = √(1 + 49) = √50 = 5√2.
  • AB = AC, so triangle ABC is isosceles.
  • AB = √[(5 − 2)² + (5 − 1)²] = √(9 + 16) = 5।
  • AC = √[(6 − 2)² + (−2 − 1)²] = √(16 + 9) = 5।
  • BC = √[(6 − 5)² + (−2 − 5)²] = √(1 + 49) = √50 = 5√2।
  • AB = AC, अतः त्रिभुज ABC समद्विबाहु है।
  • AB = √[(5 − 2)² + (5 − 1)²] = √(9 + 16) = 5.
  • AC = √[(6 − 2)² + (−2 − 1)²] = √(16 + 9) = 5.
  • BC = √[(6 − 5)² + (−2 − 5)²] = √(1 + 49) = √50 = 5√2.
  • AB = AC, isliye triangle ABC isosceles hai.
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 3 marks3 अंक3 marks

Without plotting, check whether P (1, 1), Q (4, 5) and R (7, 9) are collinear.बिना आलेखित किए जाँचिए कि P (1, 1), Q (4, 5) और R (7, 9) संरेख हैं या नहीं।Bina plot kiye check kijiye ki P (1, 1), Q (4, 5) aur R (7, 9) collinear hain ya nahi.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • PQ = √(3² + 4²) = 5; QR = √(3² + 4²) = 5; PR = √(6² + 8²) = 10.
  • PQ + QR = 5 + 5 = 10 = PR.
  • So the three points lie on one straight line (collinear).
  • PQ = √(3² + 4²) = 5; QR = √(3² + 4²) = 5; PR = √(6² + 8²) = 10।
  • PQ + QR = 5 + 5 = 10 = PR।
  • अतः तीनों बिंदु एक सीधी रेखा पर हैं (संरेख)।
  • PQ = √(3² + 4²) = 5; QR = √(3² + 4²) = 5; PR = √(6² + 8²) = 10.
  • PQ + QR = 5 + 5 = 10 = PR.
  • Isliye teeno points ek seedhi line par hain (collinear).
Important questionमहत्वपूर्ण प्रश्नImportant sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

M (1, 2) is the midpoint of A (−3, 5) and B (x, y). Find B.M (1, 2), A (−3, 5) और B (x, y) का मध्य-बिंदु है। B ज्ञात कीजिए।M (1, 2), A (−3, 5) aur B (x, y) ka midpoint hai. B nikaaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • (−3 + x)/2 = 1 ⇒ x = 2 + 3 = 5.
  • (5 + y)/2 = 2 ⇒ y = 4 − 5 = −1.
  • So B = (5, −1).
  • (−3 + x)/2 = 1 ⇒ x = 2 + 3 = 5।
  • (5 + y)/2 = 2 ⇒ y = 4 − 5 = −1।
  • अतः B = (5, −1)।
  • (−3 + x)/2 = 1 ⇒ x = 2 + 3 = 5.
  • (5 + y)/2 = 2 ⇒ y = 4 − 5 = −1.
  • Isliye B = (5, −1).

💡 Write the two differences first, square them, add, then take the root. Never take the root of each term separately: √(a² + b²) ≠ a + b.पहले दोनों अंतर लिखें, वर्ग करें, जोड़ें, फिर वर्गमूल लें। हर पद का अलग वर्गमूल कभी न लें: √(a² + b²) ≠ a + b।Pehle dono differences likhiye, square kijiye, jodiye, phir root lijiye. Har term ka alag root kabhi mat lijiye: √(a² + b²) ≠ a + b.

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📐 Deriving the distance formulaदूरी सूत्र की व्युत्पत्तिDistance formula derive karna

  1. Take P (x₁, y₁) and Q (x₂, y₂). Draw a line through P parallel to the x-axis and a line through Q parallel to the y-axis; they meet at R (x₂, y₁).
  2. PR is horizontal and RQ is vertical, so ∠PRQ = 90°.
  3. PR = |x₂ − x₁| and RQ = |y₂ − y₁|.
  4. Baudhāyana–Pythagoras: PQ² = PR² + RQ² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².
  5. Distance is positive, so PQ = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].
  1. P (x₁, y₁) और Q (x₂, y₂) लें। P से x-अक्ष के समांतर और Q से y-अक्ष के समांतर रेखा खींचें; ये R (x₂, y₁) पर मिलती हैं।
  2. PR क्षैतिज और RQ ऊर्ध्वाधर है, अतः ∠PRQ = 90°।
  3. PR = |x₂ − x₁| और RQ = |y₂ − y₁|।
  4. बौधायन–पाइथागोरस: PQ² = PR² + RQ² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²।
  5. दूरी धनात्मक होती है, अतः PQ = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]।
  1. P (x₁, y₁) aur Q (x₂, y₂) lijiye. P se x-axis ke parallel aur Q se y-axis ke parallel line kheenchiye; ye R (x₂, y₁) par milti hain.
  2. PR horizontal aur RQ vertical hai, isliye ∠PRQ = 90°.
  3. PR = |x₂ − x₁| aur RQ = |y₂ − y₁|.
  4. Baudhāyana–Pythagoras: PQ² = PR² + RQ² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².
  5. Distance positive hoti hai, isliye PQ = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].
🧠 Tricky questionकठिन प्रश्नTricky sawaal · 3 marks3 अंक3 marks

Check whether A (1, −8), B (−4, 7) and C (−7, −4) are all equally far from O (0, 0), so that they lie on one circle with centre O. Find the radius.क्या बिंदु A (1, −8), B (−4, 7) और C (−7, −4) केंद्र O (0, 0) वाले एक वृत्त पर हैं? त्रिज्या ज्ञात कीजिए।Kya points A (1, −8), B (−4, 7) aur C (−7, −4) centre O (0, 0) wale ek circle par hain? Radius nikaaliye.

✅ Answerउत्तरJawab
  • OA = √(1 + 64) = √65; OB = √(16 + 49) = √65; OC = √(49 + 16) = √65.
  • All three are at the same distance √65 from O, so they lie on one circle with centre O.
  • Radius = √65 units (about 8.06 units).
  • OA = √(1 + 64) = √65; OB = √(16 + 49) = √65; OC = √(49 + 16) = √65।
  • तीनों O से समान दूरी √65 पर हैं, अतः ये केंद्र O वाले एक ही वृत्त पर हैं।
  • त्रिज्या = √65 इकाई (लगभग 8.06 इकाई)।
  • OA = √(1 + 64) = √65; OB = √(16 + 49) = √65; OC = √(49 + 16) = √65.
  • Teeno O se same distance √65 par hain, isliye ye centre O wale ek hi circle par hain.
  • Radius = √65 unit (lagbhag 8.06 unit).
🧠 Tricky questionकठिन प्रश्नTricky sawaal · 4 marks4 अंक4 marks

Is ABCD with A (2, 1), B (−1, 2), C (−2, −1), D (1, −2) a square? Find its area.क्या A (2, 1), B (−1, 2), C (−2, −1), D (1, −2) वाला ABCD एक वर्ग है? इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।Kya A (2, 1), B (−1, 2), C (−2, −1), D (1, −2) wala ABCD ek square hai? Iska area nikaaliye.

✅ Answerउत्तरJawab
  • Sides: AB = √(9 + 1) = √10, BC = √(1 + 9) = √10, CD = √(9 + 1) = √10, DA = √(1 + 9) = √10.
  • Diagonals: AC = √(16 + 4) = √20, BD = √(4 + 16) = √20.
  • All sides equal and diagonals equal, so ABCD is a square.
  • Area = side² = (√10)² = 10 square units.
  • भुजाएँ: AB = √(9 + 1) = √10, BC = √(1 + 9) = √10, CD = √(9 + 1) = √10, DA = √(1 + 9) = √10।
  • विकर्ण: AC = √(16 + 4) = √20, BD = √(4 + 16) = √20।
  • सभी भुजाएँ बराबर और विकर्ण बराबर, अतः ABCD वर्ग है।
  • क्षेत्रफल = भुजा² = (√10)² = 10 वर्ग इकाई।
  • Sides: AB = √(9 + 1) = √10, BC = √(1 + 9) = √10, CD = √(9 + 1) = √10, DA = √(1 + 9) = √10.
  • Diagonals: AC = √(16 + 4) = √20, BD = √(4 + 16) = √20.
  • Saari sides barabar aur diagonals barabar, isliye ABCD square hai.
  • Area = side² = (√10)² = 10 square unit.

⚠️ Common mistakesआम गलतियाँAam galtiyan

  • Writing (y, x) instead of (x, y) → x always comes first.
  • Putting a point like (0, 5) in Quadrant I → points on axes are in no quadrant.
  • Forgetting the minus inside brackets: 4 − (−2) = 6, not 2.
  • Taking √(a² + b²) = a + b → add the squares first, then take one root.
  • (x, y) की जगह (y, x) लिखना → x हमेशा पहले।
  • (0, 5) जैसे बिंदु को चतुर्थांश I में रखना → अक्षों के बिंदु किसी चतुर्थांश में नहीं।
  • कोष्ठक का ऋण चिह्न भूलना: 4 − (−2) = 6, न कि 2।
  • √(a² + b²) = a + b मानना → पहले वर्ग जोड़ें, फिर एक वर्गमूल।
  • (x, y) ki jagah (y, x) likhna → x hamesha pehle.
  • (0, 5) jaise point ko Quadrant I mein rakhna → axes ke points kisi quadrant mein nahi.
  • Bracket ka minus bhoolna: 4 − (−2) = 6, 2 nahi.
  • √(a² + b²) = a + b maanna → pehle squares jodiye, phir ek root.

💎 Less common but importantकम चर्चित पर ज़रूरीKam common par zaroori

  • Reflection in an axis keeps every length the same; only the position (and orientation) changes.
  • Points of trisection of AB: A + (B − A)/3 and A + 2(B − A)/3 (apply to each coordinate). Taking midpoints twice does not give trisection points.
  • किसी अक्ष में परावर्तन से हर लंबाई वही रहती है; केवल स्थिति (और अभिविन्यास) बदलती है।
  • AB के समत्रिभाजक बिंदु: A + (B − A)/3 और A + 2(B − A)/3 (हर निर्देशांक पर अलग से)। दो बार मध्य-बिंदु लेने से समत्रिभाजक नहीं मिलते।
  • Kisi axis mein reflection se har length wahi rehti hai; sirf position (aur orientation) badalti hai.
  • AB ke trisection points: A + (B − A)/3 aur A + 2(B − A)/3 (har coordinate par alag se). Do baar midpoint lene se trisection points nahi milte.

⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision

  • Axes ⟂, O = (0, 0)
  • I (+,+) II (−,+) III (−,−) IV (+,−)
  • x-axis: (x, 0); y-axis: (0, y)
  • d = √[(Δx)² + (Δy)²]
  • Mid = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
  • AB + BC = AC ⇒ collinear
  • अक्ष ⟂, O = (0, 0)
  • I (+,+) II (−,+) III (−,−) IV (+,−)
  • x-अक्ष: (x, 0); y-अक्ष: (0, y)
  • d = √[(Δx)² + (Δy)²]
  • मध्य = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
  • AB + BC = AC ⇒ संरेख
  • Axes ⟂, O = (0, 0)
  • I (+,+) II (−,+) III (−,−) IV (+,−)
  • x-axis: (x, 0); y-axis: (0, y)
  • d = √[(Δx)² + (Δy)²]
  • Mid = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
  • AB + BC = AC ⇒ collinear

⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision

  • The x-axis (horizontal) and y-axis (vertical) meet at the origin O (0, 0).
  • A point is the ordered pair (x, y): x first, then y.
  • Quadrant signs: I (+, +), II (−, +), III (−, −), IV (+, −).
  • Points on the axes, like (4, 0) or (0, −2), lie in no quadrant.
  • (x, y) = (y, x) only when x = y.
  • Same x → line parallel to the y-axis; same y → line parallel to the x-axis.
  • Reflection in the y-axis: (x, y) → (−x, y); in the x-axis: (x, y) → (x, −y).
  • Distance: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]; from origin √(x² + y²).
  • Midpoint: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
  • Collinear test: the two smaller distances add up to the largest.
  • x-अक्ष (क्षैतिज) और y-अक्ष (ऊर्ध्वाधर) मूल बिंदु O (0, 0) पर मिलते हैं।
  • बिंदु क्रमित युग्म (x, y) है: पहले x, फिर y।
  • चतुर्थांश चिह्न: I (+, +), II (−, +), III (−, −), IV (+, −)।
  • अक्षों पर स्थित बिंदु, जैसे (4, 0) या (0, −2), किसी चतुर्थांश में नहीं।
  • (x, y) = (y, x) केवल तब जब x = y।
  • समान x → y-अक्ष के समांतर रेखा; समान y → x-अक्ष के समांतर रेखा।
  • y-अक्ष में परावर्तन: (x, y) → (−x, y); x-अक्ष में: (x, y) → (x, −y)।
  • दूरी: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]; मूल बिंदु से √(x² + y²)।
  • मध्य-बिंदु: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)।
  • संरेखता जाँच: दो छोटी दूरियों का योग = सबसे बड़ी दूरी।
  • x-axis (horizontal) aur y-axis (vertical) origin O (0, 0) par milte hain.
  • Point ordered pair (x, y) hai: pehle x, phir y.
  • Quadrant signs: I (+, +), II (−, +), III (−, −), IV (+, −).
  • Axes par pade points, jaise (4, 0) ya (0, −2), kisi quadrant mein nahi.
  • (x, y) = (y, x) sirf tab jab x = y.
  • Same x → y-axis ke parallel line; same y → x-axis ke parallel line.
  • y-axis mein reflection: (x, y) → (−x, y); x-axis mein: (x, y) → (x, −y).
  • Distance: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]; origin se √(x² + y²).
  • Midpoint: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
  • Collinear test: do chhoti distances ka sum = sabse badi distance.
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Notes written by Simple Learning Hub from the current NCERT syllabus.नोट्स Simple Learning Hub ने वर्तमान NCERT पाठ्यक्रम से लिखे हैं।Notes Simple Learning Hub ne current NCERT syllabus se likhe hain.