IntegralsसमाकलनIntegrals (Samakalan)

• Most-used property (P4): ∫₀^a f(x) dx = ∫₀^a f(a−x) dx. Write I, write I again with x → a−x, then ADD the two. This is the 8-mark favourite.
• General form (P3): ∫ₐ^b f(x) dx = ∫ₐ^b f(a+b−x) dx. Use it when the limits are not from 0, e.g. π/6 to π/3.
• Odd/even (P6): ∫₋ₐ^a f(x) dx = 2∫₀^a f(x) dx if f is even [f(−x) = f(x)], and = 0 if f is odd [f(−x) = −f(x)]. Example: ∫₋₁^1 x³ cos x dx = 0 (odd).
• Splitting (P2): ∫ₐ^b f = ∫ₐ^c f + ∫_c^b f. Used for |x−1|, |x³−x|, |x sin πx| type: find where the expression inside |…| becomes 0, split there, and take the correct sign in each part.
• P7: ∫₀^{2a} f(x) dx = 2∫₀^a f(x) dx if f(2a−x) = f(x), and 0 if f(2a−x) = −f(x). Used in ∫₀^{π/2} log sin x dx.
• MCQ answers to remember: ∫₀^{π/2} dx/(1+√tan x) = π/4; ∫₀^{π/2} sinⁿx/(sinⁿx+cosⁿx) dx = π/4 for any n; ∫_{π/6}^{π/3} dx/(1+√tan x) = π/12.
• When x is multiplied outside (like x sin x/(1+cos²x) from 0 to π): use P4, the x becomes (π−x), add to get π∫…, then substitute cos x = t.

• सबसे अधिक प्रयुक्त गुणधर्म (P4): ∫₀^a f(x) dx = ∫₀^a f(a−x) dx। I लिखिए, फिर x → a−x रखकर I दोबारा लिखिए, फिर दोनों को जोड़िए। यही 8 अंक का प्रिय प्रश्न है।
• व्यापक रूप (P3): ∫ₐ^b f(x) dx = ∫ₐ^b f(a+b−x) dx। जब सीमाएँ 0 से न हों, जैसे π/6 से π/3, तब इसका प्रयोग कीजिए।
• सम/विषम (P6): ∫₋ₐ^a f(x) dx = 2∫₀^a f(x) dx यदि f सम फलन है [f(−x) = f(x)], और = 0 यदि f विषम फलन है [f(−x) = −f(x)]। उदाहरण: ∫₋₁^1 x³ cos x dx = 0 (विषम)।
• विभाजन (P2): ∫ₐ^b f = ∫ₐ^c f + ∫_c^b f। |x−1|, |x³−x|, |x sin πx| जैसे प्रश्नों में: |…| के अंदर का व्यंजक जहाँ शून्य हो वहाँ सीमा तोड़िए और हर भाग में सही चिह्न लीजिए।
• P7: ∫₀^{2a} f(x) dx = 2∫₀^a f(x) dx यदि f(2a−x) = f(x), और 0 यदि f(2a−x) = −f(x)। ∫₀^{π/2} log sin x dx में प्रयोग होता है।
• याद रखने योग्य MCQ उत्तर: ∫₀^{π/2} dx/(1+√tan x) = π/4; किसी भी n के लिए ∫₀^{π/2} sinⁿx/(sinⁿx+cosⁿx) dx = π/4; ∫_{π/6}^{π/3} dx/(1+√tan x) = π/12।
• जब x बाहर गुणा हो (जैसे 0 से π तक x sin x/(1+cos²x)): P4 लगाइए, x का (π−x) बनता है, जोड़ने पर π∫… मिलता है, फिर cos x = t रखिए।

• Sabse zyada use hone wali property (P4): ∫₀^a f(x) dx = ∫₀^a f(a−x) dx. I likhiye, phir x → a−x rakhkar I dobara likhiye, phir dono ko JOD dijiye. Yahi 8 marks ka favourite hai.
• General form (P3): ∫ₐ^b f(x) dx = ∫ₐ^b f(a+b−x) dx. Jab limits 0 se na hon, jaise π/6 se π/3, tab ise use kijiye.
• Odd/even (P6): ∫₋ₐ^a f(x) dx = 2∫₀^a f(x) dx agar f even hai [f(−x) = f(x)], aur = 0 agar f odd hai [f(−x) = −f(x)]. Example: ∫₋₁^1 x³ cos x dx = 0 (odd).
• Splitting (P2): ∫ₐ^b f = ∫ₐ^c f + ∫_c^b f. |x−1|, |x³−x|, |x sin πx| type mein: |…| ke andar ka expression jahan 0 ho wahan limit todiye aur har hisse mein sahi sign lijiye.
• P7: ∫₀^{2a} f(x) dx = 2∫₀^a f(x) dx agar f(2a−x) = f(x), aur 0 agar f(2a−x) = −f(x). ∫₀^{π/2} log sin x dx mein use hoti hai.
• Yaad rakhne wale MCQ answers: ∫₀^{π/2} dx/(1+√tan x) = π/4; kisi bhi n ke liye ∫₀^{π/2} sinⁿx/(sinⁿx+cosⁿx) dx = π/4; ∫_{π/6}^{π/3} dx/(1+√tan x) = π/12.
• Jab x bahar multiply ho (jaise 0 se π tak x sin x/(1+cos²x)): P4 lagaiye, x ka (π−x) banta hai, jodne par π∫… milta hai, phir cos x = t rakhiye.

💡 After applying P4, always write '(adding (1) and (2))' and show 2I = …; the examiner gives a step mark for it. Never forget to divide by 2 at the end.P4 लगाने के बाद हमेशा '(1) और (2) को जोड़ने पर' लिखिए और 2I = … दिखाइए; इसके लिए चरण-अंक मिलता है। अंत में 2 से भाग देना कभी न भूलें।P4 lagane ke baad hamesha '(1) aur (2) ko jodne par' likhiye aur 2I = … dikhaiye; iske step marks milte hain. Aakhir mein 2 se divide karna kabhi mat bhooliye.

• Look for a function AND its derivative together: x² with x³, 1/(1+x²) with tan⁻¹x, 1/x with log x, sec²x with tan x. Put the function = t.
• Write dt in terms of dx, change everything into t, integrate, then put back the x-value of t.
• In a DEFINITE integral, change the limits too when you substitute; then there is no need to go back to x.
• ∫ f′(x)/f(x) dx = log|f(x)| + C — e.g. ∫ tan x dx = log|sec x| + C, ∫ cot x dx = log|sin x| + C.
• ∫ sec x dx = log|sec x + tan x| + C; ∫ cosec x dx = log|cosec x − cot x| + C.

• किसी फलन और उसके अवकलज को साथ देखिए: x³ के साथ x², tan⁻¹x के साथ 1/(1+x²), log x के साथ 1/x, tan x के साथ sec²x। उस फलन को = t रखिए।
• dt को dx में लिखिए, सब कुछ t में बदलिए, समाकलन कीजिए, फिर t का x वाला मान वापस रखिए।
• निश्चित समाकलन में प्रतिस्थापन करते समय सीमाएँ भी बदलिए; फिर x में लौटने की आवश्यकता नहीं।
• ∫ f′(x)/f(x) dx = log|f(x)| + C — जैसे ∫ tan x dx = log|sec x| + C, ∫ cot x dx = log|sin x| + C।
• ∫ sec x dx = log|sec x + tan x| + C; ∫ cosec x dx = log|cosec x − cot x| + C।

• Ek function aur uska derivative saath mein dhoondhiye: x³ ke saath x², tan⁻¹x ke saath 1/(1+x²), log x ke saath 1/x, tan x ke saath sec²x. Us function ko = t rakhiye.
• dt ko dx mein likhiye, sab kuch t mein badaliye, integrate kijiye, phir t ka x wala maan wapas rakhiye.
• Definite integral mein substitute karte waqt limits bhi badaliye; phir x mein wapas jaane ki zaroorat nahi.
• ∫ f′(x)/f(x) dx = log|f(x)| + C — jaise ∫ tan x dx = log|sec x| + C, ∫ cot x dx = log|sin x| + C.
• ∫ sec x dx = log|sec x + tan x| + C; ∫ cosec x dx = log|cosec x − cot x| + C.

💡 Writing the new limits next to the substitution line ('when x = 0, t = 0') earns a step mark.प्रतिस्थापन वाली पंक्ति के साथ नई सीमाएँ लिखना ('x = 0 पर t = 0') चरण-अंक दिलाता है।Substitution wali line ke saath nayi limits likhna ('x = 0 par t = 0') step marks dilata hai.

• sin²x = (1 − cos 2x)/2 and cos²x = (1 + cos 2x)/2. So ∫ cos²x dx = x/2 + (sin 2x)/4 + C and ∫ sin²x dx = x/2 − (sin 2x)/4 + C.
• sin³x = (3 sin x − sin 3x)/4 and cos³x = (3 cos x + cos 3x)/4.
• Product to sum: 2 sin A cos B = sin(A+B) + sin(A−B); 2 cos A cos B = cos(A+B) + cos(A−B); 2 sin A sin B = cos(A−B) − cos(A+B).
• MCQ: ∫ (sin²x − cos²x)/(sin²x cos²x) dx = ∫ (sec²x − cosec²x) dx = tan x + cot x + C.
• Odd power of sin (like sin³x): you can also write sin³x = (1 − cos²x) sin x and put cos x = t.

• sin²x = (1 − cos 2x)/2 तथा cos²x = (1 + cos 2x)/2। अतः ∫ cos²x dx = x/2 + (sin 2x)/4 + C तथा ∫ sin²x dx = x/2 − (sin 2x)/4 + C।
• sin³x = (3 sin x − sin 3x)/4 तथा cos³x = (3 cos x + cos 3x)/4।
• गुणनफल से योग: 2 sin A cos B = sin(A+B) + sin(A−B); 2 cos A cos B = cos(A+B) + cos(A−B); 2 sin A sin B = cos(A−B) − cos(A+B)।
• MCQ: ∫ (sin²x − cos²x)/(sin²x cos²x) dx = ∫ (sec²x − cosec²x) dx = tan x + cot x + C।
• sin की विषम घात (जैसे sin³x): sin³x = (1 − cos²x) sin x लिखकर cos x = t भी रख सकते हैं।

• sin²x = (1 − cos 2x)/2 aur cos²x = (1 + cos 2x)/2. Isliye ∫ cos²x dx = x/2 + (sin 2x)/4 + C aur ∫ sin²x dx = x/2 − (sin 2x)/4 + C.
• sin³x = (3 sin x − sin 3x)/4 aur cos³x = (3 cos x + cos 3x)/4.
• Product se sum: 2 sin A cos B = sin(A+B) + sin(A−B); 2 cos A cos B = cos(A+B) + cos(A−B); 2 sin A sin B = cos(A−B) − cos(A+B).
• MCQ: ∫ (sin²x − cos²x)/(sin²x cos²x) dx = ∫ (sec²x − cosec²x) dx = tan x + cot x + C.
• sin ki odd power (jaise sin³x): sin³x = (1 − cos²x) sin x likhkar cos x = t bhi rakh sakte hain.

💡 Two answers that look different (like the two forms of ∫ sin³x dx) can both be right; they differ only by a constant.दो अलग दिखने वाले उत्तर (जैसे ∫ sin³x dx के दो रूप) दोनों सही हो सकते हैं; उनमें केवल एक अचर का अंतर होता है।Do alag dikhne wale answers (jaise ∫ sin³x dx ke do roop) dono sahi ho sakte hain; unmein sirf ek constant ka farq hota hai.

• Formula: ∫ u·v dx = u∫v dx − ∫[u′ ∫v dx] dx. u = first function, v = second function.
• Choose the first function by ILATE: Inverse trig → Logarithmic → Algebraic → Trigonometric → Exponential. The one coming first is u.
• ∫ log x dx and ∫ tan⁻¹x dx: take 1 as the second function. ∫ log x dx = x log x − x + C.
• MCQ facts: ∫ x cos x dx = x sin x + cos x + C; ∫ x log x dx = (x²/2) log x − x²/4 + C; ∫ x eˣ dx = eˣ(x − 1) + C.
• For x² eˣ or x² sin x, apply by parts twice.
• If the integrand has sin⁻¹x/√(1−x²), first put sin⁻¹x = t, then use by parts.

• सूत्र: ∫ u·v dx = u∫v dx − ∫[u′ ∫v dx] dx। u = प्रथम फलन, v = द्वितीय फलन।
• प्रथम फलन ILATE क्रम से चुनिए: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय → लघुगणकीय → बीजीय → त्रिकोणमितीय → चरघातांकी। जो पहले आए, वही u है।
• ∫ log x dx और ∫ tan⁻¹x dx: 1 को द्वितीय फलन लीजिए। ∫ log x dx = x log x − x + C।
• MCQ तथ्य: ∫ x cos x dx = x sin x + cos x + C; ∫ x log x dx = (x²/2) log x − x²/4 + C; ∫ x eˣ dx = eˣ(x − 1) + C।
• x² eˣ या x² sin x में खंडशः समाकलन दो बार लगाइए।
• यदि समाकल्य में sin⁻¹x/√(1−x²) हो, तो पहले sin⁻¹x = t रखिए, फिर खंडशः समाकलन लगाइए।

• Formula: ∫ u·v dx = u∫v dx − ∫[u′ ∫v dx] dx. u = first function, v = second function.
• First function ILATE se chuniye: Inverse trig → Log → Algebraic → Trig → Exponential. Jo pehle aaye, wahi u hai.
• ∫ log x dx aur ∫ tan⁻¹x dx: 1 ko second function lijiye. ∫ log x dx = x log x − x + C.
• MCQ facts: ∫ x cos x dx = x sin x + cos x + C; ∫ x log x dx = (x²/2) log x − x²/4 + C; ∫ x eˣ dx = eˣ(x − 1) + C.
• x² eˣ ya x² sin x mein by parts do baar lagaiye.
• Agar integrand mein sin⁻¹x/√(1−x²) ho, toh pehle sin⁻¹x = t rakhiye, phir by parts lagaiye.

💡 Check your answer by differentiating it: d/dx of the answer must give back the integrand.अपने उत्तर का अवकलन करके जाँचिए: उत्तर का d/dx वापस समाकल्य देना चाहिए।Apna answer differentiate karke check kijiye: answer ka d/dx wapas integrand dena chahiye.

• ∫ₐ^b f(x) dx = F(b) − F(a), where F′(x) = f(x). No '+C' in a definite integral.
• ∫ dx/(a² + x²) = (1/a) tan⁻¹(x/a). MCQ: ∫₂^{2√3} dx/(4 + x²) = ½(π/3 − π/4) = π/24.
• For 4 + 9x², first take 9 out: 9(x² + 4/9). So ∫₀^{2/3} dx/(4 + 9x²) = π/24.
• MCQ: ∫₂^3 dx/x = log 3 − log 2 = log(3/2); ∫₋₁^1 (x + 1) dx = 2; ∫₀^{π/4} sin³2x cos 2x dx = 1/8.

• ∫ₐ^b f(x) dx = F(b) − F(a), जहाँ F′(x) = f(x)। निश्चित समाकलन में '+C' नहीं लिखते।
• ∫ dx/(a² + x²) = (1/a) tan⁻¹(x/a)। MCQ: ∫₂^{2√3} dx/(4 + x²) = ½(π/3 − π/4) = π/24।
• 4 + 9x² में पहले 9 बाहर निकालिए: 9(x² + 4/9)। अतः ∫₀^{2/3} dx/(4 + 9x²) = π/24।
• MCQ: ∫₂^3 dx/x = log 3 − log 2 = log(3/2); ∫₋₁^1 (x + 1) dx = 2; ∫₀^{π/4} sin³2x cos 2x dx = 1/8।

• ∫ₐ^b f(x) dx = F(b) − F(a), jahan F′(x) = f(x). Definite integral mein '+C' nahi likhte.
• ∫ dx/(a² + x²) = (1/a) tan⁻¹(x/a). MCQ: ∫₂^{2√3} dx/(4 + x²) = ½(π/3 − π/4) = π/24.
• 4 + 9x² mein pehle 9 bahar nikaaliye: 9(x² + 4/9). Isliye ∫₀^{2/3} dx/(4 + 9x²) = π/24.
• MCQ: ∫₂^3 dx/x = log 3 − log 2 = log(3/2); ∫₋₁^1 (x + 1) dx = 2; ∫₀^{π/4} sin³2x cos 2x dx = 1/8.

• Use when the integrand is (polynomial)/(polynomial). If the degree of the numerator ≥ degree of the denominator, divide first.
• Distinct linear factors: (px+q)/((x−a)(x−b)) = A/(x−a) + B/(x−b).
• Repeated factor: (px+q)/((x−a)²(x−b)) = A/(x−a) + B/(x−a)² + C/(x−b).
• Quadratic factor: (px²+qx+r)/((x−a)(x²+bx+c)) = A/(x−a) + (Bx+C)/(x²+bx+c).
• Find A, B quickly by putting x = a, x = b (the roots) in the identity; compare coefficients for the rest.
• x³ − x² − x + 1 = (x − 1)²(x + 1) — this factorisation comes in the papers.

• जब समाकल्य (बहुपद)/(बहुपद) हो। यदि अंश की घात ≥ हर की घात, तो पहले भाग दीजिए।
• भिन्न रैखिक गुणनखंड: (px+q)/((x−a)(x−b)) = A/(x−a) + B/(x−b)।
• पुनरावृत्त गुणनखंड: (px+q)/((x−a)²(x−b)) = A/(x−a) + B/(x−a)² + C/(x−b)।
• द्विघात गुणनखंड: (px²+qx+r)/((x−a)(x²+bx+c)) = A/(x−a) + (Bx+C)/(x²+bx+c)।
• सर्वसमिका में x = a, x = b (मूल) रखकर A, B जल्दी निकालिए; बाकी के लिए गुणांकों की तुलना कीजिए।
• x³ − x² − x + 1 = (x − 1)²(x + 1) — यह गुणनखंड प्रश्नपत्रों में आता है।

• Jab integrand (polynomial)/(polynomial) ho. Agar numerator ki degree ≥ denominator ki degree, toh pehle divide kijiye.
• Alag linear factors: (px+q)/((x−a)(x−b)) = A/(x−a) + B/(x−b).
• Repeated factor: (px+q)/((x−a)²(x−b)) = A/(x−a) + B/(x−a)² + C/(x−b).
• Quadratic factor: (px²+qx+r)/((x−a)(x²+bx+c)) = A/(x−a) + (Bx+C)/(x²+bx+c).
• Identity mein x = a, x = b (roots) rakhkar A, B jaldi nikaliye; baaki ke liye coefficients compare kijiye.
• x³ − x² − x + 1 = (x − 1)²(x + 1) — yeh factorisation papers mein aata hai.

💡 For (x² + 1)/(x² − 3x + 2), the degrees are equal: divide first to get 1 + (3x − 1)/(x² − 3x + 2). Answer: x − 2 log|x − 1| + 5 log|x − 2| + C.(x² + 1)/(x² − 3x + 2) में घातें बराबर हैं: पहले भाग देकर 1 + (3x − 1)/(x² − 3x + 2) बनाइए। उत्तर: x − 2 log|x − 1| + 5 log|x − 2| + C।(x² + 1)/(x² − 3x + 2) mein degrees barabar hain: pehle divide karke 1 + (3x − 1)/(x² − 3x + 2) banaiye. Answer: x − 2 log|x − 1| + 5 log|x − 2| + C.

• Learn the six standard results in the formula box below exactly; most 1-2 mark questions are a direct use of one of them.
• For ax² + bx + c: complete the square. Example: x² + 4x + 8 = (x + 2)² + 2²; 2x − x² = 1 − (x − 1)².
• (px + q)/(ax² + bx + c): write px + q = A·(2ax + b) + B. The A part gives a log, the B part gives a special form.
• ∫(√tan x + √cot x) dx = √2 sin⁻¹(sin x − cos x) + C. Method: √tan x + √cot x = (sin x + cos x)/√(sin x cos x); put sin x − cos x = t.

• नीचे सूत्र-खंड के छह मानक परिणाम ठीक-ठीक याद कीजिए; अधिकांश 1-2 अंक के प्रश्न इन्हीं में से किसी का सीधा प्रयोग होते हैं।
• ax² + bx + c के लिए: पूर्ण वर्ग बनाइए। उदाहरण: x² + 4x + 8 = (x + 2)² + 2²; 2x − x² = 1 − (x − 1)²।
• (px + q)/(ax² + bx + c): px + q = A·(2ax + b) + B लिखिए। A वाला भाग log देता है, B वाला भाग विशेष रूप।
• ∫(√tan x + √cot x) dx = √2 sin⁻¹(sin x − cos x) + C। विधि: √tan x + √cot x = (sin x + cos x)/√(sin x cos x); sin x − cos x = t रखिए।

• Neeche formula box ke chhe standard results bilkul yaad kijiye; zyadatar 1-2 marks ke sawaal inhi mein se kisi ka seedha use hote hain.
• ax² + bx + c ke liye: complete the square. Example: x² + 4x + 8 = (x + 2)² + 2²; 2x − x² = 1 − (x − 1)².
• (px + q)/(ax² + bx + c): px + q = A·(2ax + b) + B likhiye. A wala hissa log deta hai, B wala hissa special form.
• ∫(√tan x + √cot x) dx = √2 sin⁻¹(sin x − cos x) + C. Method: √tan x + √cot x = (sin x + cos x)/√(sin x cos x); sin x − cos x = t rakhiye.

💡 Do not mix up the two log forms: x² − a² gives (x − a)/(x + a); a² − x² gives (a + x)/(a − x).दोनों log रूपों में भ्रम न करें: x² − a² से (x − a)/(x + a); a² − x² से (a + x)/(a − x)।Dono log forms mein confuse mat hoiye: x² − a² se (x − a)/(x + a); a² − x² se (a + x)/(a − x).