Simple Learning HubCLASS 9–12 · JEE · NEET
📝 Board Notes: Pass to Topperबोर्ड नोट्स: पास से टॉपर तकBoard Notes: Pass se Topper tak

Application of Derivativesअवकलज के अनुप्रयोगApplication of Derivatives

Class 12 Maths · Chapter 6 · UP Boardकक्षा 12 गणित · अध्याय 6 · यूपी बोर्डClass 12 Maths · Chapter 6 · UP Board

Built by analysing many years of real UP Board papers, and updated after every board exam. Beginner or topper, it is for everyone.कई वर्षों के असली यूपी बोर्ड पेपरों के विश्लेषण से बना, हर बोर्ड परीक्षा के बाद अपडेट। शुरुआत करने वाले हों या टॉपर, सबके लिए।Kai saalon ke asli UP Board papers ko analyse karke bana, har board exam ke baad update. Beginner ho ya topper, sabke liye.

📊 Based on 7 years (2019–2026) of UP Board papers, current syllabus: 38 sets readवर्तमान सिलेबस के 7 वर्षों (2019–2026) के यूपी बोर्ड पेपरों पर आधारित: 38 सेट पढ़े गएCurrent syllabus ke 7 saal (2019–2026) ke UP Board papers par based: 38 sets padhe (2019, 2020, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026)

🔥 Most asked in this chapterइस अध्याय में सबसे ज़्यादा पूछे गएIs chapter mein sabse zyada aaye

Ranked by how many years each topic came in the paper. Tap a topic to jump to its notes.हर टॉपिक कितने वर्ष पेपर में आया, उसी क्रम में। टॉपिक पर टैप करें, नोट्स पर पहुँचें।Har topic kitne saal paper mein aaya, usi order mein. Topic par tap kijiye, notes par pahunchiye.

1Maxima–minima word problems (8 marks)उच्चिष्ठ–निम्निष्ठ शाब्दिक प्रश्न (8 अंक)Maxima–minima word problems (8 marks)🔥 Asked in 7 of 7 years🔥 7 में से 7 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 7/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came every yearहर वर्ष आयाHar saal aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 2, 5, 8अंक: 2, 5, 8Marks: 2, 5, 8
2Tangents and normals🔥 Asked in 6 of 7 years🔥 7 में से 6 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 6/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 1, 2, 4, 5अंक: 1, 2, 4, 5Marks: 1, 2, 4, 5
3Rate of change of quantitiesराशियों के परिवर्तन की दरQuantities ke change ki rate🔥 Asked in 6 of 7 years🔥 7 में से 6 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 6/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 1, 2, 5, 8अंक: 1, 2, 5, 8Marks: 1, 2, 5, 84Increasing and decreasing functions (intervals)वर्धमान तथा ह्रासमान फलन (अंतराल)Increasing aur decreasing functions (intervals)🔥 Asked in 5 of 7 years🔥 7 में से 5 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 5/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 1, 2, 5, 8अंक: 1, 2, 5, 8Marks: 1, 2, 5, 85Local maxima and minima (first/second derivative test)स्थानीय उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ (प्रथम/द्वितीय अवकलज परीक्षण)Local maxima aur minima (first/second derivative test)Asked in 2 of 7 years7 में से 2 वर्ष पूछा गयाAaya hai 2/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 4, 5अंक: 4, 5Marks: 4, 5
6Approximations using differentialsAsked in 1 of 7 years7 में से 1 वर्ष पूछा गयाAaya hai 1/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 1, 5अंक: 1, 5Marks: 1, 5
Show all 7 topicsसभी 7 टॉपिक देखेंSaare 7 topics dekhiye
7Absolute maximum and minimum on a closed intervalसंवृत अंतराल पर निरपेक्ष उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठClosed interval par absolute maximum aur minimumAsked in 1 of 7 years7 में से 1 वर्ष पूछा गयाAaya hai 1/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
Marks: 5अंक: 5Marks: 5
🟢 PASSपासPASS

Haven't studied anything? Read just this much and you will pass.कुछ नहीं पढ़ा? बस इतना पढ़ लीजिए, पास हो जाएँगे।Kuch nahi padha? Bas itna padh lijiye, pass ho jayenge.

👉 Read this firstसबसे पहले यह पढ़ेंSabse pehle yeh padhiye

Start with the 8-mark maxima–minima word problem: it comes almost every year (cylinder or cone inscribed in a sphere/cone, box from a sheet). The method is always the same 5 steps: variables, one-variable formula, dV/dx = 0, second derivative sign, answer. Then learn increasing/decreasing intervals (factor f′(x), mark the sign on a number line) and rate of change (chain rule with dV/dt = (dV/dr)(dr/dt)).8 अंक के उच्चिष्ठ–निम्निष्ठ शाब्दिक प्रश्न से शुरू कीजिए: यह लगभग हर वर्ष आता है (गोले/शंकु के अंतर्गत बेलन या शंकु, चादर से बना डिब्बा)। विधि सदैव वही 5 चरण: चर, एक-चर सूत्र, dV/dx = 0, द्वितीय अवकलज का चिह्न, उत्तर। फिर वर्धमान/ह्रासमान अंतराल (f′(x) के गुणनखंड, संख्या रेखा पर चिह्न) तथा परिवर्तन की दर (dV/dt = (dV/dr)(dr/dt)) सीखिए।8 marks ke maxima–minima word problem se shuru kijiye: yeh lagbhag har saal aata hai (sphere/cone ke andar cylinder ya cone, sheet se bana box). Method hamesha wahi 5 steps: variables, ek-variable formula, dV/dx = 0, second derivative ka sign, answer. Phir increasing/decreasing intervals (f′(x) ke factors, number line par sign) aur rate of change (dV/dt = (dV/dr)(dr/dt)) seekhiye.

🏅 Pass-guarantee minimumपास होने के लिए न्यूनतमPass hone ke liye minimum

  • Learn the 5-step method for maxima–minima and do 4 problems: open box, cylinder in a sphere, cone in a sphere, cylinder in a cone.
  • Learn the increasing/decreasing method: factor f′(x), number line, signs. Do 3 polynomial and 1 trigonometric example.
  • Learn dV/dt = (dV/dr)(dr/dt) and the formulas of circle, sphere, cube, cone; do the cube and balloon examples.
  • Learn the second derivative test: f″ < 0 max, f″ > 0 min.
  • उच्चिष्ठ–निम्निष्ठ की 5-चरण विधि सीखिए और 4 प्रश्न हल कीजिए: खुला डिब्बा, गोले में बेलन, गोले में शंकु, शंकु में बेलन।
  • वर्धमान/ह्रासमान विधि सीखिए: f′(x) के गुणनखंड, संख्या रेखा, चिह्न। 3 बहुपद तथा 1 त्रिकोणमितीय उदाहरण कीजिए।
  • dV/dt = (dV/dr)(dr/dt) तथा वृत्त, गोला, घन, शंकु के सूत्र सीखिए; घन तथा गुब्बारे वाले उदाहरण कीजिए।
  • द्वितीय अवकलज परीक्षण सीखिए: f″ < 0 उच्चिष्ठ, f″ > 0 निम्निष्ठ।
  • Maxima–minima ka 5-step method seekhiye aur 4 sawaal kijiye: open box, sphere mein cylinder, sphere mein cone, cone mein cylinder.
  • Increasing/decreasing method seekhiye: f′(x) ke factors, number line, signs. 3 polynomial aur 1 trigonometric example kijiye.
  • dV/dt = (dV/dr)(dr/dt) aur circle, sphere, cube, cone ke formulas seekhiye; cube aur balloon wale examples kijiye.
  • Second derivative test seekhiye: f″ < 0 max, f″ > 0 min.

🎯 1-mark facts that keep comingबार-बार आने वाले 1 अंक के तथ्यBaar baar aane wale 1 mark facts

  • f′(x) > 0 ⇒ increasing; f′(x) < 0 ⇒ decreasing.
  • eˣ is increasing on R; log x is increasing on (0, ∞).
  • Radius of a bubble increasing at 1/2 cm/s: dV/dt at r = 1 cm is 2π cm³/s.
  • dA/dt of a circle = 2πr dr/dt.
  • f″(c) < 0 at a critical point ⇒ local maximum.
  • Max volume cylinder in a sphere of radius R: height 2R/√3.
  • Largest cone in a sphere has volume 8/27 of the sphere.
  • f′(x) > 0 ⇒ वर्धमान; f′(x) < 0 ⇒ ह्रासमान।
  • eˣ, R पर वर्धमान; log x, (0, ∞) पर वर्धमान।
  • बुलबुले की त्रिज्या 1/2 cm/s से बढ़े: r = 1 cm पर dV/dt = 2π cm³/s।
  • वृत्त का dA/dt = 2πr dr/dt।
  • क्रांतिक बिंदु पर f″(c) < 0 ⇒ स्थानीय उच्चिष्ठ।
  • R त्रिज्या के गोले में अधिकतम आयतन बेलन: ऊँचाई 2R/√3।
  • गोले में सबसे बड़े शंकु का आयतन गोले का 8/27।
  • f′(x) > 0 ⇒ increasing; f′(x) < 0 ⇒ decreasing.
  • eˣ, R par increasing; log x, (0, ∞) par increasing.
  • Bubble ka radius 1/2 cm/s se badhe: r = 1 cm par dV/dt = 2π cm³/s.
  • Circle ka dA/dt = 2πr dr/dt.
  • Critical point par f″(c) < 0 ⇒ local maximum.
  • R radius ke sphere mein max volume cylinder: height 2R/√3.
  • Sphere mein sabse bade cone ka volume sphere ka 8/27.
🟡 SCOREस्कोरSCORE

The questions that come every year, with model answers. Most asked first.हर साल आने वाले प्रश्न, आदर्श उत्तरों के साथ। सबसे ज़्यादा पूछे गए पहले।Har saal aane wale sawaal, model answers ke saath. Sabse zyada aaye pehle.

Maxima–minima word problems (8 marks)उच्चिष्ठ–निम्निष्ठ शाब्दिक प्रश्न (8 अंक)Maxima–minima word problems (8 marks)

🔥 Asked in 7 of 7 years🔥 7 में से 7 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 7/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came every yearहर वर्ष आयाHar saal aaya: 2019202020222023202420252026
  • Step 1: draw a figure and name the variables (radius r, height h, etc.).
  • Step 2: write the quantity to be maximised/minimised (volume, area) in terms of ONE variable, using the given condition (e.g. r² + (h/2)² = R² for a cylinder in a sphere).
  • Step 3: differentiate and put dV/dx = 0; solve for x.
  • Step 4: second derivative test: d²V/dx² < 0 ⇒ maximum; > 0 ⇒ minimum.
  • Step 5: find the required value and write the answer in the words of the question.
  • Tip: when V has a square root, maximise V² instead (same point).
  • Standard results: cylinder of max volume in a sphere of radius R has height 2R/√3; cone of max volume in a sphere has height 4R/3 and volume 8/27 of the sphere; cylinder of max volume in a cone of height h has height h/3; cone with given slant height has max volume when the semi-vertical angle is tan⁻¹√2.
  • Open box from a square sheet of side a: cut squares of side a/6 from the corners for maximum volume.
  • चरण 1: चित्र बनाइए और चर नामित कीजिए (त्रिज्या r, ऊँचाई h आदि)।
  • चरण 2: अधिकतम/न्यूनतम की जाने वाली राशि (आयतन, क्षेत्रफल) को दी गई शर्त से एक ही चर में लिखिए (जैसे गोले के अंतर्गत बेलन के लिए r² + (h/2)² = R²)।
  • चरण 3: अवकलन करके dV/dx = 0 रखिए; x हल कीजिए।
  • चरण 4: द्वितीय अवकलज परीक्षण: d²V/dx² < 0 ⇒ उच्चिष्ठ; > 0 ⇒ निम्निष्ठ।
  • चरण 5: अभीष्ट मान निकालकर प्रश्न के शब्दों में उत्तर लिखिए।
  • युक्ति: V में वर्गमूल हो तो V² को अधिकतम कीजिए (वही बिंदु)।
  • मानक परिणाम: R त्रिज्या के गोले में अधिकतम आयतन वाले बेलन की ऊँचाई 2R/√3; गोले में अधिकतम आयतन वाले शंकु की ऊँचाई 4R/3 तथा आयतन गोले का 8/27; h ऊँचाई के शंकु में अधिकतम आयतन वाले बेलन की ऊँचाई h/3; दी गई तिर्यक ऊँचाई वाले शंकु का आयतन अधिकतम जब अर्धशीर्ष कोण tan⁻¹√2।
  • a भुजा की वर्गाकार चादर से खुला डिब्बा: अधिकतम आयतन के लिए कोनों से a/6 भुजा के वर्ग काटिए।
  • Step 1: figure banaiye aur variables naam dijiye (radius r, height h aadi).
  • Step 2: maximise/minimise hone wali quantity (volume, area) ko di gayi condition se EK variable mein likhiye (jaise sphere ke andar cylinder ke liye r² + (h/2)² = R²).
  • Step 3: differentiate karke dV/dx = 0 rakhiye; x solve kijiye.
  • Step 4: second derivative test: d²V/dx² < 0 ⇒ maximum; > 0 ⇒ minimum.
  • Step 5: required value nikaal kar sawaal ke shabdon mein answer likhiye.
  • Tip: V mein square root ho to V² ko maximise kijiye (wahi point).
  • Standard results: R radius ke sphere mein max volume wale cylinder ki height 2R/√3; sphere mein max volume wale cone ki height 4R/3 aur volume sphere ka 8/27; h height ke cone mein max volume wale cylinder ki height h/3; diye slant height wale cone ka volume max jab semi-vertical angle tan⁻¹√2.
  • a side ki square sheet se open box: max volume ke liye corners se a/6 side ke squares kaatiye.
✏️ Formulas to rememberयाद रखने वाले सूत्रYaad rakhne wale formulas
Cylinder: V = πr²h, CSA = 2πrh
Cone: V = (1/3)πr²h, l² = r² + h²
Sphere: V = (4/3)πR³
Max: f′(c) = 0 and f″(c) < 0; Min: f′(c) = 0 and f″(c) > 0
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 8 marks8 अंक8 marks

Worked example: Equal squares are cut from the corners of a square tin sheet of side 24 cm and the sides are folded up to make an open box. Find the side of the square cut off so that the volume is maximum, and the maximum volume.हल किया उदाहरण: 24 cm भुजा की वर्गाकार टिन की चादर के कोनों से बराबर वर्ग काटकर किनारे मोड़कर खुला डिब्बा बनाया जाता है। काटे गए वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए जिससे आयतन अधिकतम हो, तथा अधिकतम आयतन।Solved example: 24 cm side ki square tin sheet ke corners se barabar squares kaat kar sides mod kar open box banaya jaata hai. Kaate gaye square ki side nikaliye jisse volume maximum ho, aur maximum volume.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • Let the side of each square cut be x cm. Box: base (24 − 2x) × (24 − 2x), height x, with 0 < x < 12.
  • V = x(24 − 2x)².
  • dV/dx = (24 − 2x)² − 4x(24 − 2x) = (24 − 2x)(24 − 6x).
  • dV/dx = 0 ⇒ x = 12 (rejected: no box) or x = 4.
  • d²V/dx² = 24x − 192 (from V = 4x³ − 96x² + 576x); at x = 4 it is 96 − 192 = −96 < 0 ⇒ maximum.
  • V(max) = 4 × (24 − 8)² = 4 × 256 = 1024 cm³.
  • Answer: cut squares of side 4 cm; maximum volume 1024 cm³.
  • माना काटे गए प्रत्येक वर्ग की भुजा x cm। डिब्बा: आधार (24 − 2x) × (24 − 2x), ऊँचाई x, 0 < x < 12।
  • V = x(24 − 2x)²।
  • dV/dx = (24 − 2x)² − 4x(24 − 2x) = (24 − 2x)(24 − 6x)।
  • dV/dx = 0 ⇒ x = 12 (अस्वीकार्य: डिब्बा नहीं बनेगा) या x = 4।
  • d²V/dx² = 24x − 192 (V = 4x³ − 96x² + 576x से); x = 4 पर 96 − 192 = −96 < 0 ⇒ उच्चिष्ठ।
  • V(अधिकतम) = 4 × (24 − 8)² = 4 × 256 = 1024 cm³।
  • उत्तर: 4 cm भुजा के वर्ग काटिए; अधिकतम आयतन 1024 cm³।
  • Maana har kaate gaye square ki side x cm. Box: base (24 − 2x) × (24 − 2x), height x, 0 < x < 12.
  • V = x(24 − 2x)².
  • dV/dx = (24 − 2x)² − 4x(24 − 2x) = (24 − 2x)(24 − 6x).
  • dV/dx = 0 ⇒ x = 12 (reject: box nahi banega) ya x = 4.
  • d²V/dx² = 24x − 192 (V = 4x³ − 96x² + 576x se); x = 4 par 96 − 192 = −96 < 0 ⇒ maximum.
  • V(max) = 4 × (24 − 8)² = 4 × 256 = 1024 cm³.
  • Answer: 4 cm side ke squares kaatiye; maximum volume 1024 cm³.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 8 marks8 अंक8 marks

Prove that the height of the cylinder of maximum volume that can be inscribed in a sphere of radius R is 2R/√3. Also find the maximum volume.सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन वाले बेलन की ऊँचाई 2R/√3 है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।Prove kijiye ki R radius ke sphere ke andar maximum volume wale cylinder ki height 2R/√3 hai. Maximum volume bhi nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • Let the cylinder have radius r and height h. From the right triangle (centre, rim): r² + (h/2)² = R² ⇒ r² = R² − h²/4.
  • V = πr²h = π(R² − h²/4)h = π(R²h − h³/4).
  • dV/dh = π(R² − 3h²/4) = 0 ⇒ h² = 4R²/3 ⇒ h = 2R/√3.
  • d²V/dh² = π(−3h/2) < 0 ⇒ maximum.
  • r² = R² − R²/3 = 2R²/3.
  • V(max) = π(2R²/3)(2R/√3) = 4πR³/(3√3) cubic units.
  • माना बेलन की त्रिज्या r तथा ऊँचाई h। समकोण त्रिभुज (केंद्र, किनारा) से: r² + (h/2)² = R² ⇒ r² = R² − h²/4।
  • V = πr²h = π(R² − h²/4)h = π(R²h − h³/4)।
  • dV/dh = π(R² − 3h²/4) = 0 ⇒ h² = 4R²/3 ⇒ h = 2R/√3।
  • d²V/dh² = π(−3h/2) < 0 ⇒ उच्चिष्ठ।
  • r² = R² − R²/3 = 2R²/3।
  • V(अधिकतम) = π(2R²/3)(2R/√3) = 4πR³/(3√3) घन इकाई।
  • Maana cylinder ka radius r aur height h. Right triangle (centre, rim) se: r² + (h/2)² = R² ⇒ r² = R² − h²/4.
  • V = πr²h = π(R² − h²/4)h = π(R²h − h³/4).
  • dV/dh = π(R² − 3h²/4) = 0 ⇒ h² = 4R²/3 ⇒ h = 2R/√3.
  • d²V/dh² = π(−3h/2) < 0 ⇒ maximum.
  • r² = R² − R²/3 = 2R²/3.
  • V(max) = π(2R²/3)(2R/√3) = 4πR³/(3√3) cubic units.

💡 Always state the domain of the variable (like 0 < x < 12) and reject the impossible root in words; it is a step mark.चर का प्रांत (जैसे 0 < x < 12) अवश्य लिखिए और असंभव मूल को शब्दों में अस्वीकार कीजिए; इसके अंक हैं।Variable ka domain (jaise 0 < x < 12) zaroor likhiye aur impossible root ko shabdon mein reject kijiye; iske marks hain.

Rate of change of quantitiesराशियों के परिवर्तन की दरQuantities ke change ki rate

🔥 Asked in 6 of 7 years🔥 7 में से 6 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 6/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • dy/dx is the rate of change of y with respect to x; with time, dV/dt = (dV/dr)·(dr/dt).
  • Write the formula (area, volume), differentiate with respect to t, put the given values only AFTER differentiating.
  • Circle: A = πr² ⇒ dA/dt = 2πr dr/dt. Sphere: V = (4/3)πr³ ⇒ dV/dt = 4πr² dr/dt; S = 4πr² ⇒ dS/dt = 8πr dr/dt.
  • Cube: V = x³ ⇒ dV/dt = 3x² dx/dt; S = 6x² ⇒ dS/dt = 12x dx/dt.
  • Cone with a fixed ratio (e.g. h = r/6): replace r by 6h first, then differentiate.
  • Units: rate of area in cm²/s, of volume in cm³/s.
  • Motion: velocity v = dx/dt; the body stops when v = 0.
  • dy/dx, x के सापेक्ष y के परिवर्तन की दर है; समय के साथ dV/dt = (dV/dr)·(dr/dt)।
  • सूत्र (क्षेत्रफल, आयतन) लिखिए, t के सापेक्ष अवकलन कीजिए, दिए गए मान अवकलन के बाद ही रखिए।
  • वृत्त: A = πr² ⇒ dA/dt = 2πr dr/dt। गोला: V = (4/3)πr³ ⇒ dV/dt = 4πr² dr/dt; S = 4πr² ⇒ dS/dt = 8πr dr/dt।
  • घन: V = x³ ⇒ dV/dt = 3x² dx/dt; S = 6x² ⇒ dS/dt = 12x dx/dt।
  • निश्चित अनुपात वाला शंकु (जैसे h = r/6): पहले r के स्थान पर 6h रखिए, फिर अवकलन।
  • मात्रक: क्षेत्रफल की दर cm²/s, आयतन की cm³/s।
  • गति: वेग v = dx/dt; v = 0 पर पिंड रुकता है।
  • dy/dx, x ke saapeksh y ke change ki rate hai; time ke saath dV/dt = (dV/dr)·(dr/dt).
  • Formula (area, volume) likhiye, t ke saapeksh differentiate kijiye, di gayi values differentiate karne ke BAAD hi rakhiye.
  • Circle: A = πr² ⇒ dA/dt = 2πr dr/dt. Sphere: V = (4/3)πr³ ⇒ dV/dt = 4πr² dr/dt; S = 4πr² ⇒ dS/dt = 8πr dr/dt.
  • Cube: V = x³ ⇒ dV/dt = 3x² dx/dt; S = 6x² ⇒ dS/dt = 12x dx/dt.
  • Fixed ratio wala cone (jaise h = r/6): pehle r ki jagah 6h rakhiye, phir differentiate.
  • Units: area ki rate cm²/s, volume ki cm³/s.
  • Motion: velocity v = dx/dt; v = 0 par body rukti hai.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 5 marks5 अंक5 marks

The volume of a cube is increasing at 9 cm³/s. How fast is its surface area increasing when the edge is 10 cm?एक घन का आयतन 9 cm³/s की दर से बढ़ रहा है। जब किनारा 10 cm है, तब पृष्ठीय क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?Ek cube ka volume 9 cm³/s ki rate se badh raha hai. Jab edge 10 cm hai, tab surface area kis rate se badh raha hai?

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • V = x³ ⇒ dV/dt = 3x² dx/dt ⇒ 9 = 3x² dx/dt ⇒ dx/dt = 3/x².
  • S = 6x² ⇒ dS/dt = 12x dx/dt = 12x · 3/x² = 36/x.
  • At x = 10: dS/dt = 36/10 = 3.6 cm²/s.
  • V = x³ ⇒ dV/dt = 3x² dx/dt ⇒ 9 = 3x² dx/dt ⇒ dx/dt = 3/x²।
  • S = 6x² ⇒ dS/dt = 12x dx/dt = 12x · 3/x² = 36/x।
  • x = 10 पर: dS/dt = 36/10 = 3.6 cm²/s।
  • V = x³ ⇒ dV/dt = 3x² dx/dt ⇒ 9 = 3x² dx/dt ⇒ dx/dt = 3/x².
  • S = 6x² ⇒ dS/dt = 12x dx/dt = 12x · 3/x² = 36/x.
  • x = 10 par: dS/dt = 36/10 = 3.6 cm²/s.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 2 marks2 अंक2 marks

Worked example: The radius of a spherical balloon increases at 0.2 cm/s. Find the rate of increase of its surface area when the radius is 5 cm.हल किया उदाहरण: एक गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या 0.2 cm/s की दर से बढ़ती है। जब त्रिज्या 5 cm है तब पृष्ठीय क्षेत्रफल के बढ़ने की दर ज्ञात कीजिए।Solved example: ek spherical balloon ka radius 0.2 cm/s ki rate se badhta hai. Jab radius 5 cm hai tab surface area ke badhne ki rate nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • S = 4πr² ⇒ dS/dt = 8πr · dr/dt.
  • Given dr/dt = 0.2 cm/s, r = 5 cm.
  • dS/dt = 8π × 5 × 0.2 = 8π cm²/s.
  • S = 4πr² ⇒ dS/dt = 8πr · dr/dt।
  • दिया है dr/dt = 0.2 cm/s, r = 5 cm।
  • dS/dt = 8π × 5 × 0.2 = 8π cm²/s।
  • S = 4πr² ⇒ dS/dt = 8πr · dr/dt.
  • Diya hai dr/dt = 0.2 cm/s, r = 5 cm.
  • dS/dt = 8π × 5 × 0.2 = 8π cm²/s.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 5 marks5 अंक5 marks

Sand pours at 12 cm³/s and forms a cone whose height is always one-sixth of its base radius. How fast is the height increasing when it is 4 cm?रेत 12 cm³/s की दर से गिरकर शंकु बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधार त्रिज्या का छठा भाग है। जब ऊँचाई 4 cm है तब वह किस दर से बढ़ रही है?Sand 12 cm³/s ki rate se gir kar cone banati hai jiski height hamesha base radius ka chhatha hissa hai. Jab height 4 cm hai tab woh kis rate se badh rahi hai?

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • h = r/6 ⇒ r = 6h.
  • V = (1/3)πr²h = (1/3)π(36h²)h = 12πh³.
  • dV/dt = 36πh² dh/dt ⇒ 12 = 36π(16) dh/dt.
  • dh/dt = 12/(576π) = 1/(48π) cm/s.
  • h = r/6 ⇒ r = 6h।
  • V = (1/3)πr²h = (1/3)π(36h²)h = 12πh³।
  • dV/dt = 36πh² dh/dt ⇒ 12 = 36π(16) dh/dt।
  • dh/dt = 12/(576π) = 1/(48π) cm/s।
  • h = r/6 ⇒ r = 6h.
  • V = (1/3)πr²h = (1/3)π(36h²)h = 12πh³.
  • dV/dt = 36πh² dh/dt ⇒ 12 = 36π(16) dh/dt.
  • dh/dt = 12/(576π) = 1/(48π) cm/s.

Increasing and decreasing functions (intervals)वर्धमान तथा ह्रासमान फलन (अंतराल)Increasing aur decreasing functions (intervals)

🔥 Asked in 5 of 7 years🔥 7 में से 5 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 5/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • f′(x) > 0 on an interval ⇒ f is strictly increasing there; f′(x) < 0 ⇒ strictly decreasing; f′(x) = 0 throughout ⇒ constant.
  • Method: (1) find f′(x) and factorise; (2) critical points: f′(x) = 0; (3) mark them on a number line; (4) test the sign of f′ in each part; (5) write the intervals.
  • For trigonometric f on [0, 2π], the critical points come from equations like tan x = 1 or cos x = 0.
  • To prove 'always increasing' on an interval, show f′(x) > 0 for every x in it.
  • MCQ: f(x) = 3x + 17 is increasing on R (f′ = 3 > 0); eˣ and log x (x > 0) are increasing.
  • किसी अंतराल में f′(x) > 0 ⇒ f वहाँ निरंतर वर्धमान; f′(x) < 0 ⇒ निरंतर ह्रासमान; पूरे अंतराल में f′(x) = 0 ⇒ अचर।
  • विधि: (1) f′(x) निकालकर गुणनखंड कीजिए; (2) क्रांतिक बिंदु: f′(x) = 0; (3) इन्हें संख्या रेखा पर अंकित कीजिए; (4) प्रत्येक भाग में f′ का चिह्न जाँचिए; (5) अंतराल लिखिए।
  • [0, 2π] पर त्रिकोणमितीय f के लिए क्रांतिक बिंदु tan x = 1 या cos x = 0 जैसे समीकरणों से आते हैं।
  • किसी अंतराल में 'सदैव वर्धमान' सिद्ध करने के लिए उस अंतराल के हर x पर f′(x) > 0 दिखाइए।
  • MCQ: f(x) = 3x + 17, R पर वर्धमान है (f′ = 3 > 0); eˣ तथा log x (x > 0) वर्धमान हैं।
  • Kisi interval mein f′(x) > 0 ⇒ f wahan strictly increasing; f′(x) < 0 ⇒ strictly decreasing; poore interval mein f′(x) = 0 ⇒ constant.
  • Method: (1) f′(x) nikaal kar factorise kijiye; (2) critical points: f′(x) = 0; (3) inhe number line par mark kijiye; (4) har hisse mein f′ ka sign check kijiye; (5) intervals likhiye.
  • [0, 2π] par trigonometric f ke liye critical points tan x = 1 ya cos x = 0 jaisi equations se aate hain.
  • Kisi interval mein 'hamesha increasing' prove karne ke liye us interval ke har x par f′(x) > 0 dikhaiye.
  • MCQ: f(x) = 3x + 17, R par increasing hai (f′ = 3 > 0); eˣ aur log x (x > 0) increasing hain.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 5 marks5 अंक5 marks

Worked example: Find the intervals in which f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + 15 is increasing or decreasing.हल किया उदाहरण: वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + 15 वर्धमान या ह्रासमान है।Solved example: woh intervals nikaliye jinmein f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + 15 increasing ya decreasing hai.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • f′(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x² − 3x + 2) = 6(x − 1)(x − 2).
  • f′(x) = 0 ⇒ x = 1, 2. These split R into (−∞, 1), (1, 2), (2, ∞).
  • In (−∞, 1): e.g. x = 0, f′ = 12 > 0 ⇒ increasing.
  • In (1, 2): e.g. x = 1.5, f′ = 6(0.5)(−0.5) < 0 ⇒ decreasing.
  • In (2, ∞): e.g. x = 3, f′ = 12 > 0 ⇒ increasing.
  • Answer: increasing on (−∞, 1) ∪ (2, ∞); decreasing on (1, 2).
  • f′(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x² − 3x + 2) = 6(x − 1)(x − 2)।
  • f′(x) = 0 ⇒ x = 1, 2। ये R को (−∞, 1), (1, 2), (2, ∞) में बाँटते हैं।
  • (−∞, 1) में: जैसे x = 0, f′ = 12 > 0 ⇒ वर्धमान।
  • (1, 2) में: जैसे x = 1.5, f′ = 6(0.5)(−0.5) < 0 ⇒ ह्रासमान।
  • (2, ∞) में: जैसे x = 3, f′ = 12 > 0 ⇒ वर्धमान।
  • उत्तर: (−∞, 1) ∪ (2, ∞) में वर्धमान; (1, 2) में ह्रासमान।
  • f′(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x² − 3x + 2) = 6(x − 1)(x − 2).
  • f′(x) = 0 ⇒ x = 1, 2. Ye R ko (−∞, 1), (1, 2), (2, ∞) mein baant te hain.
  • (−∞, 1) mein: jaise x = 0, f′ = 12 > 0 ⇒ increasing.
  • (1, 2) mein: jaise x = 1.5, f′ = 6(0.5)(−0.5) < 0 ⇒ decreasing.
  • (2, ∞) mein: jaise x = 3, f′ = 12 > 0 ⇒ increasing.
  • Answer: (−∞, 1) ∪ (2, ∞) mein increasing; (1, 2) mein decreasing.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 5 marks5 अंक5 marks

Find the intervals in which f(x) = sin x + cos x, 0 ≤ x ≤ 2π, is increasing or decreasing.वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = sin x + cos x, 0 ≤ x ≤ 2π वर्धमान या ह्रासमान है।Woh intervals nikaliye jinmein f(x) = sin x + cos x, 0 ≤ x ≤ 2π increasing ya decreasing hai.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • f′(x) = cos x − sin x.
  • f′(x) = 0 ⇒ tan x = 1 ⇒ x = π/4, 5π/4.
  • In [0, π/4): cos x > sin x ⇒ f′ > 0, increasing.
  • In (π/4, 5π/4): f′ < 0 (e.g. x = π/2: 0 − 1 = −1), decreasing.
  • In (5π/4, 2π]: f′ > 0 (e.g. x = 3π/2: 0 + 1 = 1), increasing.
  • Answer: increasing on [0, π/4) ∪ (5π/4, 2π]; decreasing on (π/4, 5π/4).
  • f′(x) = cos x − sin x।
  • f′(x) = 0 ⇒ tan x = 1 ⇒ x = π/4, 5π/4।
  • [0, π/4) में: cos x > sin x ⇒ f′ > 0, वर्धमान।
  • (π/4, 5π/4) में: f′ < 0 (जैसे x = π/2: 0 − 1 = −1), ह्रासमान।
  • (5π/4, 2π] में: f′ > 0 (जैसे x = 3π/2: 0 + 1 = 1), वर्धमान।
  • उत्तर: [0, π/4) ∪ (5π/4, 2π] में वर्धमान; (π/4, 5π/4) में ह्रासमान।
  • f′(x) = cos x − sin x.
  • f′(x) = 0 ⇒ tan x = 1 ⇒ x = π/4, 5π/4.
  • [0, π/4) mein: cos x > sin x ⇒ f′ > 0, increasing.
  • (π/4, 5π/4) mein: f′ < 0 (jaise x = π/2: 0 − 1 = −1), decreasing.
  • (5π/4, 2π] mein: f′ > 0 (jaise x = 3π/2: 0 + 1 = 1), increasing.
  • Answer: [0, π/4) ∪ (5π/4, 2π] mein increasing; (π/4, 5π/4) mein decreasing.

Local maxima and minima (first/second derivative test)स्थानीय उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ (प्रथम/द्वितीय अवकलज परीक्षण)Local maxima aur minima (first/second derivative test)

Asked in 2 of 7 years7 में से 2 वर्ष पूछा गयाAaya hai 2/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • Critical points: f′(c) = 0 (or f′ does not exist).
  • First derivative test: f′ changes + to − at c ⇒ local maximum; − to + ⇒ local minimum; no change ⇒ point of inflection.
  • Second derivative test: f′(c) = 0 and f″(c) < 0 ⇒ local max; f″(c) > 0 ⇒ local min; f″(c) = 0 ⇒ test fails, use the first derivative test.
  • f(x) = 3x⁴ + 4x³ − 12x² + 12: f′ = 12x(x + 2)(x − 1); local max 12 at x = 0, local min −20 at x = −2 and 7 at x = 1.
  • x^x has its minimum at x = 1/e; minimum value (1/e)^(1/e).
  • क्रांतिक बिंदु: f′(c) = 0 (या f′ विद्यमान न हो)।
  • प्रथम अवकलज परीक्षण: c पर f′ का चिह्न + से − ⇒ स्थानीय उच्चिष्ठ; − से + ⇒ स्थानीय निम्निष्ठ; चिह्न न बदले ⇒ नति परिवर्तन बिंदु।
  • द्वितीय अवकलज परीक्षण: f′(c) = 0 तथा f″(c) < 0 ⇒ स्थानीय उच्चिष्ठ; f″(c) > 0 ⇒ स्थानीय निम्निष्ठ; f″(c) = 0 ⇒ परीक्षण विफल, प्रथम अवकलज परीक्षण लगाइए।
  • f(x) = 3x⁴ + 4x³ − 12x² + 12: f′ = 12x(x + 2)(x − 1); x = 0 पर स्थानीय उच्चिष्ठ 12, x = −2 पर स्थानीय निम्निष्ठ −20 तथा x = 1 पर 7।
  • x^x का निम्निष्ठ x = 1/e पर; निम्निष्ठ मान (1/e)^(1/e)।
  • Critical points: f′(c) = 0 (ya f′ exist na kare).
  • First derivative test: c par f′ ka sign + se − ⇒ local maximum; − se + ⇒ local minimum; sign na badle ⇒ point of inflection.
  • Second derivative test: f′(c) = 0 aur f″(c) < 0 ⇒ local max; f″(c) > 0 ⇒ local min; f″(c) = 0 ⇒ test fail, first derivative test lagaiye.
  • f(x) = 3x⁴ + 4x³ − 12x² + 12: f′ = 12x(x + 2)(x − 1); x = 0 par local max 12, x = −2 par local min −20 aur x = 1 par 7.
  • x^x ka minimum x = 1/e par; minimum value (1/e)^(1/e).
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 5 marks5 अंक5 marks

Find the local maximum and minimum values of f(x) = 3x⁴ + 4x³ − 12x² + 12.f(x) = 3x⁴ + 4x³ − 12x² + 12 के स्थानीय उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिए।f(x) = 3x⁴ + 4x³ − 12x² + 12 ki local maximum aur minimum values nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • f′(x) = 12x³ + 12x² − 24x = 12x(x² + x − 2) = 12x(x + 2)(x − 1).
  • Critical points: x = 0, −2, 1.
  • f″(x) = 36x² + 24x − 24.
  • x = 0: f″ = −24 < 0 ⇒ local max, f(0) = 12.
  • x = −2: f″ = 144 − 48 − 24 = 72 > 0 ⇒ local min, f(−2) = 48 − 32 − 48 + 12 = −20.
  • x = 1: f″ = 36 > 0 ⇒ local min, f(1) = 3 + 4 − 12 + 12 = 7.
  • f′(x) = 12x³ + 12x² − 24x = 12x(x² + x − 2) = 12x(x + 2)(x − 1)।
  • क्रांतिक बिंदु: x = 0, −2, 1।
  • f″(x) = 36x² + 24x − 24।
  • x = 0: f″ = −24 < 0 ⇒ स्थानीय उच्चिष्ठ, f(0) = 12।
  • x = −2: f″ = 144 − 48 − 24 = 72 > 0 ⇒ स्थानीय निम्निष्ठ, f(−2) = 48 − 32 − 48 + 12 = −20।
  • x = 1: f″ = 36 > 0 ⇒ स्थानीय निम्निष्ठ, f(1) = 3 + 4 − 12 + 12 = 7।
  • f′(x) = 12x³ + 12x² − 24x = 12x(x² + x − 2) = 12x(x + 2)(x − 1).
  • Critical points: x = 0, −2, 1.
  • f″(x) = 36x² + 24x − 24.
  • x = 0: f″ = −24 < 0 ⇒ local max, f(0) = 12.
  • x = −2: f″ = 144 − 48 − 24 = 72 > 0 ⇒ local min, f(−2) = 48 − 32 − 48 + 12 = −20.
  • x = 1: f″ = 36 > 0 ⇒ local min, f(1) = 3 + 4 − 12 + 12 = 7.

Absolute maximum and minimum on a closed intervalसंवृत अंतराल पर निरपेक्ष उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठClosed interval par absolute maximum aur minimum

Asked in 1 of 7 years7 में से 1 वर्ष पूछा गयाAaya hai 1/7 saal
Came / not askedआया / नहीं आयाAaya / nahi aaya: 2019202020222023202420252026
  • On [a, b]: find the critical points inside (f′ = 0), then compute f at those points AND at the end points a and b.
  • The largest value is the absolute maximum, the smallest is the absolute minimum. No second derivative test is needed.
  • f(x) = x + sin 2x on [0, 2π]: absolute max 2π at x = 2π, absolute min 0 at x = 0.
  • [a, b] पर: अंदर के क्रांतिक बिंदु (f′ = 0) निकालिए, फिर उन बिंदुओं पर तथा अंत्य बिंदुओं a और b पर f का मान निकालिए।
  • सबसे बड़ा मान निरपेक्ष उच्चिष्ठ, सबसे छोटा निरपेक्ष निम्निष्ठ। द्वितीय अवकलज परीक्षण की आवश्यकता नहीं।
  • [0, 2π] पर f(x) = x + sin 2x: x = 2π पर निरपेक्ष उच्चिष्ठ 2π, x = 0 पर निरपेक्ष निम्निष्ठ 0।
  • [a, b] par: andar ke critical points (f′ = 0) nikaliye, phir un points par AUR end points a aur b par f ki value nikaliye.
  • Sabse badi value absolute maximum, sabse chhoti absolute minimum. Second derivative test ki zaroorat nahi.
  • [0, 2π] par f(x) = x + sin 2x: x = 2π par absolute max 2π, x = 0 par absolute min 0.
Repeated questionबार-बार पूछा गया प्रश्नBaar baar aaya sawaal · 5 marks5 अंक5 marks

Worked example: Find the absolute maximum and minimum of f(x) = 2x³ − 15x² + 36x + 1 on [1, 5].हल किया उदाहरण: [1, 5] पर f(x) = 2x³ − 15x² + 36x + 1 का निरपेक्ष उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ ज्ञात कीजिए।Solved example: [1, 5] par f(x) = 2x³ − 15x² + 36x + 1 ka absolute maximum aur minimum nikaliye.

✅ Model answerआदर्श उत्तरModel answer
  • f′(x) = 6x² − 30x + 36 = 6(x − 2)(x − 3) ⇒ x = 2, 3 (both in [1, 5]).
  • f(1) = 2 − 15 + 36 + 1 = 24; f(2) = 16 − 60 + 72 + 1 = 29.
  • f(3) = 54 − 135 + 108 + 1 = 28; f(5) = 250 − 375 + 180 + 1 = 56.
  • Absolute maximum = 56 at x = 5; absolute minimum = 24 at x = 1.
  • f′(x) = 6x² − 30x + 36 = 6(x − 2)(x − 3) ⇒ x = 2, 3 (दोनों [1, 5] में)।
  • f(1) = 2 − 15 + 36 + 1 = 24; f(2) = 16 − 60 + 72 + 1 = 29।
  • f(3) = 54 − 135 + 108 + 1 = 28; f(5) = 250 − 375 + 180 + 1 = 56।
  • निरपेक्ष उच्चिष्ठ = 56, x = 5 पर; निरपेक्ष निम्निष्ठ = 24, x = 1 पर।
  • f′(x) = 6x² − 30x + 36 = 6(x − 2)(x − 3) ⇒ x = 2, 3 (dono [1, 5] mein).
  • f(1) = 2 − 15 + 36 + 1 = 24; f(2) = 16 − 60 + 72 + 1 = 29.
  • f(3) = 54 − 135 + 108 + 1 = 28; f(5) = 250 − 375 + 180 + 1 = 56.
  • Absolute maximum = 56, x = 5 par; absolute minimum = 24, x = 1 par.
🔴 TOPPERटॉपरTOPPER

Full derivations, tricky questions, common mistakes and quick revision.पूरी व्युत्पत्तियाँ, कठिन प्रश्न, आम गलतियाँ और त्वरित पुनरावृत्ति।Poori derivations, tricky sawaal, aam galtiyan aur quick revision.

📐 Largest cone inscribed in a sphere of radius R has volume 8/27 of the sphereR त्रिज्या के गोले के अंतर्गत सबसे बड़े शंकु का आयतन गोले का 8/27 हैR radius ke sphere ke andar sabse bade cone ka volume sphere ka 8/27 hai

  1. Let the cone have height h and base radius r, with its vertex on the sphere. The centre is at distance (h − R) from the base, so r² + (h − R)² = R² ⇒ r² = 2Rh − h².
  2. V = (1/3)πr²h = (π/3)(2Rh² − h³).
  3. dV/dh = (π/3)(4Rh − 3h²) = 0 ⇒ h = 4R/3 (h ≠ 0).
  4. d²V/dh² = (π/3)(4R − 6h) = (π/3)(4R − 8R) < 0 ⇒ maximum.
  5. r² = 2R(4R/3) − 16R²/9 = 8R²/9.
  6. V = (1/3)π(8R²/9)(4R/3) = 32πR³/81 = (8/27)·(4/3)πR³. Proved.
  1. माना शंकु की ऊँचाई h तथा आधार त्रिज्या r, शीर्ष गोले पर। केंद्र आधार से (h − R) दूरी पर है, अतः r² + (h − R)² = R² ⇒ r² = 2Rh − h²।
  2. V = (1/3)πr²h = (π/3)(2Rh² − h³)।
  3. dV/dh = (π/3)(4Rh − 3h²) = 0 ⇒ h = 4R/3 (h ≠ 0)।
  4. d²V/dh² = (π/3)(4R − 6h) = (π/3)(4R − 8R) < 0 ⇒ उच्चिष्ठ।
  5. r² = 2R(4R/3) − 16R²/9 = 8R²/9।
  6. V = (1/3)π(8R²/9)(4R/3) = 32πR³/81 = (8/27)·(4/3)πR³। इति सिद्धम्।
  1. Maana cone ki height h aur base radius r, vertex sphere par. Centre base se (h − R) doori par hai, isliye r² + (h − R)² = R² ⇒ r² = 2Rh − h².
  2. V = (1/3)πr²h = (π/3)(2Rh² − h³).
  3. dV/dh = (π/3)(4Rh − 3h²) = 0 ⇒ h = 4R/3 (h ≠ 0).
  4. d²V/dh² = (π/3)(4R − 6h) = (π/3)(4R − 8R) < 0 ⇒ maximum.
  5. r² = 2R(4R/3) − 16R²/9 = 8R²/9.
  6. V = (1/3)π(8R²/9)(4R/3) = 32πR³/81 = (8/27)·(4/3)πR³. Proved.

📐 Cone of given slant height l has maximum volume when the semi-vertical angle is tan⁻¹√2दी गई तिर्यक ऊँचाई l वाले शंकु का आयतन अधिकतम जब अर्धशीर्ष कोण tan⁻¹√2Diye slant height l wale cone ka volume maximum jab semi-vertical angle tan⁻¹√2

  1. Let the semi-vertical angle be θ: r = l sin θ, h = l cos θ.
  2. V = (1/3)πr²h = (1/3)πl³ sin²θ cos θ.
  3. dV/dθ = (1/3)πl³ (2 sin θ cos²θ − sin³θ) = (1/3)πl³ sin θ (2cos²θ − sin²θ).
  4. dV/dθ = 0 ⇒ tan²θ = 2 ⇒ tan θ = √2 (θ acute).
  5. For θ slightly less, dV/dθ > 0; slightly more, dV/dθ < 0 ⇒ maximum.
  6. So θ = tan⁻¹√2. Proved.
  1. माना अर्धशीर्ष कोण θ: r = l sin θ, h = l cos θ।
  2. V = (1/3)πr²h = (1/3)πl³ sin²θ cos θ।
  3. dV/dθ = (1/3)πl³ (2 sin θ cos²θ − sin³θ) = (1/3)πl³ sin θ (2cos²θ − sin²θ)।
  4. dV/dθ = 0 ⇒ tan²θ = 2 ⇒ tan θ = √2 (θ न्यून)।
  5. θ से थोड़ा कम पर dV/dθ > 0, थोड़ा अधिक पर < 0 ⇒ उच्चिष्ठ।
  6. अतः θ = tan⁻¹√2। इति सिद्धम्।
  1. Maana semi-vertical angle θ: r = l sin θ, h = l cos θ.
  2. V = (1/3)πr²h = (1/3)πl³ sin²θ cos θ.
  3. dV/dθ = (1/3)πl³ (2 sin θ cos²θ − sin³θ) = (1/3)πl³ sin θ (2cos²θ − sin²θ).
  4. dV/dθ = 0 ⇒ tan²θ = 2 ⇒ tan θ = √2 (θ acute).
  5. θ se thoda kam par dV/dθ > 0, thoda zyada par < 0 ⇒ maximum.
  6. To θ = tan⁻¹√2. Proved.
🧠 Tricky questionकठिन प्रश्नTricky sawaal · 8 marks8 अंक8 marks

Prove that the height of the cylinder of maximum volume inscribed in a cone of height h and semi-vertical angle α is h/3, and the maximum volume is (4/27)πh³ tan²α.सिद्ध कीजिए कि h ऊँचाई तथा α अर्धशीर्ष कोण वाले शंकु के अंतर्गत अधिकतम आयतन वाले बेलन की ऊँचाई h/3 तथा अधिकतम आयतन (4/27)πh³ tan²α है।Prove kijiye ki h height aur α semi-vertical angle wale cone ke andar max volume wale cylinder ki height h/3 aur max volume (4/27)πh³ tan²α hai.

✅ Answerउत्तरJawab
  • Let the cylinder have height x and radius r. The part of the cone above the cylinder has height (h − x), so r = (h − x) tan α.
  • V = πr²x = π tan²α (h − x)² x.
  • dV/dx = π tan²α (h − x)(h − 3x) = 0 ⇒ x = h/3 (x = h gives no cylinder).
  • d²V/dx² = π tan²α (6x − 4h); at x = h/3 it is −2πh tan²α < 0 ⇒ maximum.
  • V(max) = π tan²α (2h/3)² (h/3) = (4/27)πh³ tan²α. Proved.
  • माना बेलन की ऊँचाई x तथा त्रिज्या r। बेलन के ऊपर शंकु के भाग की ऊँचाई (h − x), अतः r = (h − x) tan α।
  • V = πr²x = π tan²α (h − x)² x।
  • dV/dx = π tan²α (h − x)(h − 3x) = 0 ⇒ x = h/3 (x = h पर बेलन नहीं)।
  • d²V/dx² = π tan²α (6x − 4h); x = h/3 पर −2πh tan²α < 0 ⇒ उच्चिष्ठ।
  • V(अधिकतम) = π tan²α (2h/3)² (h/3) = (4/27)πh³ tan²α। इति सिद्धम्।
  • Maana cylinder ki height x aur radius r. Cylinder ke upar cone ke hisse ki height (h − x), isliye r = (h − x) tan α.
  • V = πr²x = π tan²α (h − x)² x.
  • dV/dx = π tan²α (h − x)(h − 3x) = 0 ⇒ x = h/3 (x = h par cylinder nahi).
  • d²V/dx² = π tan²α (6x − 4h); x = h/3 par −2πh tan²α < 0 ⇒ maximum.
  • V(max) = π tan²α (2h/3)² (h/3) = (4/27)πh³ tan²α. Proved.
🧠 Tricky questionकठिन प्रश्नTricky sawaal · 5 marks5 अंक5 marks

Find the intervals where f(x) = (4 sin x − 2x − x cos x)/(2 + cos x), 0 ≤ x ≤ 2π, is strictly increasing or decreasing.वे अंतराल ज्ञात कीजिए जहाँ f(x) = (4 sin x − 2x − x cos x)/(2 + cos x), 0 ≤ x ≤ 2π निरंतर वर्धमान या ह्रासमान है।Woh intervals nikaliye jahan f(x) = (4 sin x − 2x − x cos x)/(2 + cos x), 0 ≤ x ≤ 2π strictly increasing ya decreasing hai.

✅ Answerउत्तरJawab
  • Write f(x) = 4 sin x/(2 + cos x) − x.
  • f′(x) = [4cos x(2 + cos x) + 4sin²x]/(2 + cos x)² − 1 = (8cos x + 4)/(2 + cos x)² − 1.
  • = [8cos x + 4 − 4 − 4cos x − cos²x]/(2 + cos x)² = cos x(4 − cos x)/(2 + cos x)².
  • 4 − cos x > 0 and (2 + cos x)² > 0 always, so the sign of f′ = sign of cos x.
  • Increasing on (0, π/2) ∪ (3π/2, 2π); decreasing on (π/2, 3π/2).
  • f(x) = 4 sin x/(2 + cos x) − x लिखिए।
  • f′(x) = [4cos x(2 + cos x) + 4sin²x]/(2 + cos x)² − 1 = (8cos x + 4)/(2 + cos x)² − 1।
  • = [8cos x + 4 − 4 − 4cos x − cos²x]/(2 + cos x)² = cos x(4 − cos x)/(2 + cos x)²।
  • 4 − cos x > 0 तथा (2 + cos x)² > 0 सदैव, अतः f′ का चिह्न = cos x का चिह्न।
  • (0, π/2) ∪ (3π/2, 2π) में वर्धमान; (π/2, 3π/2) में ह्रासमान।
  • f(x) = 4 sin x/(2 + cos x) − x likhiye.
  • f′(x) = [4cos x(2 + cos x) + 4sin²x]/(2 + cos x)² − 1 = (8cos x + 4)/(2 + cos x)² − 1.
  • = [8cos x + 4 − 4 − 4cos x − cos²x]/(2 + cos x)² = cos x(4 − cos x)/(2 + cos x)².
  • 4 − cos x > 0 aur (2 + cos x)² > 0 hamesha, isliye f′ ka sign = cos x ka sign.
  • (0, π/2) ∪ (3π/2, 2π) mein increasing; (π/2, 3π/2) mein decreasing.
🧠 Tricky questionकठिन प्रश्नTricky sawaal · 5 marks5 अंक5 marks

A car starts from P at t = 0 and stops at Q. Its distance is x = t²(2 − t/3). Find the time to reach Q and the distance PQ.एक कार t = 0 पर P से चलकर Q पर रुकती है। उसकी दूरी x = t²(2 − t/3) है। Q तक पहुँचने का समय तथा दूरी PQ ज्ञात कीजिए।Ek car t = 0 par P se chal kar Q par rukti hai. Uski doori x = t²(2 − t/3) hai. Q tak pahunchne ka time aur doori PQ nikaliye.

✅ Answerउत्तरJawab
  • x = 2t² − t³/3 ⇒ v = dx/dt = 4t − t² = t(4 − t).
  • The car stops at Q when v = 0 ⇒ t = 4 (t = 0 is the start).
  • PQ = x(4) = 16(2 − 4/3) = 16 × 2/3 = 32/3 units.
  • x = 2t² − t³/3 ⇒ v = dx/dt = 4t − t² = t(4 − t)।
  • v = 0 पर कार Q पर रुकती है ⇒ t = 4 (t = 0 प्रारंभ है)।
  • PQ = x(4) = 16(2 − 4/3) = 16 × 2/3 = 32/3 इकाई।
  • x = 2t² − t³/3 ⇒ v = dx/dt = 4t − t² = t(4 − t).
  • v = 0 par car Q par rukti hai ⇒ t = 4 (t = 0 shuruaat hai).
  • PQ = x(4) = 16(2 − 4/3) = 16 × 2/3 = 32/3 units.

⚠️ Common mistakesआम गलतियाँAam galtiyan

  • Putting the given value (r = 5) before differentiating → differentiate first, then substitute.
  • Forgetting the second derivative test → you must show d²V/dx² < 0 for a maximum.
  • Not rejecting x = 12 (or h = 0) → say why the root is impossible.
  • Writing open intervals wrongly at the end points of [0, 2π] → include the end points where f is defined.
  • Missing units (cm²/s, cm³/s) in rate answers.
  • अवकलन से पहले दिया मान (r = 5) रख देना → पहले अवकलन, फिर मान।
  • द्वितीय अवकलज परीक्षण भूल जाना → उच्चिष्ठ के लिए d²V/dx² < 0 दिखाना आवश्यक है।
  • x = 12 (या h = 0) को अस्वीकार न करना → बताइए मूल असंभव क्यों है।
  • [0, 2π] के अंत्य बिंदुओं पर अंतराल गलत लिखना → जहाँ f परिभाषित है वहाँ अंत्य बिंदु शामिल कीजिए।
  • दर के उत्तर में मात्रक (cm²/s, cm³/s) भूल जाना।
  • Differentiate karne se pehle di gayi value (r = 5) rakh dena → pehle differentiate, phir value.
  • Second derivative test bhool jaana → maximum ke liye d²V/dx² < 0 dikhana zaroori hai.
  • x = 12 (ya h = 0) ko reject na karna → bataiye root impossible kyun hai.
  • [0, 2π] ke end points par interval galat likhna → jahan f defined hai wahan end points shaamil kijiye.
  • Rate ke answer mein units (cm²/s, cm³/s) bhool jaana.

💎 Rarely asked but importantकम पूछा गया पर ज़रूरीKam aaya par zaroori

  • Of all rectangles inscribed in a circle, the square has the maximum area.
  • The cylinder of maximum curved surface area inscribed in a cone has radius half that of the cone.
  • tan⁻¹(sin x + cos x) is increasing on (0, π/4) because its derivative (cos x − sin x)/(1 + (sin x + cos x)²) > 0 there.
  • x^x has minimum value (1/e)^(1/e) at x = 1/e.
  • वृत्त के अंतर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल अधिकतम होता है।
  • शंकु के अंतर्गत अधिकतम वक्र पृष्ठ वाले बेलन की त्रिज्या शंकु की त्रिज्या की आधी होती है।
  • tan⁻¹(sin x + cos x), (0, π/4) में वर्धमान है क्योंकि वहाँ अवकलज (cos x − sin x)/(1 + (sin x + cos x)²) > 0।
  • x^x का निम्निष्ठ मान (1/e)^(1/e), x = 1/e पर।
  • Circle ke andar saare rectangles mein square ka area maximum hota hai.
  • Cone ke andar max curved surface wale cylinder ka radius cone ke radius ka aadha hota hai.
  • tan⁻¹(sin x + cos x), (0, π/4) mein increasing hai kyunki wahan derivative (cos x − sin x)/(1 + (sin x + cos x)²) > 0.
  • x^x ki minimum value (1/e)^(1/e), x = 1/e par.

⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision

  • dV/dt = (dV/dr)(dr/dt).
  • Circle: dA/dt = 2πr dr/dt; sphere: dV/dt = 4πr² dr/dt, dS/dt = 8πr dr/dt.
  • Cube: dV/dt = 3x² dx/dt, dS/dt = 12x dx/dt.
  • f′ > 0 increasing, f′ < 0 decreasing.
  • Critical point: f′(c) = 0.
  • f″(c) < 0 ⇒ local max; f″(c) > 0 ⇒ local min.
  • Absolute extrema on [a, b]: compare f at critical points and end points.
  • Cylinder in sphere: h = 2R/√3, V = 4πR³/(3√3).
  • Cone in sphere: h = 4R/3, V = (8/27) × sphere.
  • Cylinder in cone: height h/3, V = (4/27)πh³tan²α.
  • Cone with slant l: θ = tan⁻¹√2.
  • Open box from square sheet of side a: cut a/6.
  • dV/dt = (dV/dr)(dr/dt)।
  • वृत्त: dA/dt = 2πr dr/dt; गोला: dV/dt = 4πr² dr/dt, dS/dt = 8πr dr/dt।
  • घन: dV/dt = 3x² dx/dt, dS/dt = 12x dx/dt।
  • f′ > 0 वर्धमान, f′ < 0 ह्रासमान।
  • क्रांतिक बिंदु: f′(c) = 0।
  • f″(c) < 0 ⇒ स्थानीय उच्चिष्ठ; f″(c) > 0 ⇒ स्थानीय निम्निष्ठ।
  • [a, b] पर निरपेक्ष चरम: क्रांतिक व अंत्य बिंदुओं पर f की तुलना।
  • गोले में बेलन: h = 2R/√3, V = 4πR³/(3√3)।
  • गोले में शंकु: h = 4R/3, V = (8/27) × गोला।
  • शंकु में बेलन: ऊँचाई h/3, V = (4/27)πh³tan²α।
  • तिर्यक ऊँचाई l वाला शंकु: θ = tan⁻¹√2।
  • a भुजा की वर्गाकार चादर से खुला डिब्बा: a/6 काटिए।
  • dV/dt = (dV/dr)(dr/dt).
  • Circle: dA/dt = 2πr dr/dt; sphere: dV/dt = 4πr² dr/dt, dS/dt = 8πr dr/dt.
  • Cube: dV/dt = 3x² dx/dt, dS/dt = 12x dx/dt.
  • f′ > 0 increasing, f′ < 0 decreasing.
  • Critical point: f′(c) = 0.
  • f″(c) < 0 ⇒ local max; f″(c) > 0 ⇒ local min.
  • [a, b] par absolute extrema: critical aur end points par f compare kijiye.
  • Sphere mein cylinder: h = 2R/√3, V = 4πR³/(3√3).
  • Sphere mein cone: h = 4R/3, V = (8/27) × sphere.
  • Cone mein cylinder: height h/3, V = (4/27)πh³tan²α.
  • Slant l wala cone: θ = tan⁻¹√2.
  • a side ki square sheet se open box: a/6 kaatiye.

🚫 Removed, skip itहटाया गया, इसे छोड़ देंHata diya gaya, ise chhod dijiye

  • Tangents and normals (equation of tangent/normal, slope at a point, curves cutting at right angles) — older papers asked these often, but they were removed from the rationalised NCERT book and the UPMSP 2026-27 syllabus lists only rate of change, increasing/decreasing and maxima/minima; the latest paper did not ask them. Read only if your teacher says they are in your syllabus; otherwise skip.स्पर्श रेखाएँ तथा अभिलंब (स्पर्श रेखा/अभिलंब का समीकरण, किसी बिंदु पर प्रवणता, समकोण पर काटने वाले वक्र) — पुराने प्रश्नपत्रों में अक्सर पूछे गए, परन्तु संशोधित NCERT पुस्तक से हटा दिए गए हैं और UPMSP 2026-27 पाठ्यक्रम में केवल परिवर्तन की दर, वर्धमान/ह्रासमान तथा उच्चिष्ठ/निम्निष्ठ हैं; नवीनतम प्रश्नपत्र में ये नहीं पूछे गए। केवल तभी पढ़िए जब शिक्षक कहें कि ये आपके पाठ्यक्रम में हैं; अन्यथा छोड़ दीजिए।Tangents aur normals (tangent/normal ki equation, point par slope, right angle par kaatne wale curves) — purane papers mein aksar poochhe gaye, lekin rationalised NCERT book se hata diye gaye hain aur UPMSP 2026-27 syllabus mein sirf rate of change, increasing/decreasing aur maxima/minima hain; latest paper mein ye nahi poochhe gaye. Sirf tab padhiye jab teacher kahein ki ye aapke syllabus mein hain; warna skip kijiye.
  • Approximations using differentials (e.g. approximate value of (255)^(1/4)) — removed from NCERT and not in the UPMSP 2026-27 syllabus. Skip.अवकलों द्वारा सन्निकटन (जैसे (255)^(1/4) का सन्निकट मान) — NCERT से हटा दिया गया और UPMSP 2026-27 पाठ्यक्रम में नहीं। छोड़ दीजिए।Differentials se approximation (jaise (255)^(1/4) ki approximate value) — NCERT se hata diya gaya aur UPMSP 2026-27 syllabus mein nahi. Skip kijiye.
📖 Full chapter on the siteपूरा अध्याय साइट परPoora chapter site par📝 All Maths chaptersगणित के सभी अध्यायMaths ke saare chapters

Notes written by Simple Learning Hub from the current NCERT syllabus. Year counts come only from UP Board papers we actually read.नोट्स Simple Learning Hub ने वर्तमान NCERT पाठ्यक्रम से लिखे हैं। वर्षों की गिनती केवल उन यूपी बोर्ड पेपरों से है जो हमने सच में पढ़े।Notes Simple Learning Hub ne current NCERT syllabus se likhe hain. Saalon ki ginti sirf un UP Board papers se hai jo humne sach mein padhe.