DeterminantsसारणिकDeterminants

• Write the system as AX = B: A = coefficient matrix, X = [x; y; z], B = constants.
• Step 1: find |A|. If |A| ≠ 0, A⁻¹ exists and the system has a unique solution.
• Step 2: find all 9 cofactors Cᵢⱼ = (−1)^(i+j) Mᵢⱼ.
• Step 3: adj A = transpose of the cofactor matrix (cofactors of row 1 go into column 1).
• Step 4: A⁻¹ = (1/|A|) adj A.
• Step 5: X = A⁻¹B. Multiply, then read x, y, z.
• Step 6: check by putting x, y, z into any one equation; write the answer clearly.
• Reciprocal type 2/x + 3/y + 10/z = 4 …: put u = 1/x, v = 1/y, w = 1/z, solve for u, v, w, then invert.
• Common variant: 'if A = […], find A⁻¹ and hence solve …' — the same steps, using the given A.

• निकाय को AX = B रूप में लिखिए: A = गुणांक आव्यूह, X = [x; y; z], B = अचर।
• चरण 1: |A| ज्ञात कीजिए। यदि |A| ≠ 0, तो A⁻¹ है और निकाय का अद्वितीय हल है।
• चरण 2: सभी 9 सहखंड Cᵢⱼ = (−1)^(i+j) Mᵢⱼ ज्ञात कीजिए।
• चरण 3: adj A = सहखंड आव्यूह का परिवर्त (पंक्ति 1 के सहखंड स्तंभ 1 में)।
• चरण 4: A⁻¹ = (1/|A|) adj A।
• चरण 5: X = A⁻¹B। गुणा करके x, y, z पढ़िए।
• चरण 6: x, y, z को किसी एक समीकरण में रखकर जाँचिए; उत्तर स्पष्ट लिखिए।
• व्युत्क्रम प्रकार 2/x + 3/y + 10/z = 4 …: u = 1/x, v = 1/y, w = 1/z रखकर u, v, w ज्ञात कीजिए, फिर उलटिए।
• सामान्य रूप: 'यदि A = […], तो A⁻¹ ज्ञात कीजिए तथा इसकी सहायता से हल कीजिए …' — वही चरण, दिए गए A से।

• System ko AX = B roop mein likhiye: A = coefficient matrix, X = [x; y; z], B = constants.
• Step 1: |A| nikaliye. Agar |A| ≠ 0, to A⁻¹ hai aur system ka unique solution hai.
• Step 2: saare 9 cofactors Cᵢⱼ = (−1)^(i+j) Mᵢⱼ nikaliye.
• Step 3: adj A = cofactor matrix ka transpose (row 1 ke cofactors column 1 mein).
• Step 4: A⁻¹ = (1/|A|) adj A.
• Step 5: X = A⁻¹B. Multiply karke x, y, z padhiye.
• Step 6: x, y, z ko kisi ek equation mein rakh kar check kijiye; answer saaf likhiye.
• Reciprocal type 2/x + 3/y + 10/z = 4 …: u = 1/x, v = 1/y, w = 1/z rakh kar u, v, w nikaliye, phir ulta kijiye.
• Common variant: 'agar A = […], to A⁻¹ nikaliye aur isse solve kijiye …' — wahi steps, diye gaye A se.

💡 Most marks are lost in one cofactor sign. Use the sign pattern [+ − +; − + −; + − +] and verify A·(adj A) = |A| I for one row before using A⁻¹.अधिकतर अंक एक सहखंड के चिह्न में कटते हैं। चिह्न प्रतिरूप [+ − +; − + −; + − +] अपनाइए और A⁻¹ लगाने से पहले एक पंक्ति के लिए A·(adj A) = |A| I जाँचिए।Zyadatar marks ek cofactor ke sign mein katte hain. Sign pattern [+ − +; − + −; + − +] use kijiye aur A⁻¹ lagane se pehle ek row ke liye A·(adj A) = |A| I check kijiye.

• A is invertible (non-singular) ⇔ |A| ≠ 0. If |A| = 0, A is singular and A⁻¹ does not exist.
• adj A = transpose of the matrix of cofactors.
• Key property: A(adj A) = (adj A)A = |A| I.
• 2×2 shortcut: for A = [a b; c d], adj A = [d −b; −c a] (swap the diagonal, change the sign of the other two).
• A⁻¹ = adj A/|A|; check: A·A⁻¹ = I.
• (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹; (A⁻¹)⁻¹ = A; (A′)⁻¹ = (A⁻¹)′.

• A व्युत्क्रमणीय (व्युत्क्रमणीय/अव्युत्क्रमणीय नहीं) ⇔ |A| ≠ 0। यदि |A| = 0, तो A अव्युत्क्रमणीय है और A⁻¹ नहीं है।
• adj A = सहखंडों के आव्यूह का परिवर्त।
• मुख्य गुण: A(adj A) = (adj A)A = |A| I।
• 2×2 संक्षिप्त विधि: A = [a b; c d] के लिए adj A = [d −b; −c a] (विकर्ण बदलिए, शेष दो का चिह्न बदलिए)।
• A⁻¹ = adj A/|A|; जाँच: A·A⁻¹ = I।
• (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹; (A⁻¹)⁻¹ = A; (A′)⁻¹ = (A⁻¹)′।

• A invertible (non-singular) ⇔ |A| ≠ 0. Agar |A| = 0, to A singular hai aur A⁻¹ nahi hota.
• adj A = cofactors ki matrix ka transpose.
• Main property: A(adj A) = (adj A)A = |A| I.
• 2×2 shortcut: A = [a b; c d] ke liye adj A = [d −b; −c a] (diagonal swap, baaki do ka sign badliye).
• A⁻¹ = adj A/|A|; check: A·A⁻¹ = I.
• (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹; (A⁻¹)⁻¹ = A; (A′)⁻¹ = (A⁻¹)′.

• 2×2: |a b; c d| = ad − bc.
• 3×3: expand along any row or column with signs + − +. Choose the row/column with most zeros.
• Taking a common factor from one row multiplies the determinant by that factor; |kA| = kⁿ|A| for an n×n matrix.
• If two rows (or columns) are equal or proportional, the determinant is 0.
• Interchanging two rows changes the sign; adding a multiple of one row to another changes nothing.
• Standard results: |a b c; b c a; c a b| = 3abc − a³ − b³ − c³ = −(a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca); |a b c; a² b² c²; a³ b³ c³| = abc(a − b)(b − c)(c − a).

• 2×2: |a b; c d| = ad − bc।
• 3×3: किसी पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश चिह्न + − + से प्रसार कीजिए। सबसे अधिक शून्य वाली पंक्ति/स्तंभ चुनिए।
• एक पंक्ति से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालने पर सारणिक उस गुणनखंड से गुणा हो जाता है; n×n आव्यूह के लिए |kA| = kⁿ|A|।
• यदि दो पंक्तियाँ (या स्तंभ) समान या समानुपाती हों, तो सारणिक 0 होता है।
• दो पंक्तियाँ बदलने से चिह्न बदलता है; एक पंक्ति के गुणज को दूसरी में जोड़ने से मान नहीं बदलता।
• मानक परिणाम: |a b c; b c a; c a b| = 3abc − a³ − b³ − c³ = −(a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca); |a b c; a² b² c²; a³ b³ c³| = abc(a − b)(b − c)(c − a)।

• 2×2: |a b; c d| = ad − bc.
• 3×3: kisi row ya column ke along sign + − + se expand kijiye. Sabse zyada zero wali row/column chuniye.
• Ek row se common factor nikalne par determinant us factor se multiply ho jaata hai; n×n matrix ke liye |kA| = kⁿ|A|.
• Agar do rows (ya columns) same ya proportional hon, to determinant 0 hota hai.
• Do rows badalne se sign badalta hai; ek row ke multiple ko doosri mein jodne se value nahi badalti.
• Standard results: |a b c; b c a; c a b| = 3abc − a³ − b³ − c³ = −(a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca); |a b c; a² b² c²; a³ b³ c³| = abc(a − b)(b − c)(c − a).