Matricesआव्यूहMatrices

• AB is defined only when (columns of A) = (rows of B). If A is m×n and B is n×p, AB is m×p.
• Element (i, j) of AB = (row i of A) · (column j of B): multiply term by term and add.
• Usually AB ≠ BA (not commutative). AB = O does not mean A = O or B = O.
• Addition and scalar multiplication are element-wise; A + B needs the same order.
• Type 'show A² − kA + mI = O': find A², then kA and mI, and add element by element; every entry must come 0.
• Hence A⁻¹: multiply A² − kA + mI = O by A⁻¹: A − kI + mA⁻¹ = O ⇒ A⁻¹ = (kI − A)/m.
• For a 3×3 cubic like A³ − 6A² + 5A + 11I = O: multiply by A⁻¹ ⇒ A⁻¹ = −(A² − 6A + 5I)/11.
• For any 2×2 A, A² − (trace A)·A + (det A)·I = O. This tells you k and m before you start (a quick check).
• Rotation-type matrix F(x) = [cos x −sin x 0; sin x cos x 0; 0 0 1] satisfies F(x)F(y) = F(x + y).

• AB तभी परिभाषित है जब (A के स्तंभ) = (B की पंक्तियाँ)। A, m×n तथा B, n×p हो तो AB, m×p होगा।
• AB का (i, j) अवयव = (A की i वीं पंक्ति) · (B का j वाँ स्तंभ): पद-दर-पद गुणा करके जोड़िए।
• सामान्यतः AB ≠ BA (क्रमविनिमेय नहीं)। AB = O का अर्थ A = O या B = O नहीं।
• योग तथा अदिश गुणन अवयव-वार होते हैं; A + B के लिए कोटि समान होनी चाहिए।
• प्रकार 'दिखाइए A² − kA + mI = O': A² निकालिए, फिर kA तथा mI, और अवयव-वार जोड़िए; हर अवयव 0 आना चाहिए।
• अतः A⁻¹: A² − kA + mI = O को A⁻¹ से गुणा कीजिए: A − kI + mA⁻¹ = O ⇒ A⁻¹ = (kI − A)/m।
• 3×3 में A³ − 6A² + 5A + 11I = O जैसे समीकरण को A⁻¹ से गुणा करें ⇒ A⁻¹ = −(A² − 6A + 5I)/11।
• किसी भी 2×2 आव्यूह A के लिए A² − (A का अनुरेख)·A + (|A|)·I = O। इससे k और m पहले ही पता चल जाते हैं (त्वरित जाँच)।
• घूर्णन प्रकार का आव्यूह F(x) = [cos x −sin x 0; sin x cos x 0; 0 0 1], F(x)F(y) = F(x + y) को संतुष्ट करता है।

• AB tabhi defined hai jab (A ke columns) = (B ki rows). A, m×n aur B, n×p ho to AB, m×p hoga.
• AB ka (i, j) element = (A ki i-th row) · (B ka j-th column): term-by-term multiply karke jodiye.
• Aam taur par AB ≠ BA (commutative nahi). AB = O ka matlab A = O ya B = O nahi.
• Addition aur scalar multiplication element-wise hote hain; A + B ke liye order same hona chahiye.
• Type 'dikhaiye A² − kA + mI = O': A² nikaliye, phir kA aur mI, aur element-wise jodiye; har entry 0 aani chahiye.
• Isliye A⁻¹: A² − kA + mI = O ko A⁻¹ se multiply kijiye: A − kI + mA⁻¹ = O ⇒ A⁻¹ = (kI − A)/m.
• 3×3 mein A³ − 6A² + 5A + 11I = O jaise equation ko A⁻¹ se multiply karein ⇒ A⁻¹ = −(A² − 6A + 5I)/11.
• Kisi bhi 2×2 matrix A ke liye A² − (trace A)·A + (det A)·I = O. Isse k aur m pehle hi pata chal jaate hain (quick check).
• Rotation type matrix F(x) = [cos x −sin x 0; sin x cos x 0; 0 0 1], F(x)F(y) = F(x + y) satisfy karta hai.

💡 Write A² fully as a matrix before subtracting; examiners give step marks for A² and A³ separately.घटाने से पहले A² को पूरा आव्यूह के रूप में लिखिए; परीक्षक A² तथा A³ के अलग-अलग अंक देते हैं।Subtract karne se pehle A² ko poora matrix ke roop mein likhiye; examiner A² aur A³ ke alag-alag step marks dete hain.

• Transpose A′ (or Aᵀ): rows become columns. If A is m×n, A′ is n×m.
• (A′)′ = A; (kA)′ = kA′; (A + B)′ = A′ + B′; (AB)′ = B′A′ (order reverses).
• Orthogonal-type condition A′A = I: compare each entry of A′A with I.
• For A = [cos α sin α; −sin α cos α]: A′A = I (verify by multiplying).
• If A = [cos α −sin α; sin α cos α] and A + A′ = I, then 2cos α = 1 ⇒ α = π/3.

• परिवर्त A′ (या Aᵀ): पंक्तियाँ स्तंभ बन जाती हैं। A, m×n हो तो A′, n×m।
• (A′)′ = A; (kA)′ = kA′; (A + B)′ = A′ + B′; (AB)′ = B′A′ (क्रम उलट जाता है)।
• A′A = I जैसी शर्त: A′A के प्रत्येक अवयव की I से तुलना कीजिए।
• A = [cos α sin α; −sin α cos α] के लिए A′A = I (गुणा करके सत्यापित कीजिए)।
• यदि A = [cos α −sin α; sin α cos α] तथा A + A′ = I, तो 2cos α = 1 ⇒ α = π/3।

• Transpose A′ (ya Aᵀ): rows columns ban jaati hain. A, m×n ho to A′, n×m.
• (A′)′ = A; (kA)′ = kA′; (A + B)′ = A′ + B′; (AB)′ = B′A′ (order ulat jaata hai).
• A′A = I jaisi condition: A′A ki har entry ko I se compare kijiye.
• A = [cos α sin α; −sin α cos α] ke liye A′A = I (multiply karke verify kijiye).
• Agar A = [cos α −sin α; sin α cos α] aur A + A′ = I, to 2cos α = 1 ⇒ α = π/3.

• Symmetric: A′ = A (aᵢⱼ = aⱼᵢ). Skew-symmetric: A′ = −A (aᵢⱼ = −aⱼᵢ).
• In a skew-symmetric matrix every diagonal element is 0.
• Every square matrix A = P + Q with P = ½(A + A′) symmetric and Q = ½(A − A′) skew-symmetric.
• Check your answer: P′ = P, Q′ = −Q, and P + Q = A.
• If A and B are symmetric (same order), AB − BA is skew-symmetric and AB + BA is symmetric.
• A + A′ is always symmetric; A − A′ is always skew-symmetric.

• सममित: A′ = A (aᵢⱼ = aⱼᵢ)। विषम सममित: A′ = −A (aᵢⱼ = −aⱼᵢ)।
• विषम सममित आव्यूह में विकर्ण का प्रत्येक अवयव 0 होता है।
• प्रत्येक वर्ग आव्यूह A = P + Q, जहाँ P = ½(A + A′) सममित तथा Q = ½(A − A′) विषम सममित।
• उत्तर जाँचिए: P′ = P, Q′ = −Q, तथा P + Q = A।
• यदि A तथा B सममित (समान कोटि) हैं, तो AB − BA विषम सममित तथा AB + BA सममित है।
• A + A′ सदैव सममित; A − A′ सदैव विषम सममित।

• Symmetric: A′ = A (aᵢⱼ = aⱼᵢ). Skew-symmetric: A′ = −A (aᵢⱼ = −aⱼᵢ).
• Skew-symmetric matrix mein diagonal ka har element 0 hota hai.
• Har square matrix A = P + Q, jahan P = ½(A + A′) symmetric aur Q = ½(A − A′) skew-symmetric.
• Answer check kijiye: P′ = P, Q′ = −Q, aur P + Q = A.
• Agar A aur B symmetric (same order) hain, to AB − BA skew-symmetric aur AB + BA symmetric hai.
• A + A′ hamesha symmetric; A − A′ hamesha skew-symmetric.

• Treat a matrix equation like an ordinary equation, but never divide by a matrix; multiply by an inverse instead, and keep the side (left or right).
• X + Y = M and X − Y = N ⇒ X = ½(M + N), Y = ½(M − N).
• 2A + 3X = 5B ⇒ X = (5B − 2A)/3.
• CD − AB = O ⇒ CD = AB ⇒ D = C⁻¹(AB) (C⁻¹ on the LEFT because C is on the left of D).
• Alternative for 2×2: take D = [a b; c d], multiply, compare entries and solve the linear equations.

• आव्यूह समीकरण को सामान्य समीकरण की तरह हल कीजिए, परन्तु आव्यूह से भाग कभी नहीं; प्रतिलोम से गुणा कीजिए और पक्ष (बायाँ या दायाँ) ध्यान रखिए।
• X + Y = M तथा X − Y = N ⇒ X = ½(M + N), Y = ½(M − N)।
• 2A + 3X = 5B ⇒ X = (5B − 2A)/3।
• CD − AB = O ⇒ CD = AB ⇒ D = C⁻¹(AB) (C⁻¹ बाईं ओर क्योंकि C, D के बाईं ओर है)।
• 2×2 के लिए दूसरी विधि: D = [a b; c d] लेकर गुणा कीजिए, अवयवों की तुलना करके रैखिक समीकरण हल कीजिए।

• Matrix equation ko normal equation ki tarah solve kijiye, lekin matrix se divide kabhi nahi; inverse se multiply kijiye aur side (left ya right) ka dhyan rakhiye.
• X + Y = M aur X − Y = N ⇒ X = ½(M + N), Y = ½(M − N).
• 2A + 3X = 5B ⇒ X = (5B − 2A)/3.
• CD − AB = O ⇒ CD = AB ⇒ D = C⁻¹(AB) (C⁻¹ LEFT side par kyunki C, D ke left mein hai).
• 2×2 ke liye doosra tareeka: D = [a b; c d] lekar multiply kijiye, entries compare karke linear equations solve kijiye.