Linear Programmingरैखिक प्रोग्रामनLinear Programming
Class 12 Maths · Chapter 12 · UP Boardकक्षा 12 गणित · अध्याय 12 · यूपी बोर्डClass 12 Maths · Chapter 12 · UP Board
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📊 Based on 7 years (2019–2026) of UP Board papers, current syllabus: 38 sets readवर्तमान सिलेबस के 7 वर्षों (2019–2026) के यूपी बोर्ड पेपरों पर आधारित: 38 सेट पढ़े गएCurrent syllabus ke 7 saal (2019–2026) ke UP Board papers par based: 38 sets padhe (2019, 2020, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026)
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🔥 Most asked in this chapterइस अध्याय में सबसे ज़्यादा पूछे गएIs chapter mein sabse zyada aaye
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Haven't studied anything? Read just this much and you will pass.कुछ नहीं पढ़ा? बस इतना पढ़ लीजिए, पास हो जाएँगे।Kuch nahi padha? Bas itna padh lijiye, pass ho jayenge.
This chapter has just one question type in the papers: solve a linear programming problem by the graphical method. It carries about 5 marks and comes in almost every paper, so it is one of the easiest sure marks in the whole book. Learn the 5 fixed steps (draw lines, shade the region, find corner points, make the Z-table, write the answer) and practise two problems — one maximise, one minimise.प्रश्नपत्रों में इस अध्याय का केवल एक प्रकार का प्रश्न है: आलेखीय विधि से रैखिक प्रोग्रामन समस्या हल करना। यह लगभग 5 अंक का होता है और लगभग हर प्रश्नपत्र में आता है, इसलिए यह पूरी पुस्तक के सबसे आसान पक्के अंकों में से है। 5 निश्चित चरण सीखिए (रेखाएँ खींचिए, क्षेत्र छायांकित कीजिए, कोनीय बिंदु ज्ञात कीजिए, Z-सारणी बनाइए, उत्तर लिखिए) और दो प्रश्न कीजिए — एक अधिकतमीकरण, एक न्यूनतमीकरण।Papers mein is chapter ka sirf ek type ka sawaal hai: graphical method se LPP solve karna. Yeh lagbhag 5 marks ka hota hai aur lagbhag har paper mein aata hai, isliye yeh poori book ke sabse aasaan pakke marks mein se hai. 5 fixed steps seekhiye (lines kheenchiye, region shade kijiye, corner points nikaliye, Z-table banaiye, answer likhiye) aur do sawaal kijiye — ek maximise, ek minimise.
🏅 Pass-guarantee minimumपास होने के लिए न्यूनतमPass hone ke liye minimum
- Learn the 5 steps and practise 2 problems: one maximise (bounded region) and one minimise (unbounded region). That is all this chapter asks.
- Remember the origin test for shading: ≤ usually shades towards the origin, ≥ away from it.
- 5 चरण सीखिए और 2 प्रश्न कीजिए: एक अधिकतमीकरण (परिबद्ध क्षेत्र) और एक न्यूनतमीकरण (असीमित क्षेत्र)। यह अध्याय बस इतना ही पूछता है।
- छायांकन के लिए मूल बिंदु परीक्षण याद रखिए: ≤ प्रायः मूल बिंदु की ओर, ≥ उससे दूर।
- 5 steps seekhiye aur 2 sawaal kijiye: ek maximise (bounded region) aur ek minimise (unbounded region). Yeh chapter bas itna hi poochta hai.
- Shading ke liye origin test yaad rakhiye: ≤ aksar origin ki taraf, ≥ usse door.
🎯 1-mark facts that keep comingबार-बार आने वाले 1 अंक के तथ्यBaar baar aane wale 1 mark facts
- The optimal value of a linear objective function on a bounded feasible region always occurs at a corner point.
- Constraints x + y ≥ 8 and 3x + 5y ≤ 15 (x, y ≥ 0) have no common region: no feasible solution.
- x ≥ 0, y ≥ 0 are called non-negative constraints.
- The function Z = ax + by to be maximised/minimised is the objective function; x, y are decision variables.
- परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र पर रैखिक उद्देश्य फलन का इष्टतम मान सदैव किसी कोनीय बिंदु पर होता है।
- प्रतिबंध x + y ≥ 8 और 3x + 5y ≤ 15 (x, y ≥ 0) का कोई उभयनिष्ठ क्षेत्र नहीं: कोई सुसंगत हल नहीं।
- x ≥ 0, y ≥ 0 को ऋणेतर प्रतिबंध कहते हैं।
- अधिकतम/न्यूनतम किया जाने वाला फलन Z = ax + by उद्देश्य फलन है; x, y निर्णायक चर हैं।
- Bounded feasible region par linear objective function ki optimal value hamesha kisi corner point par hoti hai.
- Constraints x + y ≥ 8 aur 3x + 5y ≤ 15 (x, y ≥ 0) ka koi common region nahi: koi feasible solution nahi.
- x ≥ 0, y ≥ 0 ko non-negative constraints kehte hain.
- Maximise/minimise kiya jaane wala function Z = ax + by objective function hai; x, y decision variables hain.
The questions that come every year, with model answers. Most asked first.हर साल आने वाले प्रश्न, आदर्श उत्तरों के साथ। सबसे ज़्यादा पूछे गए पहले।Har saal aane wale sawaal, model answers ke saath. Sabse zyada aaye pehle.
Solving an LPP by the graphical (corner point) methodआलेखीय (कोनीय बिंदु) विधि से रैखिक प्रोग्रामन समस्या का हलGraphical (corner point) method se LPP solve karna
🔥 Asked in 7 of 7 years🔥 7 में से 7 वर्ष पूछा गया🔥 Aaya hai 7/7 saal🔴 Very importantबहुत महत्वपूर्णBahut important- Step 1: Change each inequality into an equation and find two points on each line (put x = 0, then y = 0).
- Step 2: Draw the lines. Test the origin (0, 0) in each inequality: if true, shade the origin side; if false, the other side. x ≥ 0, y ≥ 0 means the first quadrant only.
- Step 3: The common shaded part is the feasible region. Find all its corner points (solve two line equations together for each meeting point).
- Step 4: Make a table: corner point → value of Z. Step 5: the largest value is the maximum, the smallest is the minimum (corner point theorem).
- Unbounded region: the corner-point value is the answer only if the open half-plane Z < m (for minimum) or Z > M (for maximum) has no point in common with the feasible region. Otherwise there is no minimum/maximum.
- If no point satisfies all constraints together, the feasible region is empty: write 'no feasible solution'.
- If two corner points give the same maximum value, every point on the segment joining them is also optimal (infinitely many solutions).
- चरण 1: हर असमिका को समीकरण में बदलिए और हर रेखा के दो बिंदु ज्ञात कीजिए (x = 0, फिर y = 0 रखिए)।
- चरण 2: रेखाएँ खींचिए। हर असमिका में मूल बिंदु (0, 0) रखकर जाँचिए: सत्य हो तो मूल बिंदु की ओर, असत्य हो तो दूसरी ओर छायांकन। x ≥ 0, y ≥ 0 का अर्थ केवल प्रथम चतुर्थांश।
- चरण 3: उभयनिष्ठ छायांकित भाग सुसंगत क्षेत्र है। इसके सभी कोनीय बिंदु ज्ञात कीजिए (हर मिलन बिंदु के लिए दो रेखाओं के समीकरण साथ हल कीजिए)।
- चरण 4: सारणी बनाइए: कोनीय बिंदु → Z का मान। चरण 5: सबसे बड़ा मान अधिकतम, सबसे छोटा न्यूनतम (कोनीय बिंदु प्रमेय)।
- असीमित क्षेत्र: कोनीय बिंदु वाला मान तभी उत्तर है जब खुला अर्ध-तल Z < m (न्यूनतम के लिए) या Z > M (अधिकतम के लिए) का सुसंगत क्षेत्र से कोई उभयनिष्ठ बिंदु न हो। अन्यथा न्यूनतम/अधिकतम नहीं है।
- यदि कोई बिंदु सभी प्रतिबंधों को साथ-साथ संतुष्ट नहीं करता, तो सुसंगत क्षेत्र रिक्त है: 'कोई सुसंगत हल नहीं' लिखिए।
- यदि दो कोनीय बिंदु समान अधिकतम मान दें, तो उन्हें मिलाने वाले रेखाखंड का हर बिंदु भी इष्टतम है (अनंत हल)।
- Step 1: Har inequality ko equation mein badaliye aur har line ke do points nikaliye (x = 0, phir y = 0 rakhiye).
- Step 2: Lines kheenchiye. Har inequality mein origin (0, 0) rakhkar check kijiye: sahi ho toh origin ki taraf, galat ho toh doosri taraf shade. x ≥ 0, y ≥ 0 ka matlab sirf first quadrant.
- Step 3: Common shaded hissa feasible region hai. Uske saare corner points nikaliye (har milne wale point ke liye do lines ki equations saath solve kijiye).
- Step 4: Table banaiye: corner point → Z ki value. Step 5: sabse badi value maximum, sabse chhoti minimum (corner point theorem).
- Unbounded region: corner point wali value tabhi answer hai jab open half-plane Z < m (minimum ke liye) ya Z > M (maximum ke liye) ka feasible region se koi common point na ho. Warna minimum/maximum nahi hai.
- Agar koi point saare constraints ko ek saath satisfy nahi karta, toh feasible region khaali hai: 'koi feasible solution nahi' likhiye.
- Agar do corner points same maximum value dein, toh unko milane wale line segment ka har point bhi optimal hai (anant solutions).
Maximise Z = 3x + 2y by the graphical method subject to x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0.आलेखीय विधि से Z = 3x + 2y का अधिकतमीकरण कीजिए, प्रतिबंध x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0।Graphical method se Z = 3x + 2y maximise kijiye, constraints x + 2y ≤ 10, 3x + y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0.
- Line x + 2y = 10 passes through (10, 0) and (0, 5). Line 3x + y = 15 passes through (5, 0) and (0, 15).
- (0, 0) satisfies both ≤ inequalities, so shade towards the origin in the first quadrant. The feasible region OABC is bounded.
- Corner B: solve x + 2y = 10 and 3x + y = 15. From the second, y = 15 − 3x; then x + 30 − 6x = 10, so x = 4, y = 3.
- Z at corners: O(0, 0) → 0; A(5, 0) → 15; B(4, 3) → 12 + 6 = 18; C(0, 5) → 10.
- Answer: maximum Z = 18 at x = 4, y = 3.
- रेखा x + 2y = 10, (10, 0) और (0, 5) से होकर जाती है। रेखा 3x + y = 15, (5, 0) और (0, 15) से होकर जाती है।
- (0, 0) दोनों ≤ असमिकाओं को संतुष्ट करता है, अतः प्रथम चतुर्थांश में मूल बिंदु की ओर छायांकन। सुसंगत क्षेत्र OABC परिबद्ध है।
- कोना B: x + 2y = 10 और 3x + y = 15 हल कीजिए। दूसरे से y = 15 − 3x; तब x + 30 − 6x = 10, अतः x = 4, y = 3।
- कोनों पर Z: O(0, 0) → 0; A(5, 0) → 15; B(4, 3) → 12 + 6 = 18; C(0, 5) → 10।
- उत्तर: x = 4, y = 3 पर अधिकतम Z = 18।
- Line x + 2y = 10, (10, 0) aur (0, 5) se hokar jaati hai. Line 3x + y = 15, (5, 0) aur (0, 15) se hokar jaati hai.
- (0, 0) dono ≤ inequalities ko satisfy karta hai, isliye first quadrant mein origin ki taraf shade. Feasible region OABC bounded hai.
- Corner B: x + 2y = 10 aur 3x + y = 15 solve kijiye. Doosre se y = 15 − 3x; tab x + 30 − 6x = 10, isliye x = 4, y = 3.
- Corners par Z: O(0, 0) → 0; A(5, 0) → 15; B(4, 3) → 12 + 6 = 18; C(0, 5) → 10.
- Answer: x = 4, y = 3 par maximum Z = 18.
Minimise Z = 2x + 3y by the graphical method subject to x + y ≥ 4, x + 3y ≥ 6, x ≥ 0, y ≥ 0.आलेखीय विधि से Z = 2x + 3y का न्यूनतमीकरण कीजिए, प्रतिबंध x + y ≥ 4, x + 3y ≥ 6, x ≥ 0, y ≥ 0।Graphical method se Z = 2x + 3y minimise kijiye, constraints x + y ≥ 4, x + 3y ≥ 6, x ≥ 0, y ≥ 0.
- x + y = 4 through (4, 0), (0, 4); x + 3y = 6 through (6, 0), (0, 2).
- (0, 0) does NOT satisfy the ≥ inequalities, so shade away from the origin. The feasible region is unbounded.
- Corner where the lines meet: subtract x + y = 4 from x + 3y = 6: 2y = 2, y = 1, x = 3. Corners: (6, 0), (3, 1), (0, 4).
- Z: (6, 0) → 12; (3, 1) → 6 + 3 = 9; (0, 4) → 12. Smallest = 9.
- Region is unbounded: draw 2x + 3y < 9. This half-plane has no point in common with the feasible region, so 9 is the minimum.
- Answer: minimum Z = 9 at x = 3, y = 1.
- x + y = 4, (4, 0), (0, 4) से होकर; x + 3y = 6, (6, 0), (0, 2) से होकर।
- (0, 0) ≥ असमिकाओं को संतुष्ट नहीं करता, अतः मूल बिंदु से दूर की ओर छायांकन। सुसंगत क्षेत्र असीमित है।
- रेखाओं का मिलन बिंदु: x + 3y = 6 में से x + y = 4 घटाइए: 2y = 2, y = 1, x = 3। कोने: (6, 0), (3, 1), (0, 4)।
- Z: (6, 0) → 12; (3, 1) → 6 + 3 = 9; (0, 4) → 12। सबसे छोटा = 9।
- क्षेत्र असीमित है: 2x + 3y < 9 खींचिए। इस अर्ध-तल का सुसंगत क्षेत्र से कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं, अतः 9 न्यूनतम है।
- उत्तर: x = 3, y = 1 पर न्यूनतम Z = 9।
- x + y = 4, (4, 0), (0, 4) se hokar; x + 3y = 6, (6, 0), (0, 2) se hokar.
- (0, 0) ≥ inequalities ko satisfy NAHI karta, isliye origin se door ki taraf shade. Feasible region unbounded hai.
- Lines ka milan point: x + 3y = 6 mein se x + y = 4 ghataiye: 2y = 2, y = 1, x = 3. Corners: (6, 0), (3, 1), (0, 4).
- Z: (6, 0) → 12; (3, 1) → 6 + 3 = 9; (0, 4) → 12. Sabse chhota = 9.
- Region unbounded hai: 2x + 3y < 9 kheenchiye. Is half-plane ka feasible region se koi common point nahi, isliye 9 minimum hai.
- Answer: x = 3, y = 1 par minimum Z = 9.
💡 Draw the graph neatly on the answer sheet with both axes labelled, the lines labelled with their equations and the feasible region shaded. The graph and the corner-point table are where most of the marks are.उत्तर-पुस्तिका में दोनों अक्षों के नाम, रेखाओं पर उनके समीकरण और छायांकित सुसंगत क्षेत्र सहित साफ आलेख बनाइए। अधिकांश अंक आलेख और कोनीय बिंदु सारणी के ही हैं।Answer sheet mein dono axes ke naam, lines par unki equations aur shaded feasible region ke saath saaf graph banaiye. Zyadatar marks graph aur corner-point table ke hi hain.
Full derivations, tricky questions, common mistakes and quick revision.पूरी व्युत्पत्तियाँ, कठिन प्रश्न, आम गलतियाँ और त्वरित पुनरावृत्ति।Poori derivations, tricky sawaal, aam galtiyan aur quick revision.
Minimise Z = 3x + 2y subject to x + y ≥ 8, 3x + 5y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0.Z = 3x + 2y का न्यूनतमीकरण कीजिए, प्रतिबंध x + y ≥ 8, 3x + 5y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0।Z = 3x + 2y minimise kijiye, constraints x + y ≥ 8, 3x + 5y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0.
- 3x + 5y ≤ 15 is the triangle with corners (0, 0), (5, 0), (0, 3). In it, x + y is at most 5 (at (5, 0)).
- x + y ≥ 8 lies beyond the line through (8, 0), (0, 8), completely outside that triangle.
- There is no common region, so the problem has no feasible solution (no minimum).
- 3x + 5y ≤ 15 कोनों (0, 0), (5, 0), (0, 3) वाला त्रिभुज है। इसमें x + y अधिकतम 5 है ((5, 0) पर)।
- x + y ≥ 8, (8, 0), (0, 8) वाली रेखा के पार है, उस त्रिभुज से पूरी तरह बाहर।
- कोई उभयनिष्ठ क्षेत्र नहीं, अतः समस्या का कोई सुसंगत हल नहीं (न्यूनतम नहीं)।
- 3x + 5y ≤ 15 corners (0, 0), (5, 0), (0, 3) wala triangle hai. Ismein x + y zyada se zyada 5 hai ((5, 0) par).
- x + y ≥ 8, (8, 0), (0, 8) wali line ke paar hai, us triangle se poori tarah bahar.
- Koi common region nahi, isliye problem ka koi feasible solution nahi (minimum nahi).
Maximise Z = x + y subject to x − y ≤ −1, −x + y ≤ 0, x, y ≥ 0.Z = x + y का अधिकतमीकरण कीजिए, प्रतिबंध x − y ≤ −1, −x + y ≤ 0, x, y ≥ 0।Z = x + y maximise kijiye, constraints x − y ≤ −1, −x + y ≤ 0, x, y ≥ 0.
- x − y ≤ −1 means y ≥ x + 1; −x + y ≤ 0 means y ≤ x.
- No point can have y ≥ x + 1 and y ≤ x together, so the feasible region is empty: no maximum.
- x − y ≤ −1 का अर्थ y ≥ x + 1; −x + y ≤ 0 का अर्थ y ≤ x।
- कोई बिंदु y ≥ x + 1 और y ≤ x दोनों साथ नहीं रख सकता, अतः सुसंगत क्षेत्र रिक्त है: अधिकतम नहीं।
- x − y ≤ −1 ka matlab y ≥ x + 1; −x + y ≤ 0 ka matlab y ≤ x.
- Koi point y ≥ x + 1 aur y ≤ x dono saath nahi rakh sakta, isliye feasible region khaali hai: maximum nahi.
⚠️ Common mistakesआम गलतियाँAam galtiyan
- Missing a corner point (often the intersection of two slanting lines) → list every vertex of the shaded region.
- Calling the smallest corner value the minimum in an unbounded region without the half-plane check → draw Z < m and check.
- Shading the wrong side → use the origin test for every inequality.
- Not writing the final answer sentence → 'Maximum Z = … at x = …, y = …'.
- कोई कोनीय बिंदु छूटना (प्रायः दो तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद) → छायांकित क्षेत्र का हर शीर्ष लिखिए।
- असीमित क्षेत्र में अर्ध-तल जाँच के बिना सबसे छोटे कोनीय मान को न्यूनतम कहना → Z < m खींचकर जाँचिए।
- गलत ओर छायांकन → हर असमिका के लिए मूल बिंदु परीक्षण कीजिए।
- अंतिम उत्तर वाक्य न लिखना → 'अधिकतम Z = … जब x = …, y = …'।
- Koi corner point chhootna (aksar do tirchhi lines ka intersection) → shaded region ka har vertex likhiye.
- Unbounded region mein half-plane check ke bina sabse chhoti corner value ko minimum kehna → Z < m kheenchkar check kijiye.
- Galat taraf shade karna → har inequality ke liye origin test kijiye.
- Final answer sentence na likhna → 'Maximum Z = … at x = …, y = …'.
💎 Rarely asked but importantकम पूछा गया पर ज़रूरीKam aaya par zaroori
- Word problems (formulating an LPP from a factory/diet story) are in the NCERT book. Define x, y first, write Z, then the constraints from each resource limit.
- शाब्दिक प्रश्न (कारखाने/आहार की कहानी से समस्या बनाना) NCERT पुस्तक में हैं। पहले x, y परिभाषित कीजिए, Z लिखिए, फिर हर संसाधन-सीमा से प्रतिबंध।
- Word problems (factory/diet ki kahani se LPP banana) NCERT book mein hain. Pehle x, y define kijiye, Z likhiye, phir har resource limit se constraints.
⚡ Quick revisionत्वरित पुनरावृत्तिQuick revision
- Objective function Z = ax + by; constraints are linear inequalities.
- Feasible region = common region of all constraints.
- Optimum at a corner point.
- Unbounded: check Z < m (min) / Z > M (max).
- Empty region ⇒ no feasible solution.
- Two corners with equal optimum ⇒ infinitely many optimal points.
- उद्देश्य फलन Z = ax + by; प्रतिबंध रैखिक असमिकाएँ।
- सुसंगत क्षेत्र = सभी प्रतिबंधों का उभयनिष्ठ क्षेत्र।
- इष्टतम मान कोनीय बिंदु पर।
- असीमित: Z < m (न्यूनतम) / Z > M (अधिकतम) जाँचिए।
- रिक्त क्षेत्र ⇒ कोई सुसंगत हल नहीं।
- दो कोनों पर समान इष्टतम ⇒ अनंत इष्टतम बिंदु।
- Objective function Z = ax + by; constraints linear inequalities.
- Feasible region = saare constraints ka common region.
- Optimum corner point par.
- Unbounded: Z < m (min) / Z > M (max) check kijiye.
- Khaali region ⇒ koi feasible solution nahi.
- Do corners par same optimum ⇒ anant optimal points.
Notes written by Simple Learning Hub from the current NCERT syllabus. Year counts come only from UP Board papers we actually read.नोट्स Simple Learning Hub ने वर्तमान NCERT पाठ्यक्रम से लिखे हैं। वर्षों की गिनती केवल उन यूपी बोर्ड पेपरों से है जो हमने सच में पढ़े।Notes Simple Learning Hub ne current NCERT syllabus se likhe hain. Saalon ki ginti sirf un UP Board papers se hai jo humne sach mein padhe.